2014高考百天仿真冲刺卷（理科数学试卷四）

第 1 页 共 10 页 x y O 2 1 -1 2014 高考百天仿真冲刺卷 数 学 (理 ) 试 卷 （ 四 ） 第 卷 （ 选择题 共 40分） 一、 本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1 在复平面内， 复数 121 iz i 对应的点位于 (A) 第 一象限 (B) 第 二象限 (C) 第 三象限 (D) 第 四象限 2 下列四个命题中，假命题为 (A) xR ， 20x (B) xR ， 2 3 1 0xx (C) xR ， lg 0x (D) xR ， 12 2x 3 已知 a0且 a 1，函数 logayx， xya ， y x a 在同一坐标系中的图象可能是 (A) (B) (C) (D) 4 参数方程 2 c o s (3 s inxy ，为参数 ) 和极坐标方程 4sin 所表示的图形分别是 (A) 圆和直线 (B) 直线和直线 (C) 椭圆和直线 (D) 椭圆和圆 5 由 1,2,3,4,5组成没有重复数字且 2与 5不相邻的四位数的个数是 (A) 120 (B) 84 (C) 60 (D) 48 6已知函数 s i n ( )y A x的图象如图所示，则 该 函数的解析式可能是 (A) 4 4 1s i n ( )5 5 5yx (B) 31s i n ( 2 )25yx (C) 4 4 1s i n ( )5 5 5yx (D) 41s i n ( 2 )55yx 7 已 知 直 线 l ： 0A x B y C (A ， B 不 全 为 0) ， 两点1 1 1( , )P x y，2 2 2( , )P x y， 若1 1 2 2( ) ( ) 0A x B y C A x B y C ， 且1 1 2 2A x B y A x B y C ， 则 (A) 直线 l与直线 P1P2不相交 (B) 直线 l与线段 P2 P1的延长线相交 (C) 直线 l与线段 P1 P2的延长线相交 (D) 直线 l与线段 P1P2相交 8 已知函数 2( ) 2f x x x， ( ) 2g x ax(a0)，若1 1, 2x ，2 1, 2x ，使得 f(x1)= g(x2)，则实数 a的取值范围是 (A) 1(0, 2 (B) 1 ,32 (C) (0,3 (D) 3, ) O O O O x x x x y y y y 1 1 1 1 1 1 1 1 第 2 页 共 10 页 第 卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题： 本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分 9 圆 C： 22 2 2 2 0x y x y 的圆心到直线 3x+4y+14=0 的距离是 10 如图所示， DB， DC是 O的两条切线， A是圆上一点，已知 D=46，则 A= 11函数 23 s i n c o s s i ny x x x的最小正周期为 ，最大值为 12 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 13 如果执行 上 面的程序框 图，那么输出的 a =_ 14如图所示， AOB=1rad，点 Al， A2，在 OA上，点 B1， B2，在 OB上，其中的每一个实线段和虚线段的长均为 1个长度单位，一个动点 M从 O点出发，沿着实线段和以 O 为圆心的圆弧匀速运动，速度为 l长度单位秒，则质点 M到达 A3 点处所需要的时间为 _秒，质点 M 到达 An 点处所需要的时间为 秒 三、解答题： 本大题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15.（本小题共 13分） 已知等 差 数列 na的 前 n 项和为nS， a2=4， S5=35 （ ）求数列 na的 前 n 项和nS； （ ） 若数列 nb满足 nanbe， 求数列 nb的前 n项和nT 1 1 正视图 侧视图 2 0.6 2.4 俯视图 0.6 A B C D O 开始 35a ， 1n 结束 11a a 1nn 2011n 输出 a 是 否 O A1 A2 A3 A4 B1 B2 B3 B4 A B 第 3 页 共 10 页 16.（本小题共 14分） 张先生家住 H小区，他在 C科技园区工作，从家开车到公司上班有 L1， L2两条路线（如图）， L1路线上有 A1， A2， A3三个路口，各路口遇到红灯 的 概率 均 为 12； L2路线上有 B1， B2两个路口，各路口遇到红灯的概率 依次 为 34， 35 （ ） 若走 L1路线，求 最多 遇到 1次 红灯的概率 ； （ ） 若走 L2路线，求遇到红灯次数 X 的数学期望； （） 按 照“ 平均 遇到红灯 次数最少 ”的 要求 ， 请你帮 助 张先生从 上述两条路线中选择一条 最好的上班路线 ，并说明理由 17.（本小题共 13分） 已知平行四边形 ABCD中， AB=6， AD=10， BD=8， E是线段 AD 的中点沿 BD将 BCD翻折到 BCD ，使得平面 BCD 平面 ABD （ ） 求证： CD 平面 ABD； （ ） 求直线 BD 与平面 BEC 所成角的正弦值； （）求二面角 D BE C的余弦值 H C A1 A2 B1 B2 L1 L2 A3 A B D E C C 第 4 页 共 10 页 18.（本小题共 13分） 已知函数 2( ) l n ( 2 )f x x a x a x （ ） 若 ()fx在 1x 处取得极值，求 a的值 ； （ ）求 函数 ()y f x 在 2 , aa上的最 大 值 19.（本小题共 14分） 已知抛物线 P： x2=2py (p0) （ ）若抛物线上点 ( ,2)Mm 到焦点 F的距离为 3 （） 求抛物线 P 的方程； （）设抛物线 P 的准线与 y轴的交点为 E，过 E作抛物线 P 的切线， 求 此切线方程 ； （ ） 设 过焦点 F的动直线 l交抛物线于 A， B两点 ， 连接 AO ， BO 并延长分别交抛物线的准线于 C， D两点，求证：以 CD 为直径的圆过焦点 F 20.（本小题共 13分） 用 a 表示不大于 a 的最大整数令集合 1, 2 , 3 , 4 , 5P ，对任意 kP 和 N*m ， 定义511( , ) 1ikf m k mi，集合 1 | N * , A m k m k P ，并将集合 A 中的元素按 照 从小到大的第 5 页 共 10 页 顺序 排列，记为 数列 na （ ）求 (1,2)f 的值； （ ）求9a的值； （ ）求证：在数列 na中，不大于001mk的项共有00( , )f m k项 2013 高考百天仿真冲刺卷 数学 (理 )试卷（ 四 ）参考答案 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C D B A C D 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分 9 3 10 67 11 ， 12 12 12 13 23 14 6，( 1 ) ,2( 3 ) ,2nnn nann n 为 奇 数 ，为 偶 数 . 注：两个空的填空题第一个空填对得 2分，第二个空填对得 3分 三、解答题： 本大题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15.（本小题共 13分） 第 6 页 共 10 页 已知等 差 数列 na的 前 n 项和为nS， a2=4， S5=35 （ ）求数列 na的 前 n 项和nS； （ ） 若数列 nb满足 nanbe， 求数列 nb的前 n项 的 和nT 解：（ ）设数列 na的首项为 a1，公 差 为 d 则 1145 ( 5 1 )5 3 52ad 1 13ad， 5分 32nan 前 n 项和 (1 3 2 ) ( 3 1 )22n n n n nS 7分 （ ） 32nan， 32nnbe，且 b1=e 8分 当 n 2时， 32 33 ( 1 ) 21nnnnb e ebe 为定值， 10分 数列 nb构成 首项为 e，公 比 为 e3的等 比 数列 11 分 3 3 133(1 )11nnne e e eT ee 13 分 数列 nb的前 n项 的 和 是 313 1nneeT e 16.（本小题共 14分） 张先生家住 H小区，他工作在 C科技园区，从家开车到公司上班路上有 L1， L2两条路线（如图）， L1路线上有 A1， A2， A3三个路口，各路口遇到红灯 的 概率 均 为 12； L2路线上有 B1， B2两个路口，各路口遇到红灯的概率 依次 为 34， 35 （ ） 若走 L1路线，求 最多 遇到 1次 红灯的概率 ； （ ） 若走 L2路线，求遇到红灯次数 X 的数学期望； （） 按 照“ 平均 遇到红灯 次数最少 ”的 要求 ， 请你帮 助 张先生从 上述两条路线中选择一条 最好的上班路线 ，并说明理由 解：（ ）设走 L1路线 最多遇到 1次 红灯 为 A事件，则 0 3 1 2331 1 1 1( ) = ( ) ( )2 2 2 2P A C C 4分 所以走 L1路线， 最多遇到 1次 红灯的概率为 12 （ ） 依题意， X 的可能取值为 0， 1， 2 5 分 3 3 1( = 0 ) = (1 ) (1 )4 5 1 0PX ， 3 3 3 3 9( = 1 ) = (1 ) (1 )4 5 4 5 2 0PX ， H C A1 A2 B1 B2 L1 L2 A3 第 7 页 共 10 页 3 3 9( = 2 ) = 4 5 2 0PX 8分 随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 P 110 920 920 1 9 9 2 70 1 21 0 2 0 2 0 2 0EX 10 分 （）设选择 L1路线遇到红灯 次数为 Y ，随机变量 Y 服从二项分布， 1(3, )2YB， 所以 13322EY 12分 因为 EX EY ，所以选择 L2路线上班 最好 14分 17.（本小题共 13分） 已知平行四边形 ABCD中， AB=6， AD=10， BD=8， E是线段 AD的中点沿直线 BD将 BCD翻折成 BCD ，使得平面 BCD 平面 ABD （ ） 求证： CD 平面 ABD； （ ） 求直线 BD 与平面 BEC 所成角的正弦值； （）求二面角 D BE C的余弦值 证明：（） 平行四边形 ABCD 中， AB=6， AD=10， BD=8， 沿直线 BD将 BCD翻折成 BCD 可知 CD=6， BC =BC=10， BD=8， 即 2 2 2B C C D B D， 故C D BD 2分 平面 BCD 平面 ABD ，平面 BCD 平面 ABD =BD ， CD 平面 BCD ， CD 平面 ABD 5分 （） 由 （） 知 CD 平面 ABD， 且 CD BD ， 如图，以 D为原点，建立空间直角坐标系 D xyz 6分 则 (0,0,0)D ， (8,6,0)A ， (8,0,0)B ， (0,0,6)C E是线段 AD的中点， (4,3,0)E ， ( 8, 0, 0)BD 在平面 BEC 中， ( 4, 3, 0)BE ， ( 8, 0, 6)BC ， 设 平面 BEC 法向量为 ( , , )n x y z ， 00BE nBC n ，即 4 3 08 6 0xyyz ， 令 3x ，得 4, 4yz，故(3,4,4)n 8分 设 直线 BD 与平面 BEC 所成角为 ，则 | | 3 4 1s i n | c o s , | 41| | | |n B Dn B Dn B D 9分 直线 BD 与平面 BEC 所成角的正弦值为 3 4141 10分 （ ）由（）知 平面 BEC 的法向量为 (3,4,4)n ， 而平面 DBE 的法向量为 (0, 0, 6)DC ， A B D E C C A B D E C C x y z 第 8 页 共 10 页 4 4 1c o s ,41| | | |n C Dn C D n C D ， 因为二面角 D BE C为锐角， 所以二面角 D BE C的余弦值为 4 4141 13分 18.（本小题共 13分） 已知函数 2( ) l n ( 2 )f x x a x a x （ ） 若 ()fx在 1x 处取得极值，求 a的值 ； （ ）求 函数 ()y f x 在 2 , aa上的最 大 值 解： （ ） 2( ) l n ( 2 )f x x a x a x ， 函数的 定义 域为 (0, ) 1分 21 1 2 ( 2 ) ( 2 1 ) ( 1 )( ) 2 ( 2 ) a x a x x a xf x a x ax x x 3分 ()fx在 1x 处取得极值， 即 (1 ) ( 2 1 ) ( 1 ) 0fa ， 1a 5分 当 1a 时，在 1( ,1)2内 ( ) 0fx ，在 (1, ) 内 ( ) 0fx ， 1x 是函数 ()y f x 的极小值点 1a 6分 （ ） 2aa ， 01a 7分 21 1 2 ( 2 ) ( 2 1 ) ( 1 )( ) 2 ( 2 ) a x a x x a xf x a x ax x x x (0, ) ， 10ax ， ()fx在 1(0, )2上单调递 增 ；在 1( , )2 上单调递减， 9分 当 102a时， ()fx在 2 , aa单调递 增 ， 32m a x ( ) ( ) l n 2f x f a a a a a ； 10 分 当21212aa ，即 1222a时， ()fx在 2 1( , )2a单调递 增 ，在 1( , )2 a单调递减 ， m a x 12( ) ( ) l n 2 1 l n 22 4 2 4a a af x f ； 11 分 当 212 a，即 2 12 a时， ()fx在 2 , aa单调递 减 ， 2 5 3 2m a x ( ) ( ) 2 l n 2f x f a a a a a 12 分 综上所述，当 102a时， 函数 ()y f x 在 2 , aa上的最 大 值 是 32ln 2a a a a ； 当 1222a时， 函数 ()y f x 在 2 , aa上的最 大 值 是 1 ln 24a ； 当 22a时， 函数 ()y f x 在 2 , aa 上的最 大 值 是5 3 22 l n 2a a a a 13分 第 9 页 共 10 页 19.（本小题共 14分） 已知抛物线 P： x2=2py (p0) （ ）若抛物线上点 ( ,2)Mm 到焦点 F的距离为 3 （） 求抛物线 P 的方程； （）设抛物线 P 的准线与 y轴的交点为 E，过 E作抛物线 P 的切线， 求 此切线方程 ； （ ） 设 过焦点 F的动直线 l交抛物线于 A， B两点 ， 连接 AO ， BO 并延长分别交抛物线的准线于 C，D两点，求证：以 CD 为直径的圆过焦点 F 解：（ ） （） 由抛物线定义可知， 抛物线上点 ( ,2)Mm 到焦点 F的距离 与到准线距离相等， 即 ( ,2)Mm 到2py的距离为 3； 232p ，解得 2p 抛物线 P 的 方程为 2 4xy 4分 （ ） 抛物线 焦点 (0,1)F ， 抛物线准线与 y轴交点为 (0, 1)E ， 显然过点 E 的抛物线的切线斜率存在，设为 k ，切线方程为 1y kx 由 2 41xyy kx ， 消 y得 2 4 4 0x k x ， 6分 21 6 1 6 0k ，解得 1k 7分 切线方程为 1yx 8 分 （ ）直线 l 的斜率显然存在，设 l ：2py kx， 设11( , )A x y，22( , )B x y， 由 2 22x pypy kx 消 y得 2220x p k x p 且 0 122x x pk， 212x x p ； 11( , )A x y， 直线 OA ：11yyxx ， 与2py联立可得11( , )22px pC y， 同理 得 22( , )22px pD y 10 分 焦点 (0, )2pF， 11( , )2pxF C py ， 22( , )2pxF D py ， 12分 12( , ) ( , )22p x p xF C F D p pyy 2221 2 1 21 2 1 22 2 4p x p x p x xppy y y y 2 442 2 21222 212 1204 22p x x ppp p pxx x x ppp 以 CD 为直径的圆过焦点 F 14 分 20.（本小题共 13分） 用 a 表示不大于 a 的最大整数令集合 1, 2 ,