2014届高三数学(理)总复习--状元笔记整理版2014届高三数学(理)总复习--状元笔记整理版

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空间几何体的三视图及其表面积、体积和立体几何的三个难点问题一、空间几何体的三视图及其表面积、体积柱、锥、台、球及其简单组合体,三视图,直观图等内容是立体几何的基础,是研究空间问题的基本载体,也是高考对立体几何考查的一个重要方面,其中几何体的结构特征和三视图是高考的热点.一高考对三视图的三个考查角度1.由几何体画三视图或考查对简单几何体的三视图的识别解答此类问题的关键是一要掌握各种基本几何体的三视图,注意简单组合体的构成;二要熟悉三视图“长对正、高平齐、宽相等”的法则.例1如图所示,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为3和4,过直角顶点的侧棱长为4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是解析结合三视图的画法规则可知B正确.答案B2.由三视图还原几何体,考查对空间几何体的认识及空间想象能力.由几何体的三视图还原几何体,一般如下处理首先通过俯视图确定几何体底面的大致形状,然后利用正视图和侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置,确定几何体的形状.例2三视图如图所示的几何体是A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台解析由三视图知该几何体为一四棱锥,其中有一侧棱垂直于底面,底面为一直角梯形.答案B3.借助于三视图研究几何体的表面积、体积解决此类问题关键是通过三视图确定空间几何体中的几何量的关系其中,正视图、侧视图的高就是空间几何体的高,正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度,侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度.例3如图是某几何体的三视图,其中正视图是斜边长为2A的直角三角形,侧视图是半径为A的半圆,则该几何体的体积是A36ΠA3B3ΠA3C34ΠA3D.23ΠA3解析由侧视图为半圆可知,该几何体与圆柱、圆锥、球有关,结合正视图是一个直角三角形知该几何体是沿中心轴线切开的半个圆锥,将剖面放置在桌面上,如图,由条件知,半圆锥的母线长为2A,底面半径为A,故半圆锥的高为2A2-A2=3A,几何体的体积V=1213ΠA23A=36ΠA3答案A二求体积的几种方法空间几何体的体积是高考考查立体几何的考点之一,求空间几何体的体积的常用方法主要有公式法、转化法、割补法.1.公式法直接根据相关的体积公式计算.例4一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为43Π,则该正方体的表面积为________.解析依题意知正方体的体对角线长等于球的直径,设球的半径为R,则43Π=43ΠR3,所以R=3,于是正方体的体对角线长为23设正方体的棱长为A,则有23=3A,于是A=2,因此正方体的表面积为6A2=24答案242.转化法根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高,从而使得体积计算更容易,或是可以求出一些体积比等.例5如图所示,在正六棱锥P-ABCDEF中,G为PB的中点,则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为A.1∶1B.1∶2C.2∶1D.3∶2解析根据三棱锥的特点,可以采用等体积转化的方法解决.法一如图所示,由于点G为PB的中点,故点P,B到平面GAC的距离相等,故三棱锥P-GAC的体积等于三棱锥B-AGC的体积,根据三棱锥的特点,所要解决的两个三棱锥的体积之比就等于三棱锥G-ACD与三棱锥G-ABC的体积之比,由于这两个三棱锥的高相等,体积之比等于其底面积之比,即△ACD与△ABC的面积之比,这个面积之比是2∶1法二如图所示,连接BD交AC于H,则点D,B到平面GAC的距离之比等于DH∶BH,因为△AHD∽△CHB,故DH∶BH=AD∶BC=2∶1,三棱锥D-GAC与三棱锥B-GAC底面积相等,故其体积之比等于其高的比,即所求比值是2∶1答案C3.割补法把不能直接计算其体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可以计算体积的空间几何体,通过这个空间几何体的体积计算所求的空间几何体的体积.例6如图所示,若正方体的棱长为2,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为A26B23C33D23解析如图所示,平面ABCD把该多面体分割成两个体积相等的正四棱锥.以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的正四棱锥,该正四棱锥的高是正方体边长的一半,底面面积是正方体一个面面积的一半,V=2131222122=23答案B二、破解高考中立体几何的三个难点问题破解难点一探究与球有关的组合体问题与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心、“切点”或“接点”作出截面图.例1四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为2,点S,A,B,C,D都在同一个球面上,则该球的体积为________.解析如图所示,根据对称性,只要在四棱锥的高线SE上找到一个点O使得OA=OS,则四棱锥的五个顶点就在同一个球面上.在RT△SEA中,SA=2,AE=1,故SE=1设球的半径为R,则OA=OS=R,OE=1-R在RT△OAE中,R2=1-R2+1,解得R=1,即点O为球心,故这个球的体积是4Π3答案4Π3破解难点二平面图形翻折问题的求解将平面图形沿其中一条或几条线段折起,使其成为空间图形,这类问题称之为平面图形翻折问题.平面图形经过翻折成为空间图形后,原有的性质有的发生了变化,有的没有发生变化,弄清它们是解决问题的关键.一般地,翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化,不在同一个平面上的性质可能会发生变化,解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值,这是解决翻折问题的主要方法.例2如图边长为A的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形,则下列命题中正确的是①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上;②BC∥平面A′DE;③三棱锥A′FED的体积有最大值.A.①B.①②C.①②③D.②③解析①中由已知可得面A′FG⊥面ABC,所以点A′在面ABC上的射影在线段AF上.②∵BC∥DE,且BC⊄平面A′DE,DE⊂平面A′DE,∴BC∥平面A′DE③当面A′DE⊥面ABC时,三棱锥A′FED的体积达到最大.答案C破解难点三立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题的主要类型有1探索条件,即探索能使结论成立的条件是什么;2探索结论,即在给定的条件下,命题的结论是什么.1.综合法对命题条件的探索常采用以下三种方法1先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明;2先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明其充分性;3把几何问题转化为代数问题,探索命题成立的条件.对命题结论的探索常采用以下方法首先假设结论成立,然后在这个假设下进行推理论证,如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设,如果得到了矛盾的结果就否定假设.例32013东城模拟如图,在△BCD中,∠BCD=90,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60,E,F分别是AC,AD上的动点,且AEAC=AFAD=Λ0Λ1.1判断EF与平面ABC的位置关系并给予证明;2是否存在Λ,使得平面BEF⊥平面ACD,如果存在,求出Λ的值;如果不存在,说明理由.解1EF⊥平面ABC因为AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD,又在△BCD中,∠BCD=90,所以BC⊥CD,又AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC又在△ACD中,E,F分别是AC,AD上的动点,且AEAC=AFAD=Λ0Λ1,∴EF∥CD∴EF⊥平面ABC2存在.∵CD⊥平面ABC,BE⊂平面ABC,∴BE⊥CD,∵∠BCD=90,BC=CD=1,∴BD=2在RT△ABD中,∠ADB=60,∴AB=BDTAN60=6,则AC=AB2+BC2=7,当BE⊥AC时,BE=ABBCAC=67,AE=AB2-BE2=677,则AEAC=6777=67,则Λ=AEAC=67时,BE⊥AC,又BE⊥CD,AC∩CD=C,∴BE⊥平面ACD∵BE⊂平面BEF,∴平面BEF⊥平面ACD所以存在Λ,且当Λ=67时,平面BEF⊥平面ACD方法2空间向量法不论是对命题条件还是对命题结论的探索,利用空间向量法均可降低思维难度和计算难度,只要合理建立空间直角坐标系,标出各点的坐标,求出直线的方向向量和平面的法向量根据题中要求可引入参数,结合结论和已知条件若有参数则解出参数,即可得出结果.例42012淄博模拟已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E,F分别是线段AB,BC的中点.1证明PF⊥FD;2判断并说明PA上是否存在点G,使得EG∥平面PFD;3若PB与平面ABCD所成的角为45,求二面角A-PD-F的余弦值.解1证明∵PA⊥平面ABCD,∠BAD=90,AB=1,AD=2,建立如图所示的空间直角坐标系AXYZ,则A0,0,0,B1,0,0,F1,1,0,D0,2,0不妨令P0,0,T,则PF=1,1,-T,DF=1,-1,0,∴PFDF=11+1-1+-T0=0,即PF⊥FD2存在,设平面PFD的法向量为N=X,Y,Z,由NPF=0,NDF=0,得X+Y-TZ=0,X-Y=0,令Z=1,解得X=Y=T2∴N=T2,T2,1设G点的坐标为0,0,M,E12,0,0,则EG=-12,0,M,要使EG∥平面PFD,只需EGN=0,即-12T2+0T2+M1=M-T4=0,得M=14T,从而满足AG=14AP的点G即为所求.3∵AB⊥平面PAD,∴AB是平面PAD的法向量,易得AB=1,0,0.又∵PA⊥平面ABCD,∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角,得∠PBA=45,则PA=1,平面PFD的法向量为N=12,12,1,∴COS〈AB,N〉=ABN|AB||N|=1214+14+1=66,从而二面角A-PD-F的余弦值为66两类不等式恒成立问题的求解策略不等式恒成立问题是数学试题中的重要题型,涉及数学中各部分知识,但主要是函数中的不等式恒成立问题和数列中的不等式恒成立问题,涉及题型一般有两类一是已知不等式恒成立,求参数的取值范围,解决这类问题的基本方法是相同的,首选方法是利用分离参数转化为求新函数、新数列的最值问题,如果不能分离参数或者分离参数比较复杂时,一般选择函数的方法,通常利用函数的最值解决;二是证明不等式恒成立,在函数中一般选择以算代证,即通过求函数的最值证明不等式.在数列中,很多时候可以与放缩法结合起来,对所证不等式的一侧进行适当放大或缩小,下面分别举例说明.一、函数中的不等式恒成立问题函数是不等式恒成立问题的主要载体,通常通过不等式恒成立问题考查等价转化思想、函数的最值或值域,对涉及已知函数在给定区间上恒成立,求参数的取值范围、证明不等式等问题,大多数题目可以利用分离参数的方法,将问题转化为求函数的最值或值域问题.例1已知两个函数FX=8X2+16X-K,GX=2X3+5X2+4X,其中K为实数.1若对任意的X∈-3,3,都有FX≤GX成立,求K的取值范围;2若对任意的X1、X2∈-3,3,都有FX1≤GX2,求K的取值范围.解1令FX=GX-FX=2X3-3X2-12X+K问题转化为FX≥0在X∈-3,3时恒成立,故解FXMIN≥0即可.∵F′X=6X2-6X-12=6X2-X-2,故由F′X=0,得X=2或X=-1∵F-3=K-45,F3=K-9,F-1=K+7,F2=K-20,∴FXMIN=K-45由K-45≥0,解得K≥45故实数K的取值范围是45,+∞.2由题意可知当X∈-3,3时,都有FXMAX≤GXMIN由F′X=16X+16=0,得X=-1∵F-3=24-K,F-1=-8-K,F3=120-K,∴FXMAX=-K+120由G′X=6X2+10X+4=0,得X=-1或X=-23∵G-3=-21,G3=111,G-1=-1,G-23=-2827,∴GXMIN=-21则120-K≤-21,解得K≥141∴实数K的取值范围是141,+∞.点评将恒成立问题转化为求函数的最值问题来处理,一般有下面两种类型1若所给函数能直接求出最值,则有①FX0恒成立⇔FXMIN0;②FX≤0恒成立⇔FXMAX≤02若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围,则有下面的A为参数①FXGA恒成立⇔GAFXMAX;②FXGA恒成立⇔GAFXMIN例2已知函数FX=ALNX+X2,A为实常数.1若A=-2,求函数FX的单调区间;2若对∀X∈1,E,使得FX≤A+2X恒成立,求实数A的取值范围.解1函数FX的定义域为0,+∞,当A=-2时,FX=X2-2LNX,所以F′X=2X2-1X令F′X=2X2-1X0,得X-1或X1且定义域为0,+∞,所以函数FX的单调增区间是1,+∞.令F′X=2X2-1X0,得-1X1,且定义域为0,+∞,所以函数FX的单调减区间是0,1.2不等式FX≤A+2X,可化为AX-LNX≥X2-2X因为X∈1,E,所以LNX≤1≤X且等号不能同时取,所以LNX<X,即X-LNX0因而A≥X2-2XX-LNXX∈1,E.令GX=X2-2XX-LNXX∈1,E,又G′X=X-1X+2-2LNXX-LNX2,当X∈1,E时,X-1≥0,LNX≤1,X+2-2LNX0,从而G′X≥0当且仅当X=1时取等号.所以GX在1,E上为增函数.故GXMAX=GE=E2-2EE-1所以A的取值范围是E2-2EE-1,+∞点评利用不等式与函数和方程之间的联系,将问题转化成一次函数或二次函数二次方程的问题研究,一般有下面几种类型1.一次函数型问题利用一次函数的图象特点求解.对于一次函数FX=KX+BK≠0,X∈M,N,有1FX≥0恒成立⇔FM≥0,FN≥02FX0恒成立⇔FM0,FN02.二次函数型问题结合抛物线的形状考虑对称轴、顶点、区间端点等,列出相关的不等式,求出参数的解,下面是两种基本类型对于二次函数FX=AX2+BX+CA≠0,X∈R,有1FX0对X∈R恒成立⇔A0,Δ0,2FX0对X∈R恒成立⇔A0,Δ0二、数列中的不等式恒成立问题数列是一种特殊的函数,所以解决数列中的不等式恒成立问题与函数中不等式恒成立问题的解法相同,基本方法也是利用分离参数转化为求新数列的最值问题,数列中的最值问题一般是应用数列的单调性求解;而数列中的不等式恒成立的证明,则很多时候可以与放缩法联系起来.例3在数列{AN}中,A1=1,AN+1=CAN+CN+12N+1N∈N,其中实数C≠01求{AN}的通项公式;2若对一切K∈N有A2KA2K-1,求C的取值范围.解1由A1=1,A2=CA1+C23=3C2+C=22-1C2+C,A3=CA2+C35=8C3+C2=32-1C3+C2,A4=CA3+C47=15C4+C3=42-1C4+C3,归纳猜想AN=N2-1CN+CN-1,N∈N下面用数学归纳法证明当N=1时,等式成立;假设当N=K时,等式成立,即AK=K2-1CK+CK-1,则当N=K+1时,AK+1=CAK+CK+12K+1=CK2-1CK+CK-1+CK+12K+1=K2+2KCK+1+CK=K+12-1CK+1+CK,综上,AN=N2-1CN+CN-1对任何N∈N都成立.2由A2KA2K-1,得2K2-1C2K+C2K-12K-12-1C2K-1+C2K-2,因C2K-20,所以4C2-CK2+4CK-C2+C-10对K∈N恒成立.记FX=4C2-CX2+4CX-C2+C-1,下面分三种情况讨论①当C2-C=0,即C=0或C=1时,代入验证可知只有C=1满足要求.②当C2-C0时,即0C1,抛物线Y=FX开口向下,因此当正整数K充分大时,FK0,不符合题意,此时无解.③当C2-C0,即C0或C1时,抛物线Y=FX开口向上,易知Δ0,其对称轴X=121-C必在直线X=1的左边.因此,FX在1,+∞上是增函数.所以要使FK0对K∈N恒成立,只需F10即可.由F1=3C2+C-10,解得C-1-136或C-1+136结合C0或C1,得C-1+136或C1结合以上三种情况,C的取值范围为-∞,-1+136∪1,+∞.点评本题中关于K的不等式,不能通过分离参数将K与C分离,这时的一般解法是直接利用函数知识求函数最值,只是这时的函数定义域不是连续区间,这也是数列与函数的区别.由此可见,数列中的不等式恒成立与函数中不等式恒成立的解法基本相同,不同之处就是定义域不同.排列组合在高考中的多方位交汇及古典概型与几何概型中的三类错误一、排列组合在高考中的多方位交汇排列组合问题在高考中是常考内容,但近些年在考查角度及与其他知识的综合上有了加强,这反映出高考题中重在考查学生综合运用知识、分析问题、解决问题的能力.有以下几个题型.热点一组合知识与向量知识的综合例1在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数A和一个奇数B构成以原点为起点的向量A=A,B.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形,记所有作成的平行四边形的个数为N,其中面积不超过4的平行四边形的个数为M,则MN=A415B13C25D23解析由已知条件,满足要求的向量分别为2,1,2,3,2,5,4,1,4,3,4,5,故能构成的平行四边形个数N=C26=652=15由S平行四边形=|X1Y2-X2Y1|可得,2,1,2,3两向量构成的平行四边形面积为S1=|23-12|=4,2,3,2,5两向量构成的平行四边形面积为S2=|25-23|=4,2,1,4,1两向量构成的平行四边形面积为S3=|21-14|=2,2,1,4,3两向量构成的平行四边形面积为S4=|23-14|=2,2,3,4,5两向量构成的平行四边形面积为S5=|25-34|=2面积不超过4的共有M=5个.故所求概率为MN=13答案B点评本题中计数要求不高,但大家要有代入检验的意识.热点二组合知识与概率知识的综合例2盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个.若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率等于________.解析由题意知,从5个球中随机取出2个球共有C25=10种不同取法,而取出的球颜色不同共有C13C12=6种不同取法,故所取出的2个球颜色不同的概率P=C13C12C25=610=35答案35点评注意情景中的抽取球的过程与顺序无关,因此属组合问题,在找2个球颜色不同的个数时,又用了分步计数原理的知识.热点三排列知识与概率知识的综合例3有5本不同的书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率是A15B25C35D45解析5本书的全排列有A55种排法,其中语文书相邻的排法有A22A44种,数学书相邻的排法有A22A44种,语文书数学书各自同时相邻的排法有A22A22A33种,故所求概率为A55-A22A44+A22A44-A22A22A33A55=25答案B点评图书摆放在书架上具有顺序性,因此属于排列问题,本题在处理都不相邻的问题上灵活应用了间接思维,使复杂问题简单化.二、盘点古典概型与几何概型中的三类错误古典概型与几何概型是高考中的常考知识点.对于古典概型,列举法仍是求解其概率的主要方法,而与排列、组合问题相结合的概率问题仍是命题的热点;对于几何概型除掌握其定义外,其题型的重点主要体现在两种常见的几何度量长度、面积,难度不会太大,但题型可能较灵活,背景更新颖.如下几个类型易错类型一知识性错误例1设袋中有4只白球和2只黑球,现从袋中无放回地摸出2只球.1求这2只球都是白球的概率;2求这2只球中1只是白球1只是黑球的概率.错解一次摸出2只球,观察结果的颜色只能是白,白,白,黑,黑,黑3种情况,1用A表示“2只球都是白球”这一事件,则A={白,白},所以PA=132用B表示“2只球中1只是白球1只是黑球”这一事件,则B={白,黑},所以PB=13错因分析在上述错解中白,白,白,黑,黑,黑3种结果的出现不是等可能的.正解我们不妨把4只白球标以1,2,3,4号,2只黑球标以5,6号,则基本事件有1,2,1,3,,1,6,2,1,2,3,,2,6,,6,1,6,2,,6,5,共30个.1用A表示“2只球都是白球”这一事件,则A={1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3}共12个.所以PA=1230=252用B表示“2只球中1只是白球1只是黑球”这一事件,则B={1,5,1,6,2,5,2,6,3,5,3,6,4,5,4,6,5,1,5,2,5,3,5,4,6,1,6,2,6,3,6,4}共16个.所以PB=1630=815类型二数学思维方法应用错误例2有6个房间安排4个旅客住,每个人可以住进任一房间,且住进各房间是等可能的.1指定的4个房间中各有1人住的事件的概率为________;2指定的房间有2人住的事件的概率为________.错解所有基本事件的个数为6543=3601指定的4个房间中各有1人住,有4321=24种,故所求的概率为115;2从4人中选2人去指定的房间,有6种方法,余下2人每人去5个房间中的任一间,有54=20种方法,故所求的概率为6206543=13错因分析本题错误地理解了基本事件的个数,忽视了基本事件可以包含多个人住一个房间的情况.正解每人可以进住任一房间,且进住各房间都有6种等可能的方法,故所有可能的情况有64种,1指定的4个房间中各有1人住,有4321=24种,故所求的概率为2464=154;2从4人中选2人去指定的房间,有6种方法,余下2人每人去5个房间中的任一间,有52种方法,故所求的概率为65264=25216类型三审题错误例3在等腰直角三角形ABC中,过直角顶点C在∠ACB内部任作一射线CM,与线段AB交于点M,求AMAC的概率.错解如图,点M随机地落在线段AB上,故线段AB的长为基本事件的度量,当M位于线段AC′AC′=AC上时,AMAC,故线段AC′的长为所求事件的度量.故PAMAC=PAMAC′=AC′AB=ACAB=22答AM的长小于AC的概率是22错因分析由于本题是在∠ACB作射线CM,等可能分布的是CM在∠ACB内的任一位置,因此基本事件的度量应是∠ACB的大小而不是线段AB的长,这是类似问题由于等可能的视角不同造成的,概率也会不一样.正解据题意知AMAC的概率应为满足条件的∠ACM与∠ACB大小的比,即PAMAC=67590=34几点建议1.重视错题病例“错误是最好的老师”,错题病例也是财富,它有时暴露我们的知识缺陷,有时暴露我们的思维不足,有时暴露我们的方法不当.毛病暴露出来了,也就有治疗的方向,提供了纠错的机会,只有认真地追根溯源查找错因,教训才会深刻.建议在复习过程中做到建立错题集,特别是那些概念理解不深刻、知识记忆错误、思维不够严谨、方法使用不当等典型错误收集成册,并加以评注,指出错误原因,经常翻阅,常常提醒,以绝后患.注意收集错题也有个度的问题,对于那些一时粗心的偶然失误,或一时情绪波动而产生的失误应另作他论.2.培养良好的审题能力解题时审题要慢,要看清楚,步步为营,稳中求快,立足于一次成功,不要养成唯恐做不完,匆匆忙忙抢着做,寄希望于检查的坏习惯,这样做的后果一则容易先入为主,致使有时错误难以发现;二则一旦发现错误,尤其是起步就错,又要重复做一遍,既浪费时间,又造成心理负担.平面向量中的三角形“四心”问题在三角形中,“四心”是一组特殊的点,它们的向量表达形式具有许多重要的性质,在近年高考试题中,总会出现一些新颖别致的问题,不仅考查了向量等知识点,而且培养了考生分析问题、解决问题的能力.现就“四心”作如下介绍1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