（2014韶关一模）广东省韶关市2014届高三调研试题（一）数学理 Word版含解答

2014 届 高三年级 调研测 试 数学（理 科） 本试卷共 4 页，共 21 小题，满分 150 分 . 考试用时 120 分钟 . 注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将答题卡试卷类型（ A）填涂在答题卡上。在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑 . 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上 . 3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字 笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效 . 4考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 . 参考公式：棱锥的体积公式： 13V sh， s 是棱锥底面积， h 是棱锥的高 . 一、选择题： 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设集合 2 , 0 , 2 , 4A , 2| 2 3 0B x x x ， ,则 AB （ ） 0.A 2.B 2,0.C 4,2,0.D 2 已知 a 是实数 ， i1ia是纯虚数 ， 则 a 等于（ ） A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 3. 若 0 . 5222 , l o g 3 , l o g 2a b c ， 则有（ ） . A. abc B.bac C.c a b D.b c a 4. 已知椭圆与双曲线 2214 12xy的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为 10 ，那么椭圆的离心率等于 ( ) A. 35 B. 45 C. 54 D. 34 5. 函数 )43(s in21 2 xy是（ ） A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数 C最小正周期为2的奇函数 D最小正周期为2的偶函数 6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) A 12 B 1 C 32 D 3 7. 已 知 向 量 AB 与 AC 的 夹 角 为 0120 , 且 3,2 ACAB , 若ACABAP ,且 , BCAP ,则实数 的值为 ( ） 2 1 1 3 3 正视图 侧视图 俯视图 2 1 OEDCBADCBAA73 B 13 C 6 D712 8. 设实数 x、 y 满足 26260, 0xyxyxy ， 则 m a x 2 3 1 , 2 2z x y x y 的取值范围是 ( ) A 2,5 B 2,9 C 5,9 D 1,9 二、填空题 ： 本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分， 满分 30 分 . （一）必做题（ 913 题） 9. 等 差 数列 na的前 n 项和为nS， 若231, 2aa，则4S 10.已知函数 ( ) 4 lnf x x x ，则曲线 ()y f x 在点 (1, (1)f 处的切线方程为_. 11. 已知实数 0,10x ，执行如图所示的程序框图，则输出的 x 不小于 47 的概率为 12. 不等式 1 2 1xx 解集 是 _. 13. 已知函数 2l o g , 0()3 , 0xxxfxx ， 且关于 x 的方程 ( ) 0f x x a 有且只有一个实根 ，则实数 a 的取值范围 是 _. （二）选做题（ 14、 15 题，考生只能从中选做一题） 14.（几何证明选讲选做题 ） 如图 ,AB 是圆 O 的直径 ,点 C 在圆 O 上 ,延长 BC 到 D 使CDBC , 过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E . 若 8AB , 4DC 则DE _. 15.（ 坐 标 系与 参 数方 程 选做 题 ） 在极 坐标 系中 , 圆 sin4 的 圆 心 到直 线)(3 R 的距离是 三、解答题 ：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. （本小题满分 12 分） 如图，在 ABC 中， 45B ， 10AC ， 25c o s5C，点 D 是 AB 的中点 , 求 : （ 1）边 AB 的长； （ 2） cosA 的值和中线 CD 的长 . 17. （本小题满分 12 分） 某学校随机抽取部分新生调查其上学 路上 所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学 路上 所需时间的范围是 0,100 ，样本 数据分组为 0,20) ， 20,40) ， 40,60) ， 60,80) ， 80,100 . （ 1） 求直方图中 x 的值； （ 2） 如果上学 路上 所需时间 不少于 60 分钟 的学生可申请在学校住宿，请估计学校 1000 名新生中有多少名学生可以申请住宿； （ 3） 现有名上学路上时间小于 40 分钟的新生，其中人上学路上时间小于 20 分钟 . 从这人中任选人，设这人中上学路上时间小于 20 分钟人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望 18. （本小题满分 14 分） 如图所示的多面体中， ABCD 是 菱形 ， BDEF 是 矩形， ED 平面 ABCD ，3BAD ， 2AD (1) 求证： 平面 FCB 平面 AED ； (2) 若 二面角 CEFA 为直二面角 ， 求直线 BC 与平面 AEF 所成的角 的正弦值 19.（本小题满分 14 分） 已知函数 ()fx 323 3 ( 0 )a x x x a （ 1）当 1a 时，求 ()fx的单调区间； （ 2）若 ()fx在 1,3 的最大值为 8 ，求 a 的值 . 20.（本小题满分 14 分） 已知 na为 公差不为零的 等差数列，首项1aa， na的部分项1ka、2ka、 、nka恰为等比数列，且 11k ， 52 k ， 173 k . （ 1）求数列 na的通项公式na（用 a 表示）； （ 2）设数列 nk 的前 n 项和为 nS , 求证：121 1 1 32nS S S （ n 是正整数） . 时间频率 组距x0 .01250 .00650 .00310 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110O21.（本小题满分 14 分） 设抛物线 2 2 ( 0 )y px p的焦点为 F ，点 (0, 2)A ， 线段 FA 的中点在抛物线上 . 设动直线 :l y kx m与抛物线相切于点 P ，且与抛物线的准线 相交于点 Q ，以 PQ 为直径的圆记为圆 C （ 1）求 p 的值； （ 2）试判断圆 C 与 x 轴的位置关系； （ 3）在坐标平面上 是否存在定点 M ，使得 圆 C 恒过点 M ？若存在，求出 M 的坐标；若不存在，说明理由 2014 届 高三年级第 一 次 模拟测 试 (理 科 )参考答案和评分标准 一、选择题： 本大题主要考查基本知识和基本运算共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分 CAABA CDB 题目解析 : 1. 解析： | 1 3B x x ，所以 AB 2,0.C ，选 C 2.解析：2 )1(12 )1)(1 iaaiiaiia 是纯虚数，则 01a ； 1a ， 选 A 3. 解析： 0 .5 02 2 1a ， lo g 3 0 ,1b，222l o g l o g 1 02c ， abc 选 A. 4. 解析： 5a ， 4 1 2 4c ， 45e 选 B 5. 解析： 2 331 2 s i n ( ) c o s 2 ( ) s i n 244y x x x ，所以 ()fx 是最小正周期为 的奇函数，选 A 6. 解析： 由三视图易知，该 几何体是底面积为 32，高为 3 的三棱锥，由锥体的体积公式得 1 3 333 2 2V .选 C 7. 解析： 0)()( ABACACABBCAP 得 712039430)()( 22 ABACACABACAB,选 D 8. 解析：作出可行域如图，当平行直线系 2 3 1x y z 在直 线 BC 与点 A 间运动时 ， 2 3 1 2 2x y x y ， 此时 2 3 1 5 , 9z x y ， 平行直线线 22x y Z 在点 O 与 BC 之间运动时 ， 2 3 1 2 2x y x y ， 此时， 2 2 2 , 8z x y . 2,9z .选 B 二 、 填空题： 本大题主要考查基本知识和基本运算 本大题共 7 小题， 考生作答 6 小题， 每小题 5 分 ，满分 30 分 其中 14 15题是选做题，考生只能选做一题 9. 6 10. 3 4 0xy , 11. 12 12. 1, ) 13. (1, ) 14.2 15.1 . 题目解析 :9. 解析： 可已知可得 ,1 4 43 , 6a a S 10. 解析： 由几何概型得到输出的 x 不小于 47 的概率为 P= = 11. 解析： 4( ) 1fxx， (1) 3f ， (1) 1f 切线方程 1 3 ( 1)yx ，即 3 4 0xy 12. 解析： 设 ( ) 1 2f x x x ， 则 3 , 1( ) 1 2 2 1 , 1 23 , 2xf x x x x xx .由 2 1 1x ， 解得 1 x ， 所以解集为 1, ) 3 A y x O c B 6 3 x y y x a 1yx O 1 1 OEDCBAdox13. 解析： 如图，在同一坐标系中分别作出 ()y f x 与 y x a 的图象， 其中 a 表示直线在 y 轴上截距，由图可知，当 1a 时， 直线 y x a 与2logyx只有一个交点 . 14. 解析 ：利用已知条件可得 CDEABC ， 84 24A B B C DED C D E D E 15. 解析： 如下图 , 设圆心到直线距离为 d ，因为圆的半径为 2 ， 2 s i n 3 0 1d 三、 解答题：本大题共 6小题，满分 80分 .解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 . 16 (本题满 分 12分 ) 解： 解：由 25c o s 05C 可知， C 是锐角，所以， 22 2 5 5s i n 1 c o s 1 ( )55CC .2 分 由正弦定理 s i n s i nA C A BBC 5105s i n 2s i n 22ACA B CB 5 分 (2) c o s c o s ( 1 8 0 4 5 ) c o s ( 1 3 5 )A C C 2 1 0( c o s s i n ) ,2 1 0CC 8 分 由余弦定理 : 22 102 c o s 1 1 0 2 1 1 0 ( ) 1 310C D A D A C A D A C A 12 分 17. (本题满 分 12 分 ) （ 1） 由直方图可得： 2 0 0 . 0 1 2 5 2 0 0 . 0 0 6 5 2 0 0 . 0 0 3 2 2 0 1x .学 所以 0.025x= . 2 分 （ 2） 新生上学所 需时间不少于 60 分钟 的频率为： 0 . 0 0 3 2 2 0 0 . 1 2 4 分 因为 1 0 0 0 0 .1 2 1 2 0 所以 1000 名新生中有 120 名学生可以申请住宿 . 6 分 （ 3） X 的可能取值为 0， 1， 2. 7 分 所以 X 的可能取值为 0,1,2 分 0224262( 0 )5CCPXC 1124268( 1 )15CCPXC 时间频率 组距x0 .01250 .00650 .00310 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110ONMFEGD CBA2024261( 2 )15CCPXC 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 P 25 815 115 11 分 2 8 1 20 1 25 1 5 1 5 3EX 12 分 18.（本小题满分 14 分） （ 1） 矩形 BDEF 中， ,FB ED -1 分 FB 平面 AED ， ED 平面 AED , FB 平面 AED ， -2 分 同理 BC 平面 AED ,-3 分 又 BBCFB u 平面 FBC 平面 .EDA -4 分 （ 2）取 EF 的中点 M . 由于 ED 面 ABCD , ED FB , , , ,E D A D E D D C F B B C F B A B 又 ABCD 是 菱形 ， BDEF 是 矩形 ，所以， , , ,A D E E D C A B F B C F 是全等三角形， , CFCEAFAE 所以 EFCMEFAM , ， AMC 就是二面角 CEFA 的平面角 -8 分 AM MC 解法 1（ 几何方法）： 延长 CB 到 G ，使 BC BG ,由已知可得， ADBG 是平行四边形， 又 BDEF 矩形 ，所以 AEFG 是平行四边平面形， , , ,A E F G 共面，由上证可知， AM MC CM EF ， EF ,AM 相交于 M ， CMAEFG ， CGM 为所求 . 由 2AD , 60DAB,得 23AC 等腰直角三角形 AMC 中， 23AC ,可得 6MC 直角三角形 GMC 中 , 6s i n4CMC G M CG 解法 2几何方法）： 由 AM MC ， AM EF ， M C EF M 得 CM 平面 AEF ，欲求直线 BC 与平面AEF 所成的角，先求 BC 与 MC 所成的角 . -12 分 连结 BM ，设 .2BC 则在 MBC 中， 6322 MNCM ， 2MB ，用余弦定理知.4 62c o s 222 BCMC MBBCMCM CB .46sin -14 分 解法 3（ 向量方法）： 以 D 为原点， DC 为 y 轴、 DE 为 z 轴 zyxNMFED CBA建立如图的直角坐标系， 由 .2AD 则 )3,21,23(M， )0,2,0(C ，平面 AEF 的法向量 )3,23,23( MCn ， -12 分 )0,1,3( DACB . .46,cos CBnCBnCBn .46sin -14 分 19.（本小题满分 14 分） 解 :(1) 2( ) 3 6 3f x a x x .1 分 其判别式 )1(363636 aa ， 因为 1a ， 所以， 0 ，对任意实数， ( ) 0fx 恒成立， 所以， ()fx在 ( , ) 上是增函数 .4 分 （ 2）当 1a 时，由（ 1）可知， ()fx 在 ( , ) 上是增函数，所以 ()fx 在 1,3 的最大值为 (3)f ，由 (3) 8f ，解得 2627a（不符合，舍去） 6 分 当 01a时 ， 0)1(363636 aa ，方程 23 6 3 0a x x 的两根为 111ax a ，211ax a ， 8 分 2( ) 3 6 3f x a x x 图象的对称轴 1xa 因为 1 1x 1 1 1 ( 1 1 )10a a aaa （或111ax a 1 111a） , 所以 12101xxa 由2 3x 解得 59a 当 509a，2 3x ，因为 (1 ) 3 (1 ) 0fa ，所以 1,3x 时， ( ) 0fx , ()fx 在 1,3 是减函数， ()fx在 1,3 的最大值max(1)yf，由 (1) 8f ，解得 8a （不符合，舍去） . . 12 分 当 5 19 a，2 3x ，21, xx， ( ) 0fx ， ()fx 在21, x是减函数， 当2 ,3xx时， ( ) 0fx ， ()fx在 2 ,3x 是增函数 .所以 ()fx在 1,3 的最 大值 (1)f 或 (3)f ，由 (1)f 8 ， (3)f 8 ，解得 8a （不符合，舍去） ， 2627a 14 分 综上所述 2627a 20.（本小题满分 14 分） 解：（ 1）设数列 na的公差为 ( 0)dd ， 由已知得1=aa，5 4a a d，17 16a a d成等比数列， 2( 4 )ad ( 16 )a a d ，且 0a 2 分 得 0d 或2ad 已知 na为 公差不为零 2ad， 3 分 1 ( 1 )na a n d 1( 1 )22ana n a . 4 分 （ 2）由（ 1）知 12n naa 12n nk kaa 5 分 而等比数列 nka的公比5 1114 3a adq aa . 111 33n nnka a a 6 分 因此 12n nk kaa13na ， 0a 12 3 1nnk 7 分 0 1 1( 2 3 2 3 2 3 )nnSn 2 (1 3 )13n n31n n 9 分 当 1n 时， 0 1 2 2 1 13 ( 1 2 ) 2 2 2 2n n n n n nn n n n nC C C C C 01 22nnn n nC C C 2 2 1 2 1nn 3 1 2nnn （或用数学归纳法证明此不等式） 1 1 13 1 2nnnSn ( 2)n 11 分 当 1n 时，1131 2S ，不等式成立； 当 2n 时，121 1 1nS S S 2341 1 1 11 2 2 2 2 n 1111 ( ) 3 1 3421 ( )1 2 2 212nn 综上得不等式121 1 1nS S S 32 成立 . 14 分 法二当 3n 时， 0 1 2 2 1 13 ( 1 2 ) 2 2 2 2n n n n n nn n n n nC C C C C 0 1 2 222n n nC C C 221 2 1n n n 3 1 ( 1 )n n n n （或用数学归纳法证明此不等式） 1 1 1 1 13 1 ( 1 ) 1nnS n n n n n ( 3)n 11 分 当 1n 时，1131 2S ，不等式成立； 当 2n 时，2121 1 1 7 31 3 2 1 6 2SS ，不等式成立； 当 3n 时，121 1 1nS S S 121 1 1 1 1 1( ) ( )3 1 1 3 2 1 3 4 1nn 1 1 3 1 316 3 2 1 2n 综上得不等式121 1 1nS S S 32 成立 . 14 分 (法三 ) 利用二项式定理或数学归纳法可得： 13 1 ( 2 )n nn 所以， 2n 时， 113 ( 1 ) 3 3 2 3n n n nn ， 121 1 1nS S S 2 1 11 1 1 1 5 1 5 31 ( )2 3 3 3 4 4 3 4 2nn 1n 时，11 1S 综上得不等式121 1 1nS S S 32 成立 . 20.（本小题满分 14 分） 解 ： （ 1） 利用抛物线的定义 得 ( ,0)2pF，故 线段 FA 的中点 的坐标为 2( , )42p，代入方程得 1242pp，解得 1p 。 2 分 （ 2） 由（ 1）得抛物线的方程为 2 2yx ，从而抛物线的准线方程为 12x 3 分 由 2 2yxy kx m 得方程 2 02k y y m ， 由直线与抛物线相切，得 00k 012km k 4 分 且 1yk，从而212x k ，即211( , )2P kk， 5 分 由1212y kxkx ，解得 211( , )22kQ k， 6 分 PQ 的中点 C 的坐标为 22213( , )44kkC 圆心 C 到 x 轴 距离 2223()4 kd k， 222 22211( ) ( )22kkPQ 2 2 22 2 2 2 221 1 1 1 3( ) ( ) ( ) ( )2 4 2