2015高考数学 递推数列：模型化解题法案例(高考班)

2015 年高考数学解题能力突破训练营 教学案例 说明 本 案例为“ 2015 年高考数学解题能力突破训练营 ” 课程提前体验 的组成部分之一 ，供学员了解模型化归纳教学法 。 本文字部分为教师上课讲义的一部分。 “课后模块分类练习 ”、“教师授课视频”将于 2014 年 6 月 15 日对外发布。敬请关注！ （ 2014 年 暑假 集中培训课程使用） QBXT/JY/JXAL2014/6-GK-1 2014-6-6 发布 清北学堂教学研究部 清北学堂学科邮箱 自招高考 邮箱 数学竞赛邮箱 物理竞赛邮箱 化学竞赛邮箱 生物竞赛邮箱 理科精英邮箱 清北学堂官方博客 /tsba 清北学堂微信订阅号 学习资料最新资讯 清北学堂集中培训课程教学案例 （ 李伟源编撰，翻录必究） 北京清北学堂教育科技有限公司 第 2 页 2015 年高考数学解题能力突破训练营教学案例 递推数列 北京大学李伟源老师 类型一： 1 ()nna a f n 把原递推公式转化为 1 ()nna a f n ，利用 叠加 法 (逐差相加法 )求解 【例 01】已知数列 na 满足 211a， nnaann 21 1，求 na . 【例 02】已知数列 na 中 11a 且 2 2 1 ( 1)kkkaa ， 2 1 2 3kkkaa ， 其中 k=1， 2， 3， . (1)求 a3、 a5. (2)求 na 的通项公式 . 类型二： 1 ()nna f n a 把原递推公式转化为 1 ()nna fna ，利用累乘法 (逐商相乘法 )求解 【例 03】已知数列 na 满足 321a，nn anna 11 ，求 na . 【例 04】已知 31a ，nn anna 23 131 )1( n，求 na . 【例 05】已知数列 na ，满足 a1=1， 1321 )1(32 nn anaaaa (n2)， 求 na的通项 公式 . 类型 三 ： 1nna pa q ，其中 p、 q 均为常数， ( 1) 0pq p 把原递推公式转化为 1 ()nna t p a t ，其中1qt p ，再利用换元法转化为等比数列求解 (待定系数法 ) 【例 06】已知数列 na 中， 11a ， 321 nn aa ，求 na . 【例 07】在数列 na 中，若 1 1a ， 1 2 3( 1)nna a n ，求 na . 清北学堂集中培训课程教学案例 （ 李伟源编撰，翻录必究） 北京清北学堂教育科技有限公司 第 3 页 【例 08】 已知数列 na 满足 1 1a ， *1 2 1( )nna a n N. (1)求数列 na 的通项公式 . (2)若数列 nb 滿足 12 111 *4 4 4 ( 1 ) ( )nnbbbb nan N， 求证 数列 nb 是等差数列 . (3)求证 *122 3 11 . . . ( )2 3 2nnaaann na a a N. 类型 四 ： 1 nnna pa q (其中 p、 q 均为常数， ( 1 ) ( 1 ) 0pq p q )或 1na nnpa rq ，其中 p、 q、 r 均为常数 一般地，要先在原递推公式两边同除以 1nq 得 111nnaapq q q q ，引入辅助数列 nb (其中 nn nab q )得11nnpbbqq ，再用待定系数法解决 【例 09】已知数列 na 中， 651a， 11 )21(31 nnn aa，求 na . 【例 10】设数列 na 的前 n 项的和 14 1 223 3 3nnnSa . (1)求首项 1a 与通项 na . (2)设 2nn nT S， 求证132n ii T . 类型五： 递推公式为 nS 与 na 的关系式或 ()nnS f a 一般利用 11( 1 )( 2 )n nnSnaS S n 与11( ) ( )n n n n na S S f a f a 消去 nS ( 2)n 或与1()n n nS f S S ( 2)n 消去 na 进行求解 清北学堂集中培训课程教学案例 （ 李伟源编撰，翻录必究） 北京清北学堂教育科技有限公司 第 4 页 【例 11】已知数列 na 前 n 项和22 14 nnn aS. (1)求 1na 与 na 的关系 . (2)求通项公式 na . 【例 12】已知正项数列 na ，其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1、 a3、 a15 成等比数列，求数列 na 的通项 公式 . 【例 13】数列 na 的前 n 项和 Sn 满足 )3()21(3 12 nSS nnn， 11S ， 232 S，求数列 na 的通项公式 . 类型 六 ： 1nna p a a n b (1p 、 0 ， 0)a 这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令1 ( 1 ) (nna x n y p a )xn y，与已知递推式比较，解出 x 、y ，从而转化为 na xn y是公比为 p 的等比数列 【例 14】设数列 na 满足 41a ， )2(123 1 nnaa nn ，求 na . 【例 15】已知数列 na 中，1 12a， 点 (n ， 12)nnaa 在直线 y=x 上，其中 n=1， 2， 3， (1)求数列 na . (2)设 nS 、 nT 分别为 数列 na 、 nb 的前 n 项和 ， 是否存在实数 使得数列nnSTn为等差数列？若存在 ， 试求出 ；若 不存在 ，请 说明理由 . 类型 七 ： 1 rnna pa (0p ， 0)na 一般 将 等式两边取对数后转化为 1nna pa q 再利用待定系数法求解 【例 16】已知数列 na 中 ， 11a ， 21 1 nn aaa )0( a， 求数列 na 的通项公式 . 【例 17】已知数列 na 的 各项都是正数且满足 10a ， )4(211 nnn aaa *()nN. 清北学堂集中培训课程教学案例 （ 李伟源编撰，翻录必究） 北京清北学堂教育科技有限公司 第 5 页 (1)求证 21 nn aa *()nN . (2)求数列 na 的通项公式 . 【例 18】已知 a1=2， 点 (an， an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上 ， 其中 =1， 2， 3， (1)证明数列 lg(1 )na 是等比数列 . (2)设 Tn=(1+a1)(1+a2)( 1+an)， 求 Tn 及数列 na 的通项 . (3)记 bn=211 nn aa， 求 nb 数列的前项和 Sn 并证明 Sn+132nT=1. 类型 八 ：1()( ) ( )nn nf n aa g n a h n 一般可将等式两边取倒数后换元转化为 1nna pa q 这一熟悉的形式 【例 19】已知数列 na 满足13 11 nnn aaa， 11a ， 求数列 na 的通项公式 . 【例 20】已知数列 na 满足 a1=32 且 113 (221nnnnaanan， *)nN . (1)求数列 na 的通项公式 . (2)求证 ：对于一切正整数 n， 不等式 12 2!na a a n . 类型 九 ： 221 ( 0 )nn na t bt a cc t d 【例 21】已知数列 na 中 ， a1=2， 3 121 nn aa， 求 na 的通项 公式 . 【例 22】已知数列 na 中 ， a1=3，1241 nnn aaa， 求 na 的通项 公式 . 【例 23】已知数列 na 的前 n 项和为 nS ， 211a， )1(2 nnanS nn ， 求 na 的通项 公式 . 清北学堂集中培训课程教学案例 （ 李伟源编撰，翻录必究） 北京清北学堂教育科技有限公司 第 6 页 【例 24】 各项均为正数的