六校2015届高三上学期第一次联考数学理试题(理试)

2015 届高三六校第一次联考 理科数学 第一部分 选择题 （共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. “ 1x ”是“ 2x ”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2. 已知 2 ( , )ai b i a b Ri ，其中 i 为虚数单位，则 ab （ ） A. 1 B 1 C 2 D 3 3. 若 )1,0(x ，则下 列结论正确的是 （ ） A xxx 2lg 21 B 21lg2 xxx C xx x lg221 D xxx lg2 21 4.下列四个命题中，正确的是 （ ） A已知 服从正态分布 2,0N ，且 4.022 P ，则 2.02 P B已知命题 1tan,: xRxp ；命题 01,: 2 xxRxq 则命题“ qp ”是假命题 C设回归直线方程为 xy 5.22 ，当变量 x 增加一个单位时， y 平均增加 2 个单位 D已知直线 013:1 yaxl , 01:2 byxl ，则 21 ll 的充要条件是 ba=-3 5. 已知单位向量 ,ij满足 (2 )j i i，则 ,ij夹角为（ ） A4 B6 C3 D 23 6. 若动圆的圆心在抛物线 2 12xy 上，且与直线 30y 相切，则此圆恒过定点 （ ） A.(0,2) B.(0, 3) C.(0,3) D.(0,6) 7. 设 x ， y 满足约束条件0,002063yxyxyx ，若目标函数z ax by（ 0a ， 0b ）的最大值为 12，则 ab 的取值范围是 （ ） A. 3(0, 2 B. 3(0, )2 C. 3 , )2 D. (0, ) 8. 记集合 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 T , M= 4,3,2,1,|10101010 4433221 iTaaaaa i,将 M 中的元素按从大到小排列，则第 2013 个数是 （ ） A. 2347 9 8 71 0 1 0 1 0 1 0 B. 2345 6 7 81 0 1 0 1 0 1 0 C. 2346 9 7 31 0 1 0 1 0 1 0 D. 432 101109109107 第二部分 非选择题 （共 110 分） 二、填空题 : 本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分 （一）必做题（ 9 13 题） 9 在 7ax 展开式中 4x 的系数为 35 ,则实数 a 的值为 . 10计算定积分 1 20 x x dx . 11.已知双曲线 C 的焦点、实轴端点恰好是椭圆 22125 16xy的长轴端点、焦点，则双曲线 C的渐近线方程是 _. 12 在 ABC 中，内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，已知 5a ，325b，4A，则 Bcos . 13将石子摆成如图 1 的梯形形状 .称数列 5, 9,14, 20, 为“梯形数” .根据图形的构成 ,数 列第 6 项6a ；第 n 项na . （二）选做题（ 14 15 题，考生只能从中选做一题） 14. (坐标系与参数方程选做题 ) 在极坐标系中，直线6（ R ）截圆 2 c o s ( )6所得弦长是 . 15 （几何证明选讲选做题） 如图（图 2） AB 是 圆 O 的直径，过 A 、B 的两条弦 AD 和 BE 相交于 点 C ，若圆 O 的半径是 3 ，那么A C A D B C B E 的值等于 _. 图 2 三、 解答题：本大题共 6小题，满分 80分 .解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 . 16. （本小题满分 12 分） 甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意。最 终，商定以抛硬币的方式决定结果。规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上则甲得一分乙得零分，反面朝上则乙得一分甲得零分，先得 4 分者获胜，三人均执行胜者的提议 .记所需抛币次数为 . 求 =6 的概率； 求 的分布列和期望 . 17（本小题满 分 12 分 ） 已知函数 s i n 2 s i n 2 c o s 266f x x x x a （ ,a Ra 为常数） （ 1）求函数 fx的最小正周期和单调增区间； （ 2）若函数 fx的图像向左平移 0mm 个单位后，得到函数 gx的图像关于 y 轴对称，求实数 m 的最小值 . 18 (本小题满分 14 分 ) 设函数 ( ) 2 l n .af x a x xx （）若 ()fx在 2x 时有极值，求实数 a 的值和 ()fx的单调区间 ； （）若 ()fx在定义域上是增函数 ,求实数 a 的取值范围 图 1 EDCBA侧视图俯视图正视图144 4A FMNyxl19（本小题满分 14 分） 已知几何体 A BCED 的三视图如图所示， 其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 的等腰直角 三角形，正视图为直角梯形 （ 1）求此几何体的体积 V 的大小 ； （ 2）求 异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值； （ 3）试探究在 DE 上是否存在点 Q，使得 AQ BQ 并说明理由 . 20（本小题满分 14分 ） 如图，椭圆 22:13 6 2 0xyC 的左顶点、右焦点分别为 ,AF， 直线 l 的方程为 9x ， N 为 l 上一点，且在 x 轴的上方， AN 与椭圆交于 M 点 . （ 1）若 M 是 AN 的中点，求证： MFMA . （ 2）过 ,AF N 三点的圆与 y 轴交于 ,PQ两点，求 |PQ 的范围 . 21.（本小题满分 14 分） 设 21 0 8 1 2 0 7M a a ， 2Pa ， Q= 26 2a ；若将 lgM ， lgQ， lgP 适当排序后可构成公差为 1 的等差数列 na的前三项 . （ 1）试比较 M、 P、 Q 的大小； （ 2）求 a 的值及 na的通项； （ 3）记 函数 212( ) 2 ( * )n n nf x a x a x a n N 的图象在 x 轴上截得的线段长为nb， 设1 2 2 3 11 ()4n n nT b b b b b b ( 2)n，求nT，并证明 12342 nnT T T T n . . 理科数学参考答案 一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D B C C A A 二、填空题： 本大题共 7 小题， 考生作答 6 小题， 每小题 5 分 ，满分 30 分 其中 14 15题是选做题，考生只能选做一题 9. 1 ； 10. 13； 11. 4 3 0xy； 12 232； 13.35 , 142nn； 14.2 ； 15. 36 . 三、 解答题：本大题共 6小题，满分 80分 .解答须写 出文字说明、证明过程和演算步骤 . 16. （本小题满分 12 分） 甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意。最 终，商定以抛硬币的方式决定结果。规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上则甲得一 分乙得零分，反面朝上则乙得一分甲得零分，先得 4 分者获胜，三人均执行胜者的提议 . 记所需抛币次数为 . 求 =6 的概率； 求 的分布列和期望 . 16.解 :(1) 32351 1 1 5622 2 2 1 6PC 4 分 (2)分布列为 : 4 5 6 7 P 18 14 516 516 10 分 1 1 5 5 9 34 5 6 78 4 1 6 1 6 1 6E 12 分 17（本小题满分 12 分 ） 已知函数 s i n 2 s i n 2 c o s 266f x x x x a （ ,a Ra 为常数） （ 1）求函数 fx的最小正周期和单调增区间； （ 2）若函数 fx的图像向左平移 0mm 个单位后，得到函数 gx的图像关于 y 轴对称，求实数 m 的最小值 . 17. 解：（ 1）( ) s i n ( 2 ) s i n ( 2 ) c o s 266f x x x x a 3 s i n 2 c o s 2 2 s i n ( 2 ) .6x x a x a 4 分 fx的最小正周期为 22 5 分 当 2 2 2 ( )2 6 2k x k k Z，即 ()63k x k k Z时，函数 ()fx 单调递增，故所求单调增区间为 , ( ) .63k k k Z 8分 （ 2）函数 ()fx的图像向左平移 ( 0)mm 个单位后得 ( ) 2 s i n 2 ( ) 6g x x m a ， 9 分 要使 ()gx的图像关于 y 轴对称，只需 2 ( )62m k K Z 11 分 即 ()23km k Z ，所以 m 的最小值为3 12 分 18 (本小题满分 14 分 ) 设函数 ( ) 2 l n .af x a x xx （ ）若 ()fx在 2x 时有极值，求实数 a 的值和 ()fx的单调区间 ； （ ）若 ()fx在 定义域上是增函数 ,求实数 a 的取值范围 18. 解： （ ） ()fx在 2x 时有极值， 有 2 0f ， 2 分 又 22 af x a xx ， 有 104aa ， 45a 4 分 有 24 4 2 55fx xx 222 2 5 25 xxx ， 由 0fx 有121 , 22xx， 6 分 又 0x , ,x f x f x 关系有下表 x 10 2x 12x 1 22 x 2x 2x fx 0 0 fx 递增 递减 递增 ABCDEFEDCBA侧视图俯视图正视图144 4 ()fx的递增区间为 10,2 和 2, ， 递减区间为 1,22 9 分 （ ）若 ()fx在定义域上是增函数 ,则 0fx 在 0x 时恒成立， 10 分 22222 a a x x af x a x x x ， 需 0x 时 2 20ax x a 恒成立， 化为22 1xa x 恒成立，222111xx xx， 1a . 14 分 19（本小题满分 14 分） 已知几何体 A BCED 的三视图如图所示， 其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 的等腰直角 三角形，正视图为直角梯形 （ 1） 求此几何体的体积 V 的大小 ； （ 2） 求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值； （ 3）试探究在 DE 上是否存在点 Q，使得 AQ BQ 并说明理由 . 19. 解 ：（ 1） 由该几何体的三视图知 AC 面 BCED ,且 EC=BC=AC=4 ， BD=1， 1 ( 4 1 ) 4 1 02B C E DS 梯 形 1 1 4 01 0 43 3 3B C E DV S A C 梯 形 即该 几何体的体积 V 为 403 -3 分 （ 2） 解法 1:过点 B 作 BF/ED 交 EC 于 F，连结 AF， 则 FBA 或其补角即为异面直线 DE 与 AB 所成的角 -5 分 在 BAF 中， AB= 42， BF=AF= 16 9 5 2 2 2 22c o s25B F A B A FABF B F A B 即 异面直线 DE 与 AB 所成的角的余弦值为 225 7 分 zyxABCDEOQABCDE解法 2：以 C 为原点，以 CA， CB， CE 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 则 A（ 4， 0， 0）， B（ 0， 4， 0）， D（ 0， 4， 1）， E（ 0， 0， 4） ( 0 , 4 , 3 ) , ( 4 , 4 , 0 )D E A B ， 22c o s ,5D E A B 异面直线 DE 与 AB 所成的角的余弦值为 225 （ 3） 解法 1:在 DE 上存在点 Q，使得 AQ BQ. 8 分 取 BC 中点 O，过点 O 作 OQ DE 于点 Q， 则点 Q 满足题设 . 连结 EO、 OD，在 Rt ECO 和 Rt OBD 中 2EC O BC O O D Rt ECO Rt OBD C E O D O B 90E O C C E O 90E O C D O B 90EOD 11 分 22 25O E C E C O , 22 5O D O B B D 2 5 5 25O E O DOQ ED 以 O 为圆心、以 BC 为直径的圆与 DE 相切切点为 Q BQ CQ AC 面 BCED , BQ 面 CEDB BQ AC BQ 面 ACQ -13 分 AQ 面 ACQ BQ AQ 14 分 解法 2: 以 C 为原点，以 CA， CB， CE 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 设满足题设的点 Q 存在 ,其坐标为（ 0， m， n），则 ( 4 , , ) , ( 0 , 4 , )A Q m n B Q m n ( 0 , , 4 )E Q m n， ( 0 , 4 , 1 )Q D m n AQ BQ 2( 4 ) 0m m n - 点 Q 在 ED 上，存在 R ( 0) 使得 EQ QD ( 0 , , 4 ) ( 0 , 4 , 1 )m n m n 44,11mn - A FMNyxl代入得2224 1 6( ) 8 1 6 01 (1 ) ，解得 4 满足题设的点 Q 存在，其坐标为 16 8(0, , )55 20（本小题满分 14分 ） 如图，椭圆 22:13 6 2 0xyC 的左顶点、右焦点分别为 ,AF， 直线 l 的方程为 9x ， N 为 l 上一点，且在 x 轴的上方， AN 与椭圆交于 M 点 . （ 1）若 M 是 AN 的中点，求证： MFMA . （ 2）过 ,AF N 三点的圆与 y 轴交于 ,PQ两点，求 |PQ 的范围 . 20（ 1） 证 :由题意得 )0,4(),0,6( FA ， 9Nx 32Mx 又 M 点在椭圆上，且在 x 轴上方，得235My 3 分 1 5 5 3 5 5 3( , ) , ( , )2 2 2 27 5 7 5044M A M FM A M FM A M F 6 分 （ 2）解 :（方法 一）设 ),9( tN ，其中 0t 圆过 NFA , 三点， 圆心在线段 AF 的中垂线上 设圆心为 ),1( b ，半径为 r ，有 2222 )()91()41( tbbr )75(212 752 ttttb ， 24212 22 brPQ 10分 0t ， 3575 ttb，当且仅当 ,75tt即 35t 时取“ =” 116992 PQ . PQ 的取值范围是 ),116 14 分 （方法二）解：设 ),9( tN ，其中 0t ， 圆过 NFA , 三点， 设该圆的方程为 022 FEyDxyx ，有 0981041606362 FtEDtFDFD 解得 24,75,2 FttED 圆心为 ),75(21,1( tt 半径 r 2)75(4125tt 22 )75(4124212ttrPQ ， 10分 0t 31075275 tttt ，当且仅当 ,75tt 即 35t 时取“ =” 116992 PQ ， PQ 的取值范围是 ),116 . 14分 21.（本小题满分 14 分） 设 21 0 8 1 2 0 7M a a ， 2Pa ， Q= 26 2a ；若将 lgM ， lgQ， lgP 适当排序后可构成公差为 1 的等差数列 na的前三项 . （ 1）试比较 M、 P、 Q 的大小 ； （ 2）求 a 的值及 na的通项； （ 3）记函数 212( ) 2 ( * )n n nf x a x a x a n N 的图象在 x 轴上截得的线段长为nb，设1 2 2 3 11 ()4n n nT b b b b b b ( 2)n，求nT，并证明 12342 nnT T T T n . 21. 解 ： （ 1）由21 0 8 1 2 0 7 0202 6 2 0M a aPaQa 1 分 得 2 13a 2 分 2 11 0 8 3 1 8 1 0 ( 0 )M Q a a 3 分 2 21 0 8 0 2 0 5 0 ( 0 )M P a a 4 分 MQ， MP 又 当 2 13a 时， 2 4 3P Q a ， 当 28a