六校2015届高三上学期第一次联考数学理试题(文试)

第 5 题图 六校 2015 届高三第一次联考试题 文 科 数 学 本试卷共 4 页， 21 小题， 满分 150 分 考试用时 120 分钟 参考公式： 球的体积公式是 343VR,其中 R 是球的半径 棱锥的体积公式： 13V Sh 其中 S 表示棱锥的底面积， h 表示棱锥的高 一、选择题 （ 本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 已知全集 UR ，集合 | 2 3A x x ， 2| 3 4 0B x x x ，那么()UA C B A | 2 4xx B | 3 4x x x或 C | 2 1xx D | 1 3xx 2 函数 )22sin(2 xy 是 A 最小正周期为 的偶函数 B最小正周期为 的奇函数 C 最小正周期为2的偶函数 D最小正周期为2的奇函数 3已知 命题 p ： 1x， 2 10x ，那么 p 是 A 1x， 2 10x B 1x， 2 10x C 1x， 2 10x D 1x， 2 10x 4 已知 i 是虚数单位，则复数 3 ( 1 2 )z i i 的虚部为 A 2 B 2 C 1 D 1 5 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是 A 4 B 133 C 143 D 5 6 设变量 xy， 满足约束条件： 222yxxyx ，则 32z x y 的 第 9 题图 B ODAC第 15 题图 最小 值为 A 2 B 4 C 6 D 8 7 已知数列 na 的前 n 项和 2 2nS n n，则 2 18aa = A 36 B 35 C 34 D 33 8 在 ABC 中，角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc， 若 222a b bc ， sin 3 sinCB ，则 A A6 B3 C 23 D 56 9 若右边的程序框图输出的 S 是 126，则条件 可为 A 5n B 6n C 7n D 8n 10椭圆2243xy 1 的左右焦点 分别为 1F 、 2F ，点 P 是椭圆上任意一点， 则12PF PF的取值范围是 A (0,4 B (0,3 C 3,4) D 3,4 二、填空题（ 本大题共 5 小题，每小题 5 分，满分 20 分其中 14 15 题是选做题，考生只需选做其中一题，两题全答的，只以第一小题计分 ） 11 设平面向量 3 , 5 , 2 , 1ab ，则 2ab 12 若直线 l 与幂函数 nyx 的图象相切于点 A (2,8) ，则直线 l 的方程为 13已知函数 c o s ( 0 )()( 1 ) 1 ( 0 )xxfxf x x ，则 44( ) ( )33ff （请考生在以下二个小题中任选一题作答，全答的以第一小题计分） 14（坐标系与参数方程 选做题 ） 在极坐标系中，设曲线 1 : 2 sinC 与 2 : 2 co sC 的交点分别为 AB、 ，则线段 AB 的垂直平分线 的极坐标方程为 15 （几何证明选讲选做题） 如右图，从圆 O 外一点 A 引圆 的切线 AD 和割线 ABC ，已知 23AD ， 6AC ， 圆 O 的半径为 3，则圆心 O 到 直线 AC 的距离为 三、解答题（本部分共计 6 小题，满分 80 分， 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ，请在指定区域内作答，否则该题计为零分） 16（本小题满分 12 分） 已知 平面直角坐标系上的三点 (0 1)A ， ， ( 2 0)B ， ， (c o s s in )C ， （ (0, ) ）， O为坐标原点，向 量 BA 与向量 OC 共线 （ 1）求 tan 的值； （ 2）求 sin 24的值 17 （本小题满分 12 分） 某小组共有 A B C D E、 、 、 、五位同学，他们的身高（单位 :米）以及体重指标（单位 :千克 /米 2）如下表所示： A B C D E 身高 1 69 1 73 1 75 1 79 1 82 体重指标 19 2 25 1 18 5 23 3 20 9 （ 1）从该小组身高低于 1 80 的同学中任选 2 人，求选到的 2 人身高都在 1 78以下的概率； （ 2）从该小组同学中任选 2 人，求选到的 2 人的身高都在 1 70 以上且体重指标都在18 5， 23 9)中的概率 B D C A A1 B1 C1 D1 第 18 题图 18（本小题满分 14 分） 如右图 ,在底面为平行四边形的四棱柱 1 1 1 1A B C D A B C D 中 , 1DD 底面ABCD , 1AD , 2CD , 60DCB （ 1）求证 :平面 11ABCD 平面 11BDDB ； （ 2）若 1D D BD ,求四棱锥 11D A BCD 的体积 19 （本小题满分 14 分） 设 na 是各项都为正数的等比数列 , nb 是等差数列 ， 且 111ab， 3513ab ，5321ab （ 1） 求 数列 na ,nb 的通项公式； （ 2）设数列 na 的前 n 项和为 nS ，求数列 nnSb 的前 n 项 和 nT 20 (本小题满分 14 分 ) 已知 抛物线 21 :8C y x 与双曲线 222 : 1 ( 0 , 0 )xyC a bab 有公共焦点 2F ，点 A 是曲线 12,CC在第一象限的交点，且 2 5AF （ 1）求双曲线 2C 的方程； （ 2）以双曲线 2C 的 另一 焦点 1F 为圆心的圆 M 与 直 线 3yx 相切，圆 N ：22( 2 ) 1xy 过点 (1, 3)P 作互相垂直且分别与圆 M 、圆 N 相交的直线 1l 和 2l ，设 1l被圆 M 截得的弦长为 s ， 2l 被圆 N 截得的弦长为 t ，问： st是否为定值？ 如果是，请求出这个定值；如果不是， 请说明理由 21（本小题满分 14 分） 已知 ,P x y 为函数 1 lnyx 图象上一点， O 为坐标原点，记直线 OP 的斜率 k f x （ 1）若函数 fx在区间 1,3mm 0m上存在极值，求实数 m 的取值范围； （ 2）当 1x 时，不等式 1tfx x 恒成立，求实数 t 的取值范围； （ 3）求证： *1l n ( 1 ) 2nii i n n N 文科数学参考答案 一 选择题（ 10 小题，每小题 5分，共 50 分） 二 填空题（ 本大题共 5 小题，每小题 5 分，满分 20 分 ） 11 52 12 1 2 1 6 0xy 13 1 14 2s i n ( )42（与其等价的极坐标方程皆可） 15 5 三解答题 （本部分共计 6 小题，满分 80 分， 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） 16 （本题满分 12 分） 解： （ 1） 法 1： 由题意得： (2,1)BA ， ( c o s , s i n )OC ， 2 分 /BA OC ， 2 s i n c o s 0， 1tan2 5 分 法 2： 由题意得： (2,1)BA ， ( c o s , s i n )OC ， 2 分 /BA OC ， BA OC ， 2 cos1 sin， 1tan2 5 分 （ 2） 1tan 02 ， 0, ) ， (0, )2 ， 6 分 由22s i n 1c o s 2s i n c o s 1 ，解得 5sin5 ， 25cos5 ， 8 分 5 2 5 4s i n 2 2 s i n c o s 25 5 5 ； 9 分 22 4 1 3c o s 2 c o s s i n 5 5 5 ； 10 分 4 2 3 2 2s i n ( 2 ) s i n 2 c o s c o s 2 s i n4 4 4 5 2 5 2 1 0 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A D B C C B B D 12 分 17 （本小题满分 12 分） 解： （ 1） 从身高低于 1 80 的同学中任选 2 人 ， 其一切可能的结果组成的基本事件有： (A， B)， (A， C)， (A， D)， (B， C)， (B， D)， (C， D)， 共 6 个 由 于 每 个 人 被 选 到 的 机 会 均 等 ， 因 此 这 些 基 本 事 件 的 出 现 是 等 可 能的 4 分 选到的 2 人身高都在 1 78 以下的事件有： (A， B)， (A， C)， (B， C)， 共 3 个 因此选到的 2 人身高都在 1 78 以下的概率为1 3162P 6 分 （ 2） 从该小组同学中任选 2 人 ， 其一切可能的结果组成的基本事件有： (A， B)， (A， C)，(A， D)， (A， E)， (B， C)， (B， D)， (B， E)， (C， D)， (C， E)， (D， E)， 共 10 个 由 于 每 个 人 被 选 到 的 机 会 均 等 ， 因 此 这 些 基 本 事 件 的 出 现 是 等 可 能的 10 分 选到的 2 人身高都在 1 70 以上且体重指标都在 18 5， 23 9)中的事件有： (C， D)， (C， E)， (D， E)， 共 3 个 因此选到的 2 人的身高都在 1 70 以上且体重指标都在 18 5， 23 9)中的概率为2 310P 12 分 18 (本题满分 14 分 ) 解 ： （ 1 ） 证明： 在 ABD 中 , 由余弦定理得：22 2 c o s 3B D A D A B A D A B D C B ， 所以 2 2 2A D B D A B , 所以 90ADB , 即AD BD ， 3 分 又四边形 ABCD 为平行四边形 ,所以 BC BD ， 又 1DD 底面 ABCD, BC 底面 ABCD, 所以1DD BC ， 4 分 又 1D D BD D ,所以 BC 平面 11BDDB , 5 分 又 BC 平面 11ABCD , 所 以 平 面 11ABCD 平面11BDDB 6 分 （ 2） 法一： 连结 1BD ， 1 3D D B D， 1 6BD 解法一 图 B D C A A1 B1 C1 D1 M BC 平面 11BDDB ，所以 1BC BD ， 8 分 所以四边形 11ABCD 的面积11 11262A B C DS B C B D ， 10 分 取 1BD 的中点 M ，连结 DM ，则 1DM BD ，且 62DM， 又平面 11ABCD 平面 1BDD ,平面 11ABCD 平面 1BDD 1BD ， 所以 DM 平面 11ABCD ， 13 分 所以四棱锥 11D A BCD 的体积： 111 13 A B C DV S D M 14 分 法二 : 四棱锥 11D A BCD 的体积1 1 1D A B D D B C DV V V， 8 分 而三棱锥 11D ABD 与三棱锥 1D BCD 底面积和高均相等， 10 分 所以1 1 12 A B D D B C D D B C DV V V 1 2 13 B C D B C DS D D 14 分 19（本小题满分 14 分） 解： （ 1）设 数列 na 的公比为 ( 0),qq 数列 nb 的公差为 d ， 依题意得： 421 2 2 11 4 1 3dqdq ， 2 分 消去 d 得422 2 8 0qq 22( 4 ) ( 2 7 ) 0qq ， 3 分 0q 2q ，由 2q 可解得 2d 4 分 12 , 2 1 .nnna b n 5 分 （ 2）由 （ 1）得 21nnS ，所以有： 1 1 2 2n n nT S b S b S b L 1212( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 )n nb b b L 121 2 1 22 2 2 ( )n nnb b b b b b LL 7 分 解法二 图 B D C A A1 B1 C1 D1 令 12122 2 2 n nS b b b L 则 2 3 1122 2 2 2 n nS b b b L - 得 ：1 2 3 12 2 2 2 2 2 2 ( 2 1 ) 2 ,nnSn L 10分 2 3 12 ( 1 2 2 2 ) ( 2 1 ) 2nn L 2 1 12 1 2 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2n 1( 2 3 ) 2 6 ,nSn 12 分 又 212 (1 2 1 )2n nnb b b n L， 13 分 12( 2 3 ) 2 6nnT n n 14 分 20 （本小题满分 14 分） 解 : （ 1） 抛物线 21 :8C y x 的焦点为 2(2,0)F ， 双曲线 2C 的焦点为 1( 2,0)F 、 2(2,0)F ， 1 分 设 00( , )A x y 在抛物线 21 :8C y x 上，且2 5AF， 由 抛 物 线 的 定 义 得 ， 0 25x ， 0 3x ， 20 83y ，0 26y ， 3 分 221| | ( 3 2 ) ( 2 6 ) 7AF ， 4 分 又 点 A 在双曲线 2C 上，由双曲线定义得 ： 2 | 7 5 | 2a ， 1a ， 双曲线 2C 的方程为： 22 13yx 6 分 （ 2） st为定值下面给出说明 设圆 M 的方程为： 2 2 2( 2 )x y r ， 圆 M 与 直 线 3yx 相切， 圆 M 的半径为223 31 ( 3 )r ， 故圆 M ：22( 2 ) 3xy 7 分 显然当直线 1l 的斜率不存在时不符合题意， 8 分 设 1l 的方程为 3 ( 1)y k x ，即 30k x y k ， 设 2l 的方程为 13 ( 1 )yxk ，即 3 1 0x k y k ， 点 1F 到直线 1l 的距离为1 2| 3 3 |1kdk， 点 2F 到直线 2l 的距离为2 2| 3 1 |1kdk， 10 分 直线 1l 被圆 M 截 得 的 弦 长2 2223 3 6 3 62 3 211k k kskk ， 11 分 直线 2l 被圆 N 截得的弦长2 2223 1 2 3 22 1 21k k ktkk ， 12 分 226 3 6 6 ( 3 ) 32 3 2 2 ( 3 )s k k k kt k k k k ， 故 st 为定值3 14 分 21 (本题满分 14 分 )