西师版小学五年级数学下册教案

西师版小学五年级数学下册教案 分数的意义 （第 18 页） 1、教科书分析 本节教科书内容包括单元主题图、 3 个例题、 2 个课堂活动和练习一。 单元主题图安排的是一个看世界地图的情境图，下面的孩子分别用我国的人口、陆地面积、森林覆盖面积、沿海渔场面积与世界的人口、陆地面积、森林覆盖面积、沿海渔场面积进行比较，这样不但让学生感受到分数在生活中的广泛应用，还带给了学生一些信息，通过这样一些信息学生可以对我国国情作一些了解，培养学生热爱祖国的积极情感。图中出现的这些分数和学生原来认识的分数相比，最大的变化就是单位 “ 1”不是一个具体的物体，而是由许多物体组成的一个整体。让学生初步感知所学的知识与原来知识的联系和区别，为新课的学习做准备。图中的一些内容直接成为后面的学习和讨论的内容，教科书通过这样的编排方式，强化单元主题图与后面的学习内容的联系，强化单元知识的整体性和系统性。 3 个例题的作用分别是，例 1 教学分数的意义，例 2 教学分数与除法的关系，例 3 是分数与除法的关系在现实生活中的应用。 例 1 从分月饼的“分”字入手来引导学生理解分数的意义。教科书把分 1 个月饼和分 1 盒月饼对比安排，通过这样的对比应用，用学生的原有经验来推动 新的学习。这里分 1 个月饼是学生原有认知基础，通过分 1 个月饼掌握了平均分的方法，因此本册教科书的重点不是放在平均分上面，而重点引导学生理解前一个问题是把 1 个月饼看作一个整体，而后一个问题是把 8 个月饼看作一个整体，从而初步认识许多物体组成一个整体的现象。接着教科书用分熊猫这个素材，让学生体会同样是 6 只熊猫，由于分的份数不一样，每份的熊猫只数也不一样，使学生理解分的份数与每份数的关系，感受每份数占总数量的几分之几。教科书还通过后面的“试一试”的活动，让学生理解由于拿的小棒的数量不一样，因此分出来的每份的数量也不相 同，如都平均分成 5 份，拿 5 根小棒的学生分出的 15 是 1 根，拿 10 根小棒的学生分出的 15 是 2 根，拿 15 根小棒的学生分出的 15 是 3 根同样是 15， 15 的 15 就比 5 的 15多一些。这样揭示单位“ 1”在分数中的作用，能使学生对分数的意义理解得更加深刻。在学生深刻理解单位“ 1”的基础上，教科书以定义的方式归纳分数的意义，并教学分数单位，使学生初步掌握分数的概念。 例 2 是在学生初步掌握分数的意义的基础上，教学分数与除法的关系，通过对这个关系的探讨，使学生对分数的意义认识得更加深刻。教科书从舞台的情境图入手，让学生发现同一 个平均分的问题可以用除法来解决，也可以用分数来表示，这样直观地让学生发现分数与除法的关系。然后教科书用“议一议”的方式强化学生对这种关系的理解，使学生能较为熟练地掌握分数与除法的关系，然后才对分数和除法的关系进行归纳。 例 3 是应用分数与除法的关系来解决生活中的简单的问题。一方面通过解决问题进一步强化学生对分数与除法关系的认识，另一方面也渗透了求一个数是另一个数的几分之几的计算方法。要注意的是这道题都是把许多动物作为一个整体来看，并且传递了丰富的信息。学生还可以用鸭的只数与兔的只数比，这样一方面学生可以感受到 23 与 32 的联系与区别，还为后面的学习内容 真分数与假分数的学习做了一定的准备。 课堂活动安排了说生活中的分数、表示一部分方格的 14 和对口令。第一个活动主要通过说生活中的分数，让学生感受所学知识与现实生活的联系，从中获得价值体验。同时通过学生说分数，深化学生对单位“ 1”的理解，提高学生对分数的掌握水平。对口令这个活动主要采用对口令这种形式，强化学生对除法与分数关系的理解，与前面例题不同的是，在对口令这个活动中有速度上的要求，要求学生能很快地说出与除法算式相等的分数，提高学生对这部分知识的掌握水平。 练习一 安排了 9 个习题和 1 个思考题。其中第 17 题练习的是分数的意义， 8， 9 题练习的是分数与除法的关系。在分数的意义的练习中，都强调把许多图形看作一个整体，强化单位“ 1”的概念。第 1 题的看图写分数和第 2 题的改错从不同的角度加深学生对分数的理解。第 3 题除了进一步强化学生的数概念以外，还通过分数向学生传递了西部地区幅员辽阔、劳动力占绝对优势这个信息。这样不仅学生对西部的基本情况有所了解，而且还能体会分数的应用价值。第 4 题用“任意圈一个分数”的方式，让学生体会分的份数与取的份数的关系。第 5 题既要求学生以分数的意义的角度解 释这个分数，还要说出这个分数传递的信息。第 9题还选择了“神舟 5 号”这个富有时代意义的题材，在让学生深入理解分数的同时，对学生进行热爱祖国的教育。思考题是所学知识的深层次讨论，通过这样的讨论，学生可以理解单位“ 1”的大小影响和制约着分数的大小，这样不仅能提高学生对分数的认识水平，还有利于学生的进一步发展。 2、教学建议 1.本节教学内容建议用 4 课时完成。 2.教学例 1 时，要关注学生分月饼的过程，联系前面平均分的知识，让学生理解把 1 个月饼平均分成 4 份应该怎样分，把 8 个月饼平均分成 4 份又该怎样分。在平均分的基础上 ，要引导学生比较两次分月饼的相同点和不同点，可以用下表帮助学生思考： 分的数量分的份数取的份数表示的意思用分数表示 1 个月饼 1 盒月饼平均分成 4 份取其中的 1 份把 1 个月饼平均分成 4 份，取其中的 1 份把 1 盒月饼平均分成 4 份，取其中的 1 份，通过这样一比较，学生就能理解新旧知识的联系与区别，从而把注意力集中在把许多物体看作一个整体来平均分上面，用突出学习重点的方式来提高教学效率。 3.关注单位“ 1”大小变化对分数大小变化的影响始终是深入分数认识的一个重点。教学中要抓住第 2 页的“分一分”、第 3 页的“试一试”和课堂活动第 2 题，让学生进行操作和讨论，教学中可以要求不同的学生选用不同的数量作为单位“ 1”来表示相同的分数，然后让学生思考都是表示 14，为什么格数不一样呢？让学生意识到表示 14 的格数与总数量有关，这样在操作和讨论中让学生掌握这方面的知识。 4.在教学例 2 时，要突出学生对分数和除法关系的探讨过程，尽可能地启动学生原来掌握除法和分数的意义来思考两者间的关系。在探讨过程中要突出一些关键性问题的引导，比如“用除法怎样表示”，“用分数又该怎样表示”，“从 1 3和把 1 kg 平均分成 3 份，都可以表示 13 这个现象中，你发现了 什么”。通过这些关键性问题的引导，帮助学生主动掌握分数与除法的关系。 5.教学练习一第 3 题时，第（ 1）题在学生涂色的基础上，可以在一张全国地图中标出西部地区所占的部分，让学生更深入地理解 34 的意思；第（ 2）题可以让学生思考，如果用 12个图形表示全国的劳动力，它的 23 该怎样涂？如果用 6 个图形、 24 个图形、 36 个图形表示全国的劳动力，它的 23 又该怎样涂？通过这样的练习，使学生对单位“ 1”的理解更加深刻。 6.思考题中的阴影部分占一个正方形面积的 14，占两个正方形面积的 18。这道题中尽管阴影面积没有变，但作为单位 “ 1”的数量变了，由原来一个正方形作单位“ 1”变成两个正方形作单位“ 1”，这样一来，分的份数由 4 份变成了 8 份，而取的份数不变，所以分数的大小就发生了变化。 3、教学案例 分数的意义（教学片断） 教师：在三年级的时候，我们初步认识了分数，你能在下面的括号里填上适当的分数吗？（课件出示如下的题目） 把 1 个月饼平均分成 4 份，其中的 1 份是（）； 把 1 张手工纸平均分成 6 份，其中的 3 份是（）； 把 1 个苹果平均分成 8 份，其中的 5 份是（）。 学生汇报答案：依次为 14， 36， 58。 教师：同学们观察这 3 个例子，先独立思考后再 小组讨论，你认为什么是分数？ 学生独立思考后小组交流，然后全班汇报，教师引导学生总结出：把一个物体平均分成若干份，表示其中的 1 份或几份的数叫分数。 教师：说得不错，下面我们来看这幅图（课件出示主题图）图上的同学们在干什么？ 学生：图上的同学们在边看地图边讨论。 教师：他们在讨论些什么呢？ 学生：汇报（略）。 教师：你能从他们的对话框里找出有关的分数吗？ 引导学生回答：我国人口约占世界人口的 15；我国陆地面积约是世界陆地面积的 7100；我国森林覆盖面积约世界森林覆盖面积的 125；我国沿海渔场面积约占世界沿海渔 场面积的14。 教师：这些分数和我们原来学习的分数有哪些不一样呢？ 学生讨论后汇报：这里的分数不是把一个物体分成若干份，而是把许多物体组成的一个整体平均分成若干份。 教师：分析得不错，这节课我们继续研究分数。（板书题目） 14 教师：中秋节快到了，老师给你们带来了月饼，现在我把这个月饼平均分成 4 份，每份是这个月饼的几分之几呢？（课件演示分月饼的过程） 学生：每份是这个月饼的 14。（课件演示分月饼的过程，显示 14） 教师：我把 8 个月饼平均分成 4 份，（课件同步演示）每份是这堆月饼的几分之几呢？ 学生 ：每份也是这堆月饼的 14。（课件在图案下方显示 14） 14 教师：我把 12 个月饼平均分成 4 份，每份又是这堆月饼的几分之几呢？ 14 学生：每份还是这堆月饼的 14。 （课件同步展示 14） 教师：（课件把 3 幅图都集中在同一个画面上）同学们，请看这 3 幅图，我们都用了哪一个分数来表示？ 学生： 14。 教师：请你比较一下，都是 14，它们表示的部分一样吗？ 学生：不一样。 教师：为什么不一样呢？请同学们讨论一下。 学生小组讨论汇报：是因为被分的东西不一样。 教师：你能具体说说每一次分别是以什么作为一个整体来分的？ 估计 学生会这样汇报：第 1 次是以 1 个月饼作为整体来分的，第 2 次是以 8 个月饼作为整体来分的，第三次是以 12 个月饼作为整体来分的。 教师：比较这 3 次分月饼的过程，你发现了什么？ 学生讨论后汇报，教师引导学生发现两方面事实： 被分的月饼越多，每份分到的月饼就越多。 不但可以把 1 个月饼看成是一个整体，还可以把多个月饼看成一个整体。 教师：这两个发现都很重要，生活中像这样的例子还有很多，如五（ 1）班的男生占全班人数的 13，这里就是把“全班人数”看成一个整体；又如本校女生人数是全校人数的 12，这里又是把“全校人数”看作一 个整体。这样的例子你还能举出哪些？ 学生举例，在例子中说明把什么看作一个整体。 教师：通过今天的学习你发现了什么？ 引导学生能总结出：我发现不但可以把一个物体看成是一个整体，还可以把许多物体合起来看成一个整体。 教师：下面我们把许多物体合起来看作一个整体。（教师举起一些小棒）这些小棒可以看成一个整体吗？ 学生：可以。 教师：（教师举起更多的小棒）这些小棒也可以看作一个整体吗？ 学生：也可以。 教师：下面请同学们拿出一些小棒作为一个整体，同学们可以拿 5 根、也可以是 10 根或 15根或 20 根，你喜欢哪个数就拿多少根 ，拿好了吗？（学生：好了）请同学们把这些小棒平均分成 5 份。 学生分小棒。 教师：举起你们的小棒的 15。 学生各自举起自己小棒的 15。 教师：你们举起的小棒都是一样多的吗？ 让学生直观地看出：我们举起的小棒不一样多。 5 根的 15 是 1 根， 10 根的 15 是 2 根， 15根的 15 是 3 根 教师：请你们举起你们小棒的 35。 学生举小棒。 教师：你又发现了什么？ 让学生看出手中的小棒回答：我们举起的小棒还是不一样多。 5 根的 35 是 3 根， 10 根的 35是 6 根， 15 根的 35 是 9 根 教师：为什么都是举起的 15 或 35，小棒的根数却有 的少有的多呢？ 学生：因为我们每个人拿出的小棒不一样多。 教师：这个现象说明了什么问题呢？ 学生：说明被分的东西越多，每份就越多。 教师：同学们总结得不错，下面我们就用这些知识来解决生活中的一些问题。 引导学生说生活中的分数。如： 学生：把 6 只大熊猫玩具看作一个整体，平均分成 3 份，每份的 2 只熊猫是这个整体的 13；把 12 个学生看作一个整体，其中 9 个学生是这个整体的 34；我国人口约占世界人口的 15，这句话是把世界人口看作一个整体。 教师：刚才同学们在汇报的时候都很关心把谁作为一个整体这个问题，下面请同学们想一想 ：我们今天学习的分数和原来学习的分数有什么不同？ 学生讨论后汇报：原来学习的分数是把一个物体平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数；而今天学习的分数是把许多个物体组成的一个整体平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数。 教师：分析得好，刚才同学们所说的“一个物体”或是“几个物体组成的一个整体”，通常我们把它叫做单位“ 1”。你能找出刚才“议一议”中这些分数中的单位“ 1”吗？ 学生找单位“ 1”，并汇报。 下面我们再来看一看主题图，（课件出示主题图）这些小朋友说的话中的这些分数分别是以什么作为单位“ 1”的？ 学 生讨论汇报。（略） 【简评】这个教学片断有以下几个特点：一是把分数的教学活动建立在学生已有的经验之上。明确告诉学生在三年级已经初步认识了分数，并对学生掌握的相关知识进行积极的回忆，为新课的学习做好准备。二是抓住新旧知识的联结点引导学生进行深入的探究。教学中重点抓住“许多物体组成的一个整体”这个关键的问题，引导学生进行深入分析探讨，让学生理解单位“ 1”的大小直接影响每份数的多少。三是重视教师的直观演示和学生的操作活动，通过直观教学为学生的思维提供表象支持，让学生在此基础上理解分数的意义。整个教学活动设计 层次清楚，重点突出，既体现了学生在学习过程中的主体作用，也体现了教师在教学活动中的主导作用。有利于学生在教师的引导下主动地进行学习，也促进学生热爱数学的情感不断地得到升华和发展。 分数的大小比较 （第 911 页） 1、教科书分析 本节教科书内容包括： 2 个例题、 1 个课堂活动和练习二。 这小节的知识是在学生初步掌握了分数意义的基础上，对分数的进一步研究，主要从分母相同的分数的大小比较和分子相同的分数的大小比较这两个方面进行研究。 例 1 是比较分母相同的两个分数的大小。教科书提示了两种比较大小的方法，即画图比 较和用分数单位比较。这两种比较方法中，前一种方法直观，后一种方法要用到数学推理。这两种方法适合不同基础的学生学习。基础差一点的学生，可以用画图法直观地理解分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大的现象；而基础好的学生，通过 “1个 14 小于 3 个 14，所以 14 比 34 小 ”的推理过程，不仅能理解这种比较分数大小的方法，还能通过逻辑推理，加深对分数的理解，提高逻辑思维能力。所以教科书这样编排，有利于教师进行分层次教学，也体现了课程标准的理念，提倡学习方法的多样化，还有利于发展学生的个性，使教学过程真正成为生动的、富有 个性的学习过程。 例 2 是比较分子相同的两个分数的大小。体现的是取相同的份数分的份数越少取的那部分越多这个道理。学生理解这个道理显然比较难，所以教科书在编排时采用了画图比较的方式，把抽象的道理寓于直观的线段图中，帮助学生理解并掌握这种分数大小的比较方法。在画图比较时，要强调两条线段的长度是一样长的，只是分的份数不同，所以每份数的长度也不同。只有这样，学生才能准确地掌握比较分子相同的两个分数的大小的方法。 教科书在两道例题下面都安排了 “试一试 ”，通过这种讲练结合的方式，及时强化学生掌握的比较分数大小的方法，深化 学生对方法的理解，在学生完全理解了比较分数大小的方法以后，教科书才用文字总结出比较分数大小的方法，学生在理解方法的基础上再去读这段文字，就完全能理解文字表述的意思。 由于比较分子相同的两个分数的大小比较难，所以在课堂活动中采用 “议一议 ”的方式，加深学生对所学知识的理解。在 “12 1（） 19”中，要求学生理解这是分子相同的分数比较大小，所以在括号里可以填上 38 的自然数都能满足这里的要求。和例题不同的是，这里不是两个分数比较大小，而是三个分数比较，并且比较的结果不是一个分数，而是一个区间的数，所以，在这个活 动中具有一定的综合性和一定的思考难度，教学中要引起高度关注。 练习二安排了 7 个习题。其中第 1 题是看图比较两个分数的大小，通过直观图加深学生对所学知识的理解。第 2 题是离开直观图直接比较两个分数的大小，这就要用到分数的大小比较方法。第 5 题是用连线的形式比较，不同的是这里不是两个分数比较，而是用一个分数和一系列分数进行比较。第 6 题是 3 个分数比大小，特别是它的第 3 小题，既要用到分母相同的分数比较大小的方法，又要用到分子相同的分数比较大小的方法，具有一定的综合性。第 3， 4， 7 题是用所学知识解决生活中的简单问题，第 3 题 是比速度，第 4 题比面积，第 7 题比汽车数量，都突出一个 “比 ”字，这是 3 个题的共同特点。从知识的角度看，第 3题是分母相同的分数比大小，第 4 题是分子相同的分数比大小，第 7 题则是综合应用前面所学的知识 3个分数比大小，所以从习题的安排来看，是全面的、递进的，有利于学生通过练习提高对本节知识的掌握水平。 2、教学建议 1这个小节的内容建议 2 课时完成。 2 教学例 1 时，不要强求用画图法或是用分数单位的比较来理解分数大小的比较方法，而是让学生自由选择，在学生探究前，教师可以给学生适当的提示，比如复习分数的画图方法，复 习分数单位的相关知识，用这些知识为新知识的学习奠定基础，同时也给学生的学习方法的选择提个醒，让学生意识到能把这些方法应用到新知识的探究过程中去。这样既突出了学生学习的主体作用，也发挥了教师的引导作用，通过两种作用的有机结合，使教学收到较好的效果。 3 在两个例题的教学中，都要强调在单位 “1”相同的情况下比较两个分数的大小，尤其是例 2，如果是用封闭图形来表示单位 “1”，要强调两个封闭图形要完全一样，如果是用线段来比较，要强调两条线段的长度一样，在这样的基础上才能够探索出科学的比较分数大小的方法。 4 为了突破 例 2 的教学难点，教学中可以用一些生活实例来帮助学生思考，比如同样是一块月饼，是平均分成 2 份每份多一些呢 ?还是平均分成 3 份每份多一些 ?从中让学生理解总数同样多的情况下，分的份数越多，每份数越少这个道理。 5 课堂活动应该配合例 2 的教学进行，让学生思考大于 19 小于 12，并且分子是 1 的分数有哪些 ?让学生意识到这是分子相同的分数比大小，由此想到分母应该在 2 到 8 之间。在教学中要加强学生的讨论，结合例 2 所学知识让学生理解为什么要这样填的道理。 6 在练习二的教学中，学生练习了第 1 题后，要让学生发现在数轴上右边的数都比左 边的数大的这个规律，比如 67 比 47 大，这个规律在整数的学习中学生就发现了，所以教学中可以让学生先在数轴上填整数比较大小，再填分数比较大小，这样就能沟通整数和分数的联系，帮助学生形成整体认知结构。第 2 题不但要求学生比较出大小，还要说出理由。第 3 题要求学生具有相同时间内行的路程越远速度越快的概念，不必非要用每时的路程比较。在第 5 题的练习中，要指导学生把下面的分数分成两类，一类是和 37 分母相同的分数，一类是和 37 分子相同的分数，然后再按分母相同或分子相同的分数大小比较的方法进行比较。第 6 题第 3 小题虽然是 3 个分数比 大小，但是在教学中要引导学生两两比较，比如先用 29 和 49 比，再用47 和 49 比，最后比较两次比较的结果，就能正确排列出 3 个分数的大小了。练习第 7 题时，可以用题中的情景，换题中分数的方式让学生多练几次，同时可以让学生说一说生活中还有哪些地方用到分数的大小比较，从中发展学生的应用意识。 3、教学案例 分数的大小比较 (教学片段 ) 教师：前面我们已经认识了分数，这节课我们用所学的知识来解决生活中的简单问题。 多媒体课件出示：小华和小红都有一张同样大的正方形彩纸，小华用这张彩纸的 14 来做学 具 ?小红用这张彩纸的 34 来做学 具，哪个同学用来做学具的彩纸大一些 ? 教师：你能从题中获得那些数学信息，或者你觉得题中的哪些字词比较重要。 引导学生说出：我知道了小华用了这张彩纸的 14 来做学具，小红用了这张彩纸的 34 来做学具，比较哪个同学用来做学具的彩纸大一些，实际上就是比较 14 和 34 的大小。 教师： 14 是以谁作单位 “1”?34呢 ? 让学生意识到 14 和 34 都是以 “这张彩纸 ”作为单位 “1”。教师继续追问谁的彩纸大，学生注意 “同样大的正方形彩纸 ”就是指两个分数的单位 “1”是相同的。 教师：对了，比较两个分数的大小都要在单位 “1”相同的情况下才 能进行比较。这是我们在比较分数大小时特别要注意的一个问题。下面我们研究用什么方法来比较 14 和 34 的大小。 学生讨论后回答，让学生明白可以用画图的方法和比较有多少个分数单位的方法来比较。 教师：请同学们选一种你喜欢的方法来比较。 学生比较后，抽学生汇报。 小华 14 小红 34 教师：请用画图法比较的同学说一说你是怎样比较的。 请学生在黑板上边画边讲：先画两个同样大小的正方形来代表这张正方形彩纸，小华用了这张纸的 14来做学具，就把这张纸平均分成 4 份，取了其中的 1 份来做学具，用图表示为图 (一 )；小红用了这张纸的34 来做学具，也把这张纸分成 4 份，取了其中的 3 份来做学具，用图表示为图 (二 )。从两个图中很明显就知道了 14 比 34 要小，所以小红用来做学具的纸要大一些。 教师：用画图的方法可以很直观地看出来 14 比 34 要小，有用分数单位比较的吗 ? 如果有用分数单位的比较的学生，就请他到讲台上来汇报；如果没有，教师就引导学生理解这种比较方法。下面按第一种情况设计教学过程。 学生：我用以前学习的分数单位来比较。 14 里面有 1 个 14，而 34 里面有 3 个 14， 1 个 14 小于 3 个14。 小华 14 小红 34 1 个 14 小于 3 个 14 14 34 教师随 学生的回答板书，同时把两个分数用小于号连接 (如图所示 )。 教师：我们在比较两个分数之间的大小关系时，可以用画图的方法来进行比较，也可以用分数单位来进行比较，你喜欢用哪一种，你就用哪一种，好吗 ? 学生：好。 教师：那请你用你喜欢的方法比较下面每组分数的大小，在没有特定说明的情况下，每组中的两个分数的单位 “1”都是相同的。 黑板出示： 45355616 在这两组分数的大小比较中，教师可以让学生选择自己喜欢的方法去比较，然后抽学生起来说自己是用什么方法比较的，是怎么比较的，教师同时在黑板上写比较的结果。 14 34 45 3556 16 教师：看看黑板上的这 3 组分数，从它们的大小比较中，你有什么发现。 引导学生发现每组分数的分母都是相同的，分子不相同。从中总结出分母相同的两个分数比较大小，分子大的分数就比较大，分子小的分数就比较小。 教师：真是个了不起的发现，老师也把你的发现写在黑板上。 (板书：分母相同的两个分数，分子大的分数比较大 ) 引导学生读两遍。 教师：利用我们发现的规律完成第 10 页练习二的 1， 2， 3 题。 【简评】这节课有以下几个特点，一是重视情景创设，教学设计中采用小华和小红用彩纸做学具这个情景，让 学生体会所学知识与现实生活的联系，同时用这个情景激发学生的学习兴趣，为本课的学习提供动力方面的准备；二是抓一些细节的教学，比如说对 “同样大的正方形彩纸 ”的分析，让学生理解 “同样大的正方形彩纸 ”就是指两个分数的单位 “1”是相同的，只有单位 “1”相同的两个分数才能比较大小，如果单位 “1”不一样，比如 100 的 15 和 10 的 45 是不能直接比较 15 和 45 的大小的，这样强调细节的教学，有利于学生建构准确的知识；三是突出学生在分数大小比较中的主体作用，放手让学生自己去比较；四是倡导解决问题策略的多样化，引导学生从画图比较、 用分数单位比较等多种比较方法来进行分数大小的比较，从中发展学生的个性，使教学活动真正成为生动的、富有个性的学习过程。 真分数和假分数 （第 1214 页） 1、教科书分析 本节教科书内容包括 1 个例题、 1 个课堂活动和练习三。 真分数和假分数也是分数的认识的一个内容，主要是对所学的分数进行分类。教科书用 “操作 观察分析 填表 ”的编排方式，让学生经历分数分类的全过程，通过学生的亲身体验来主动认识真分数和假分数。学生认识真分数和假分数的过程可以分成两个发现过程，一是通过涂色操作直观地发现哪些分数比 “1”小，哪 些分数等于 “1”或者大于 “1”。这里强调和 “1”进行比较，实际上是强调和单位 “1”比，所以教科书在一开始就强调以 1 个圆为单位 “1”，这样学生就能比较出小于、等于或大于单位 “1”的分数。以学生的这个发现为基础，再让学生发现比单位 “1”小的分数的分子都小于分母，等于或大于单位 “1”的分数的分子和分母相等或者分子大于分母，然后再根据学生的发现来归纳真分数和假分数的定义。教科书由于篇幅的原因，没有把这两个发现过程全部显现出来，重点呈现了第一个发现过程，并用这个发现启发学生的下一个发现，通过学生的不断发现促进学生的主 动发展。教科书在这里没有介绍带分数的概念，这是因为一方面从严格的意义上来说，分数只能分成真分数和假分数两类，至于带分数，是假分数的另一种表现形式，如果把带分数并列在这里讲，容易混淆它的逻辑关系；另一方面我们考虑到带分数在生活中应用得不是非常普遍，学生的生活经验不够丰富，这时候学习有一定的困难，把这个内容安排到后面，结合分数加减法的具体情景来介绍带分数，效果会好一些。教科书在学生发现有的分数比 “1”小，有的分数等于或大于 “1”的基础上，教科书以定义的形式揭示什么是真分数，什么是假分数，让学生理解并掌握真分数和 假分数的概念。 教科书在学生掌握了真分数和假分数概念的基础上，安排了 “试一试 ”，要求学生把所学知识及时应用于解题实践，通过练习提高学生对所学知识的掌握水平。 “试一试 ”安排了三个内容，一个是用掌握的概念判断哪些是真分数哪些是假分数，这属于简单应用阶段；第二个内容是把分子是分母整倍数的分数化成整数，这既要用到本节课学习的知识，也要用到分数和除法的关系，属于综合性的练习；三是在直线用点来表示一些分数，让学生在数轴上直观地发现哪些分数比 “1”小，哪些分数等于或大于 “1”，进一步加深学生对真分数和假分数的认识。 课堂 活动安排了两个内容，一个是写分母是 7 的所有真分数和写分子是 7 的所有假分数，学生在写的时候要联想到真分数和假分数的定义，这是以另一种形式强化学生掌握的真分数和假分数的概念；另一个内容是在有规律的一系列分数中找出假分数，这样找出的假分数也是有规律的，通过这样的规律的发现，深化学生对所学知识的理解。 练习三安排了 5 个题，其中第 1， 2， 3， 4 题都是用不同的形式巩固真分数和假分数的概念，第 5 题联系生活实际认识生活中的真分数，让学生感受所学知识与现实生活的联系，从中获得价值体验。 2、教学建议 1这部分内容建议用 1 课 时完成。 2教学例 1 时，要强调题中的分数都是以 1 个圆为单位 “1”，这样学生才能直观地认识有些分数比单位 “1”大，有些分数比单位 “1”小这个现象。 3在例 1 的教学中， “涂色 观察 分析 填表 ”的过程应该设计在一个教学流程中完成，但是在这个过程中，教师要指导学生结合自己的涂色操作进行思考，从涂的色不满一个圆、一个圆和超过一个圆的操作中抽象出比 1 小、和 1 相等和比 1 大的数学现象，并且分析这些分数的特点。也就是说在整个教学活动中要求学生把操作活动与思维结合起来，边操作边思考，这样才能取得较好的学习效果。 4 在学生填表后，要注意让学生发现 “比 1 小的分数 ”就是 “分子比分母小的分数 ”， “和 1 相等的分数 ”就是 “分子和分母相等的分数 ”， “比 1 大的分数 ”就是 “分子比分母大的分数 ”，实现了这样的概念转化以后，再用后面的概念揭示真分数和假分数的定义。 5 在指导学生完成 “试一试 ”第 2 题时，学生填写答案前，可以让学生画图分析 (如图 )，让学生直观地发现分子是分母倍数的分数实际上就是一个整数，用这样直观的方式，可以帮助学生更好地理解所学知识。 6课堂活动的内容不但要求学生正确地回答出答案，还要求学生说一说你是怎样想的，比如写分 母是7 的真分数时为什么分子只写出了 1， 2， 3， 4， 5， 6，通过教师的追问加深学生对所学知识的理解。 7在引导学生完成练习三的习题时，要注意指导学生用真分数和假分数的定义去判断这些分数是什么分数，特别要强调分子、分母相同的分数也是假分数。学生完成第 4 题填空后，教师可以把这道题改为：在 yx 中， x、 y 都是非零自然数，当 y x 时，这个分数是 ()分数；当 y=x 时，这个分数是 ()分数；当 y x时，这个分数是 ()分数。用这样的方式，提高学生对所学知识的掌握水平。 3、教学案例 真分数和假分数 (教学片断 ) 教师：同学们已 经认识了分数，这节课我们来给分数分类。分数可以怎样分类呢 ?请同学们看这样一道题。 多媒体课件出示例 1。 教师：这道题要求我们涂色表示下面的分数，这种涂色表示分数的题目同学们在前面就会做了，但是看看这道题的要求，你觉得涂色时要注意些什么 ? 引导学生重点关注题目中要求用 1 个圆作为单位 “1”涂色。 教师：这一点很重要，如果不是一个圆为单位 “1”， 43， 85 这样的分数就很难用涂色的方式来表示了。下面请同学们按题目的要求涂色表示这些分数，这道题就在教科书第 12 页上，看谁先完成。 学生完成后，抽学生说一说自己是怎样涂色 的，特别是 43 和 85，要求学生说出这是把一个圆平均分成 3 份，涂色的部分应该占其中的 4 份，所以涂完一个圆的 3 份后，还要在另一个圆上涂出一份。教师随学生的回答把多媒体课件上的小圆涂色。 教师：观察这些图形，你发现什么 ? 引导学生说出涂色部分不足 1 个圆，有的刚好 1 个圆，有的超过了 1 个圆。 教师：联系单位 “1”来分析，哪些比 “1”小，哪些比 “1”大 ? 引导学生分析出涂色部分有的不足 1 个圆的分数比 1 小，刚好 1 个圆的分数等于 1，超过了 1 个圆的分数大于 1。 教师：把你们的发现填在书上的表中。 学生填后，抽一个学生的书在视 频展示台上展出。 教师：观察这些分数，小于 1 的分数有什么特点，等于 1 的分数呢 ?大于 1 的分数呢 ? 指导学生说出小于 1 的分数分子比分母小，等于 1 的分数分子和分母相等，大于 1 的分数分子大于分母。 教师：分子比分母小的分数叫做真分数，分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。这就是我们这节课要研究的真分数和假分数。 (板书课题 ) 教师：请同学们把你们刚才涂色表示的这几个分数分一分，你们认为哪些是真分数 ?哪些是假分数 ?为什么 ? 引导学生说出 23 是真分数，因为这个分数的分子比分母小； 33， 43， 85 这样的分数是假分 数，因为这些分数的分子和分母相等或者分子比分母大。 教师：我们可以用分子比分母小还是大来判断真分数和假分数，也可以用小于 1，等于 1 或者大于 1来判断真分数和假分数。下面请同学们用这样的判断方法来判断第 12 页下面的试一试第 1 题中哪些分数是真分数 ?哪些分数是假分数 ? 【简评】这个教学片断有这样几个特点，一是从学生分类入手，强调本课的学习内容就是给认识的分数分类，使这节课的教学重点突出；二是强调学生的操作感知，让学生通过涂色了解有些分数比 1 小，有些分数等于或者大于 1 的现象；三是关注一些细节的教学，比如强调用一 个圆作单位 “1”涂色，并且把单位“1”与分数的比较联系起来，强调这些分数是在和单位 “1”比，哪些比 1 小，哪些等于或大于 1，由于关注了这些细节的教学，所以学生建构的概念是准确的；四是既突出学生的主体作用，又加强教师的引导作用，在主体和主导作用相互作用下，帮助学生清晰地构建真分数和假分数的概念。 分数的基本性质 （第 1518 页） 1、教科书分析 本节教科书内容包括 2 个例题、 1 个课堂活动和练习四。 2 个例题的作用分别是：例 1 探讨分数的基本性质，例 2 是分数的基本性质的简单应用，并沟通分数的基本性质与商不变的规 律的联系。 例 1 从办数学小报这个情境入手来探讨分数的基本性质。选择办小报这个题材，一方面是学生有办数学小报的生活经验，另一方面是因为小报的形状是长方形，与下面折长方形的纸的情境吻合，能把整个活动情境连接在一起，有利于教师组织教学。教科书采用折一折、议一议，再归纳总结的方式引导学生进行探究。其中折纸是整个认知活动的起点，学生通过折纸，一方面可以直观地发现 12=24=36=48 这个现象，另一方面还能发现分的份数在变，取的份数也在变，而取的大小不变这个现实，让学生直观地理解变与不变的辩证关系。在学生获得这样的感性 认识的基础上，教科书再用议一议的方式对这一现象进行分析，重点分析分子、分母是怎样变的，在分析的基础上让学生发现这些分数的变化规律，然后再归纳概括出分数的基本性质。 例 2 是分数基本性质的简单应用，通过这样的应用，一方面可以深化学生对分数的基本性质的理解，另一方面也沟通分数的基本性质和约分、通分的联系，为下一节学习做准备。本着这样一个设想，在选材上面我们选择了一个分数的分子、分母同时扩大相同的倍数、一个分数的分子、分母同时缩小相同的倍数，这样学生既可以全面巩固分数的基本性质，又可以初步感受约分和通分的计算方法。 教科书还通过两个小孩的不同思考方法沟通分数的基本性质和商不变规律的联系，通过这样的沟通让学生明白分数的基本性质和商不变的规律从形式上看，它们并不相同，但是从本质上来说它们的算理是相通的，因此，学生可以用自己掌握的商不变的规律来理解分数的基本性质，通过这样变换角度的理解来提高学生对分数的基本性质的掌握水平。 课堂活动用涂一涂、议一议的方式让学生在操作活动中进一步理解分数的基本性质。这里要求学生的操作活动与思维活动要紧密地配合，通过 “涂 ”和 “议 ”的紧密结合，使学生的思维活动得到行为表象的有力支持，在这种支持下的 思维活动能取得更好的成效，促进学生对分数的基本性质的理解。 练习四安排了 7 个习题和 1 个思考题。其中第 12 题是分数的分子和分母同时扩大或缩小相同的倍数的基本练习；第 34 题是分数的基本性质的简单应用；第 5 题通过在数轴上描点的方式，用数形结合的方式加深学生对分数的基本性质的理解；第 7 题是一道带趣味性的题目，通过分西瓜这个有趣的故事，让学生明白分的份数和取的份数同时扩大相同的倍数，分数的大小不变。猪八戒希望 1 块西瓜变成 3 块西瓜，把要取的西瓜块数扩大 3 倍，这时只要把分的块数也扩大 3 倍，每人还是分得同样多的，用 14=312 的这种方式，既满足猪八戒的要求，又使每人分得的西瓜块数同样多。这种带趣味性的练习方式，不但能更有效地帮助学生巩固所学知识，同时也能激发起学生的学习兴趣，有利于学生的进一步学习。 思考题要求找出大于 57 又小于 67 的分数，从表面看，不能找出一个大于分子 5 又小于分子 6 的自然数，但是我们把两个分数的分子分母同时扩大相同的倍数，比如 57=5272=1014， 67=6272=1214，这样，我们就能找到一个大于 57 又小于 67 分数，这个分数是 1114。分子、分母同时扩大的倍数越大，找到的大于 57 又小于 67 的分数就越多。因此，大于 57 又小于 67 的分数不但有，而且很多。通过这样的思考，打破学生的定势思维，扩展学生的视野，这样对于培养学生的创新意识，有积极的促进作用。 2、教学建议 1. 本节教学内容建议用 2 课时完成。 2.教学例 1 时，可以多列举一些生活中的一些分子、分母不相同，但分数的大小相同的一些事例，激发起学生探究分数的基本性质的欲望。比如 “丁丁分 1 个月饼的 14 给爸爸，分 1 个月饼的 28 给妈妈，丁丁分给爸爸妈妈的月饼是同样多的吗？ ”这些事例都能引发学生的思考，在学生有强烈的探究欲望的前提下，再来教学分数的基本 性质，就能收到较好的教学效果。 3.在探究分数的基本性质的过程中，操作、观察、思考是学生主要的学习方式。教学中要尽可能地让学生把操作、观察和思考结合起来，动用多种感官来主动理解分数的基本性质。 4.在学生观察分数的变化过程中，最好用一幅图来演示分数的变化过程。这样学生可以直观地观察到分的份数在变，取的份数也在变，而分数的大小始终没有变这个现象。在此基础上，再来研究分数的分子和分母是怎样变化的，通过学生的合作学习讨论出分数的变化规律。 5.在总结分数的基本性质时，要引导学生理解为什么要 “0除外 ”。让学生理解分 子、分母同乘 0 时，分母就变成 0 了，违反了分母不能为 0 的这个规定，所以在分数的基本性质里，特别强调 “0除外 ”。 6.在应用分数的基本性质时，要特别关注学生的思维过程，引导学生想 “要把分母 4 变成 8，分母应该扩大多少倍？那么分子应该扩大多少倍，分数的大小才不变呢？ ”使学生明白另一个数扩大多少倍是受前一个数扩大多少倍制约的，只有把前一个问题弄清楚了，才能决定后一步怎样办。学生的这种逻辑思维顺序是学生应用好分数的基本性质的关键所在，教学中要处理好这个问题。 7.在练习的过程中不能仅满足学生正确的答案，还要问学生为什么 要这样做，让学生说一说自己是怎样想的，通过学生叙述解题过程加深学生对分数的基本性质的理解。 8.在指导学生分析第 7 题时，要求学生重点理解题中的两个要求，一是 “满足八戒的要求 ”，即要分 3块西瓜给八戒；另一个要求是 “师徒 4 人每人都要分得同样多 ”，把这两个要求的意思综合到一起，就是要求学生找出分子是 3 而分数大小与 14 相等的分数。这样引导学生明白了题意后，学生解答起来就比较容易了。 9.在教学思考题时，要引导学生思考为什么要把两个分数同时扩大相同的倍数。这样一是使两个分数的大小不变，二是可以使两个分数的分子、分母同 时发生一些变化，以便于找出大于 57 又小于 67 分数。而且同时扩大的倍数越多，这两个分数的分子相差就越大，因此找到的大于 57 又小于 67 的分数就越多。明白了这样一个道理，学生就不是简单地停留在找大于 57 又小于 67 的分数这个问题上，而是理解分数的基本性质的广泛用途，以达到本题的思考目的。 3、教学案例 分数的基本性质（教学片断） 一、导入新课 教师：同学们，咱们的好朋友丁丁遇到了 3 个问题，你们愿不愿意帮丁丁一下？（学生：愿意）丁丁遇到的第 1 个问题是关于分月饼的问题，第 2 个问题是关于春游路程的问题，第 3 个问题是关于办 数学小报的问题。 板书：分月饼春游路程办小报 教师：咱们先来看看分月饼的问题。 课件展示：过中秋节了，丁丁分月饼给爸爸和妈妈，分了 1 个月饼的 14 给爸爸，分了同 1 个月饼的28 给妈妈。 教师：同学们思考一下，丁丁分给爸爸和妈妈的月饼是同样多的吗？我们再来看第 2 个问题。 课件展示：丁丁去春游，走到翠湖公园时给家里打电话报平安，爸爸妈妈看地图，爸爸认为丁丁已经走了全程的 26，妈妈认为他走了全程的 13。 教师：爸爸和妈妈谁说得对呢？这里还有最后一个问题。 课件展示：同学们讨论，谁的数学小报中的数学趣题占的面积大。（书 上例 1 的主题图） 教师：这些小报的大小是一样的，数学趣题占的面积一样吗？好了，这 3 个问题我们都展示了，下面咱们首先来分析办小报的问题。请同学们用桌上的纸代替小报折一折，按这些同学说的分数把小报的面积平均分成几份，再把数学趣题的部分用颜色涂一涂，比较一下几张小报中的数学趣题占的面积是不是一样大。 学生动手操作后汇报比较情况。 引导学生发现涂色部分是一样大的，并理解小报中的数学趣题占的面积一样大，说明小报的 12， 24，36 和 48 是相等的。 教师：同学们，你们真聪明，发现了这些分数的分子、分母虽然不同，但它们的大 小相同，分数为什么会有这样一个规律呢？下面我们来分析一下。 二、教学新课 教师：因为这些报纸是一样大的，我们可以在同一张纸中来分析一下这些分数是怎样变的。首先我们来看第 1 个同学办的小报中数学趣味题占 12，这个 12 表示什么？ 学生：表示把这张报纸平均分成 2 份取其中的 1 份。 课件展示： 老师接着在课件中同一张纸上演示 24， 36， 48 的变化过程，让学生观察在同一个长方形内分的份数和取的份数的变化过程。 教师：你发现了什么？ 学生：我发现从 12 变成 24，从 24 变成 36 分的份数和取的份数都在变，但是阴影部分的大小 都没有变。 教师：大家发现这个图形的阴影部分的大小没有变，也就是说这个分数的大小怎样？ 学生：没有变。 板书：分数大小不变。 教师：什么在变呢？ 引导学生说出是分的份数和取走的份数都在变，分子和分母就分别表示分的份数和取走的份数。 板书：分子、分母变。 教师：它们是怎样变化的呢？我们来分析一下这些分数。我们以 12 和 24 为例来分析。 教师：分母是怎样变的？ 学生： 12 的分母 2 乘 2 得到 24 的分母 4。 教师：分子呢？ 学生： 12 的分子 1 乘 2 得到 24 的分子 2。 随学生的回答板书： 12=1222=24。 教师：你 发现了什么？ 引导学生发现分数的分子、分母同时乘 2，分数的大小没变。 教师： 12 变成 36、 48 是怎样变的呢？有什么样的规律呢？小组讨论讨论。 学生小组讨论。 各小组汇报讨论情况。 引导学生发现分数的分子和分母同时乘一个相同数，分数的大小不变。 板书：分数的分子和分母同时乘一个相同数，分数的大小不变。 教师：刚才咱们研究了分子、分母同时扩大的情况，用同样的方法咱们再看看分子、分母同时缩小的情况，把 48， 36， 24 分别变成 12，你又发现了什么？ 引导学生发现分数的分子和分母同时除以一个相同数，分数的大小不变。 板书：分数的分子和分母同时乘或除以一个相同数，分数的大小不变。 教师：同学们真聪明，发现了这些分数的变化规律，但老师有一个问题，分子、分母同时乘或除以 0可以吗？ 学生：不可以。 教师：为什么？ 引导学生分析分数的分母不能为 0，分母为 0 了，这个分数就没有意义了。所以乘或除以一个相同的数时要注意 “0除外 ”。 板书：分数的分子和分母同时乘或除以一个相同数（ 0 除外），分数的大小不变。 师：这就是这些分数变化的规律，咱们把它叫做分数的基本性质。 板书：分数的基本性质 教师：同学们能用分数的基本性质来解决分月饼和春游路 线的问题吗？大家试一试。 学生自主练习。 学生汇报验证情况，教师给予指导。 【简评】这个教学片断通过 3 个问题来创设情境，激发学生学习的兴趣；同时让学生体会到生活中有很多类似的情况，赋予分数的基本性质以广泛的现实意义，让学生明确分数的基本性质的应用价值。在新课的学习过程中，一是用操作为学生的学习提供表象支持；二是倡导学生自主学习，放手让学生自己去寻找规律，发现规律，总结规律，让学生亲身经历学习的过程；三是注重对学生利用知识解决现实问题的能力的培养，用分数的基本性质解决开课时的 3 个问题，这样一方面可以及时 地强化所学知识，也可以发展学生的应用意识；四是重视学生对一些重点问题的理解，如让学生讨论为什么要 “0除外 ”这个问题，通过这样的讨论加深学生对所学知识的理解，提高学生对知识的掌握水平。 约分 （第 1922 页） 1、教科书分析 本节教科书内容包括 2 个例题、 1 个课堂活动和练习五。 2 个例题的作用分别是：例 1 教学公因数、最大公因数和互质数，为约分的学习做准备；例 2 教学约分。 例 1 是以上学期学生学习的因数概念为基础，要求学生找 12 和 30 的因数的方式展开教学的。在分别找出 12 和 30 的因数后，教科书的重点放在 “你发现了 什么 ”的教学中，让学生通过对两个数的因数的比较，发现 12 和 30 两个数的因数都有 1， 2， 3， 6 后，教科书用填集合图的方式让学生进一步理解因数和公因数的关系，明确指出几个数的公因数和最大公因数。在学生理解公因数和最大公因数的含义以后，教学用短除法找两个数的最大公因数。由于学生有用短除法找一个数的因数的认知基础，再结合上面学习的公因数的含义，很容易理解在短除法中用 2 和 3 去除 12 和 30，并且能整除时， 2 和 3 都是 12 和 30 的公因数。教科书重点引导学生理解这个短除法除到商是 2 和 5 时，除了公因数 1 就没有其他的公因数了，由 此揭示出只有公因数 1 的两个数叫做互质数，并且要求学生理解为什么除到互质数时就不再除了的道理，帮助学生在掌握互质数的基础上掌握用短除法求两个数的最大公因数的方法。 例 2 教学约分。这个例题的内容又可以分成两个部分，前部分主要引导学生理解什么叫约分，后部分主要教学约分的方法。教科书用卡片的情境图来帮助学生理解约分的意义和约分的依据，使学生明白约分的依据是分数的基本性质，只有用分数的基本性质才能使分数化成与原分数相等，但分子分母都比较小的分数。例题通过 3050=305505=610 和 3050=30105010=35，让学生理解约分的意义是把一个分数化成与原分数相等，但分子、分母都比较小的一个分数。在学生理解约分意义的基础上，再具体研究约分的方法，除了肯定前面的约分方法以外，重点介绍了怎样用分子、分母的公因数约分的方法。教科书呈现了逐次约分和用分子分母的最大公因数一次约分两种形式，不仅能让学生感受到约分方法的多样化，也反映了学生的不同的智力水平，学生可以根据自己的实际情况选择适合于自己的约分方法来约分。教科书结合约分的过程介绍了最简分数的概念，并且在没有特殊要求的情况下，约分时一般都要把分数化成最简分数。 课堂 活动用两人一组合作学习的方式巩固最简分数的概念。选择这个概念来进行强化巩固，因为学生在判断这个分数是不是最简分数时要应用到公因数、互质数等概念，也就是通过对这个概念的练习能带动多个概念的练习，使本节学习的主要概念在这个活动中都能够得到强化和巩固。 练习五由 6 个习题和 1 个思考题组成。其中第 13 题主要强化公因数和最大公因数的概念，第 1 题还要求学生发现两个数是互质数时，最大公因数是 1；一个数是另一个数的几倍时，最大公因数是较小的数；两个数既不是互质数也不成倍数关系时，才用短除法找两个数的最大公因数的规律。这些规 律的发现，能提高学生对最大公因数的掌握水平。第 4 题练习约分。第 5 题通过改错这种形式深化学生对一些概念和约分方法的理解。第 6 题是综合性的题目，要求学生综合应用分数与除法的关系和约分的方法来解决生活中的问题，通过这样的练习让学生感受所学知识与现实生活的密切联系，在巩固已经掌握的约分方法的同时，让学生获得价值体验，坚定学生学好数学的信心。 思考题是应用约分的意义去思考最简分数与原来没有化简分数的关系，用反向思维的方式来解决问题。该题可以看成是所学知识的拓展，这种拓展对于培养学生思维的灵活性，是有积极的意义的。 2、教学建议 1. 本节教学内容建议用 2 课时完成。 2.教学例 1 时，通过填写 12 和 30 的因数及观察和讨论等活动，让学生发现 12 和 30 的公因数；在学生对公因数和最大公因数有了深入的了解以后，再揭示公因数和最大公因数的定义。这样让学生经历探究公因数和最大公因数的全过程，不但有利于学生对这些概念的理解，还能从中培养学生的成功体验，把情感与态度方面的目标落到实处。 3.引导学生用短除法找两个数的公因数时，可以先让学生用短除法分别找两个数的因数，以唤起学生对前面所学知识的积极回忆。然后让学生思考，能不能把两个短除法合写 成一个短除法，在这个短除法中的因数 2 和 3 是哪些数的因数，通过这样的问题导向，使学生理解 2 和 3 既是 12 的因数，也是 30 的因数，是 12 和 30 的公因数。理解了这个问题以后，学生就能很快地掌握求 12 和 30 的最大公因数的方法了。 4.教学例 2 时，要引导学生积极地回忆分数的基本性质，想一想怎样用分数的基本性质把分数化成同它相等但分子分母都比原来小的分数，充分发挥学生的主体作用来完成对约分过程的理解。在学生理解了约分的原理以后，再教学具体的约分的方法。 5.在引导学生思考 “35的分子、分母还有没有公因数 ”时，学生应想到这 个分数的分子分母还有公因数 1。但是除了公因数 1 以外再也没有其他的公因数了，符合互质数的定义，这样学生才理解 “分子、分母是互质数的分数叫做最简分数 ”这句话的含义。 6.教学练习五第 1 题时，不但要求学生说出每组数的公因数和最大公因数，还要求学生说一说自己是怎样找到的，通过学生说自己找公因数的过程加深学生对公因数的理解。教学第 3 题时，要先引导学生理解每组人数必须同样多，每组人数就应该是两班人数的公因数，每组最多有多少人，应该是这些公因数中的最大公因数，这样学生理解了题意后，才能正确地实施解题策略。教学第 6 题时，还 可以列举一些生活中类似的问题，也可以让学生说一说生活中哪些地方用到约分，让学生感受所学知识与现实生活的联系，同时增强学生的应用意识。 7.思考题要引导学生这样想，现在的分数 211 的分母比分子大 9， 36 是 9 的 4 倍，因此原来分数的分子、分母都是现在的分子、分母的 4 倍，由此确定原来的分数是 211=24114=844。 3、教学案例 约分 (教学片段 ) 教师：什么是公因数 ?什么是最大公因数 ? 学生回答略。 教师：写出 28 和 42 的公因数，并指出它们的最大公因数。 学生回答略。 教师：什么是互质数 ?在 3 和 8、 12 和 18 这两组数中，哪组数是互质数 ? 学生回答略。 教师：说说分数的基本性质，你能用分数和基本性质把 48 化成分母是 2 而大小不变的分数吗 ? 学生回答略。 教师：这节课就用我们学过的这些知识来探讨一个新的问题 约分。 板书课题：约分。 多媒体课件出示例 2。 教师：彩色卡片占全部卡片的几分之几呢 ? 学生：占全部卡片的 3050。 教师：说说你是怎样想的 ? 引导学生说出把全部卡片平均分成 50 份，彩色卡片占其中的 30 份。 教师：现在这个分数的分子、分母都比较大，你能把这个分数化成分子、分母都比较小，但分数大小不变的分数吗 ? 学生讨论后回答：可以用分数的基本性质，把分子和分母同时缩小相同的倍数。 教师：为什么要同时缩小相同的倍数呢 ? 使学生理解 “缩小 ”是为了使分子、分母变小； “同时缩小相同的倍数 ”是保证分数的大小不变。 教师：请同学们应用分数的基本性质，看能把 3050 化成哪些分子、分母都比原来小，但分数大小不变的分数。 学生先独立思考，再合作交流，然后抽学生的作业在视频展示台上展出。学生化出的分数可能有： 3050=302502=1525 3050=305505=610 3050=30105010=35 教师：这些 结果都符合老师的要求吗 ?你还有哪些发现 ? 指导学生说出这些结果都符合老师的要求，因为这些分数都是分子、分母都比 3050 的分子、分母小，但分数大小不变的分数。学生还可以从中发现 1525=610=35。 教师：像这样把一个分数化成同它相等，且分子、分母都比原来小的分数的过程，叫做约分。 教师：同学们刚才用分子、分母同时除以一个数的方法进行约分，但具体的书写过程中，我们还可以采用一种更简便的书写方法。同学们可以看看书，看书上的小朋友是用什么书写方法约分的。 学生看书。 教师：书上的小朋友是把 3050 化简成哪个分数 呢 ? 学生：化简成 35。 教师：我们把刚才化简的过程来和这两个小朋友的化简过程比一下，有哪些地方相同，有哪些地方不同 ? 多媒体课件演示： 3050=30105010=35 3 15 30 50 25 5=35 3 30 50 5=35 学生讨论后回答，相同的地方是：都展示了把 3050 化简成 35 的过程；不同的是：书写方式不一样。 教师：能解释一下后两种约分的过程是怎样的吗 ? 使学生明白，中间的一种约分方式是用分子、分母的公因数一次一次地去化简的；而后一种约分的方式是用分子、分母的最大公因数去除，一次就把分 数化简为 35。 教师：这三种化简方法都可以，但是在平时的约分过程中，我们一般都采用后两种方式。下面请同学们再观察一下， 1525， 610 和 35 是分子、分母都比 3050 小，但大小都与 3050 相等的分数，因此把 3050化简成这 3 个分数的过程都是约分的过程。但是这 3 个分数 (即 1525， 610 和 35)中，你发现 35 与前两个分数有哪些地方不一样呢 ? 使学生理解前两个分数的分子、分母除了公因数，还有其他的公因数，还可以进一步约分，而最后一个分数的分子、分母是互质数，不能再约分了。 教师：像这样分子、分母是互质数的分数叫做 最简分数。我们在约分时，如果没有特殊要求，一般都要把它化成最简分数。同学们会判断哪些是最简分数吗 ? 学生：会。 教师：那么我们来试一试。 引导学生做第 21 页的课堂活动。 教师：通过刚才的活动我们知道了哪些是最简分数，哪些不是最简分数，你能把这些不是最简分数的分数化成最简分数吗 ?试一试。 【简评】本教学案例有以下几个特点： 1找准学生原有认知基础，帮助学生主动运用原有知识学习新知识。 2采用独立思考与合作交流的有机结合，把学生推上学习的主体地位，使学生通过自己的努力掌握约分的过程。教学中不但要求学生理解 把一个分数化成最简分数的过程，也理解化成不是最简分数，但分子、分母都比较小的过程。这样，学生对约分的过程理解得更加深刻，能有效地提高学生对约分的掌握水平。 3 采用比较的方法，不仅沟通了前后所学知识的联系，而且有效地利用前面所学的知识推动后面知识的学习，使学生事半功倍地掌握约分的方法。 通分 （第 2326 页） 1、教科书分析 本节教科书内容包括 2 个例题、 1 个课堂活动和练习六。 2 个例题的作用分别是：例 1 教学公倍数、最小公倍数，为通分的学习做准备；例 2 教学通分。本节知识的编排方式与约分相似，有利于学生借鉴学习 约分的方法来学习通分。 例 1 是以上学期学生学习的倍数概念为基础，要求学生找 4 和 6 的倍数的方式展开教学的。由于学生有找一个数的倍数的学习基础，能分别找出 4 和 6 的一些倍数，在此基础上，教科书要求学生通过对两个数倍数的比较发现两个数公有的倍数，在学生理解公倍数和最小公倍数的基础上以定义的形式揭示公倍数和最小公倍数的含义，然后教学找最小公倍数的方法。从严格的意义上来说，教科书在前面介绍的列表找两个数的公倍数和最小公倍数的方法也是找最小公倍数的一种方式，所以教科书在介绍用短除法找两个数的最小公倍数的方法时，用了 “用短 除法可以找出两个数的最小公倍数 ”的叙述，说明找最小公倍数的方法不止一种。在这部分内容的教学中，有两个问题值得关注，一是为什么要找两个数的最小公倍数；二是为什么可以用这样的方法找两个数的最小公倍数。教科书由于表达方式有限，没有将这两个问题提出来讨论，但是教学时教师要关注这两个问题。根据新课程的要求，求最小公倍数只要求学生掌握求两个数的最小公倍数的方法，因此教科书没有讨论求 3 个数的最小公倍数的问题，在教学要求方面的变化，应该引起注意。 例 2 是把分数大小的比较和通分结合起来教学，因为这两部分内容联系得非常紧密。教 科书以分数的大小比较作为通分的认知需要，为通分的学习做动力方面的准备；同时通过通分的学习，让学生进一步掌握比较分数大小的方法，以达到一箭双雕的教学效果。教科书是以两个工人检验产品这个情境图展开教学的。之所以选择这个题材，是因为工作效率的比较在生活中应用得很广泛，学生能从这幅情境图中感受到这部分内容的学习价值；同时学生要比较哪个工人检验得快一些，就要涉及分数大小的比较，由于学生在前面有同分母分数比较的认知基础，所以自然就要想到把两个分数化成分母相同的分数，再比较，这样就引出了通分的问题。在具体的通分过程中，教 科书呈现了分别用 48 和 24 作公分母的通分过程。用这种方式一方面说明通分方法的多样化，另一方面也有利于学生通过对两个通分过程的比较，理解用最小公倍数作公分母通分比较简便的道理，而且这样呈现多个通分过程，也有利于学生通过多个通分的事例来归纳总结通分的意义。 课堂活动通过填表和看图等活动方式强化学生对通分的理解。其中，在第 2 题中， 79 的分母是 23 分母的 3 倍，学生可以通过图的观察直观地理解当两个分数的分母成倍数关系时，大的一个分母就是这两个分数分母的最小公倍数。 练习六安排了 7 个题和 1 个思考题。其中第 13 题主要强 化公倍数和最小公倍数的概念，第 4， 6， 7题练习通分，第 5 题属于综合练习的内容。第 1 题除了要求学生求出每组数的最小公倍数以外，还要求学生发现两个数成互质数时，最小公倍数是它们的乘积；两个数成倍数关系时，较大的一个数就是这两个数的最小公倍数等规律。第 2 题是最小公倍数在现实生活中的应用。第 3 题用同一组数找最大公因数和最小公倍数，在强调找最大公因数和最小公倍数对比的同时，让学生理解这两个概念的联系与区别，提高学生对这两个概念的掌握水平。第 6 题比较两个分数的大小，除了用分母相同的方法比较大小外，学生还可以选择分子相同 的方法比较两个分数的大小，但是不管选择哪种方法，都要先通分，然后再比较大小。第 7题是分数的大小比较在现实生活中的应用，通过应用在强化所学知识的同时提高学生的应用意识。思考题的重点不是让学生比较分数的大小，而是通过这样的方式让学生发现一些规律。通过发现规律一方面增强学生探索规律的能力，另一方面也能用这些规律又快又对地比较分数的大小。 2、教学建议 1.这节内容建议用 2 课时完成。 2.由于这个小节的内容的编排方式与约分比较相似，教学时，可以让学生先回想学习公因数的过程，让学生说出经历 “找两个数的因数 发现两个 数的公因数 找出这些公因数的最大公因数 用短除法找公因数 ”的过程以后，教师可以明确地告诉学生，这节课我们用相似的方法来学习公倍数，并对学生找公因数的过程作适当的改动，变成 “找两个数的倍数 发现两个数的公倍数 找出这些公倍数的最小公倍数 用短除法找公倍数 ”后，再引导学生按这个学习过程进行探究。这样有效地利用前面的学习方法来学习新知识，能最大可能地发挥学生学习的主动性，事半功倍地用原有知识来推动新知识的学习。 3.在例 1 用短除法求两个数的最小公倍数的教学过程中，要引导学生作这样的思考： 4=22， 6=23。 4和 6 的倍数应该是 4 的因数和 6 的因数的乘积，由于两个数有公因数 2，因此这个公因数只乘一次就行了，也就是说， 4 和 6 的最小公倍数包含 4 和 6 的公因数和不同的因数。这样，学生才能理解 223=12 是 4 和6 的最小公倍数，也才能从根本上掌握用短除法求两个数的最小公倍数的方法。 4.教学例 2 时，可以先复习同分母分数比较大小的方法，然后引导学生思考要求哪个工人检验得快一些就是看哪个分数大一些，这就涉及通分的问题。在教学具体的通分的过程中，重点要求学生考虑两个问题，一是选哪个数作为新分母，二是怎样用分数的基本性质进 行通分。首先要使学生明白，两个分数分母的公倍数都可以作为这两个分数的新公分母，但是用最小公倍数作新公分母要简便一些；还要理解分数通分时，是分母要扩大一定的倍数，引起分子要扩大相同的倍数。学生要理解这些变化关系，才能正确掌握通分的方法。 5.教学练习六第 1 题时，可以把这几组数分成几类，比如两个数是互质数的，一个数是另一个数的几倍的 这样分类后再分别找这些数的最小公倍数，学生就更容易发现找两个数的最小公倍数的一些规律。第 2 题要求学生注意的是，小红每隔 3 天上一次网的意思是每 4 天上一次网，比如在 9 月 30 日上网以后 ，下一次的上网时间是 10 月 4 日，中间相隔 10 月 1 日、 2 日、 3 日 3 天，明白了这样一个意思以后，学生才能正确地解题。第 5 题不但要求学生判断正确或错误，还要说一说正确或错误的原因，这样学生才能建立更清晰的概念。学生完成第 7 题后，还可以要求学生说一说生活中哪些地方还用到比较分数大小的事例，你是怎样解决的。通过这样的练习让学生进一步感受所学知识与现实生活的联系，使学生获得价值体验。 6.教学思考题时，除了用通分的方法让学生对分数进行大小排列外，还可以用图示法来表示这些分数的大小关系。这样学生更能直观地发现这些分数的大 小排列规律。 3、教学案例 通分（教学片断） 一、情境引入 教师出示例 2 的情境图，学生说从图中得到的信息。 教师：这里一个工人 1 时检验了这批产品的 78，另一个工人 1 时检验了这批产品的 56，你能直接比较出哪位工人检验得快些吗？ 学生：不能。 教师：为什么？ 学生：我们以前学的都是分母一样的分数进行比较，这里的两个分数分母不一样大。 教师：分母一样的分数叫做同分母分数，分母不一样的分数叫做异分母分数。异分母分数怎样比较它们的大小呢？ 学生：把它们转化成同分母分数来比。 教师：不错，在转化中需要注意什么？ 学生 小组讨论，汇报。要使学生意识到在转化中要注意不能使原来的分数大小发生变化。 教师：怎样才能使异分母分数变成同分母分数而分数的大小不发生变化呢？这就要用到我们前面学习的分数的基本性质。下面研究这样一个问题，我们选择哪个数来作为这两个分数的新分母呢？ 组织学生讨论发现：这个数应该既是 8 的倍数，又是 6 的倍数。 师：像这种既是 8 的倍数又是 6 的倍数的数，我们把它叫做公倍数。 板书：公倍数。 二、教学公倍数和最小公倍数 教师：怎么找 8 和 6 的公倍数呢？要解决这个问题，先回忆一下我们前面是怎样找公因数的。 学生：先分别找出 两个数的因数，再看两个数公有的因数。 教师：我们可以用同样的方法来找两个数的公倍数。 教师边说边板书： 1.找两个数的倍数； 2.找两个数公有的倍数。 教师：下面请同学们用这种方法找出 8 和 6 的公倍数。 学生完成后，让学生汇报找倍数的方法。教师根据学生的汇报板书： 8 的倍数有： 8， 16， 24， 32， 40， 48， 56， 64 6 的倍数有： 6， 12， 18， 24， 30， 36， 42， 48 教师：为什么要打省略号呢？ 生：因为一个数的倍数是无限的，不可能写完一个数的所有倍数。 教师：那么 6 和 8 公有的倍数有哪些？ 随学 生的回答板书： 6 和 8 公有的倍数有 24， 48 教师：我们把 24， 48 这些 6 和 8 公有的倍数叫做 8 和 6 的公倍数。在这些公倍数中最小的是几？ 学生： 24。 教师： 24 就是 8 和 6 的最小公倍数。 板书：最小公倍数。 教师：想一想，能不能找到 8 和 6 最大的公倍数？为什么？ 引导学生发现：不能找到两个数最大的公倍数，因为不能找到两个数最大的倍数，所以也不能找到两个数的最大公倍数。 三、比较两个分数的大小 教师：这样找到了 8 和 6 的公倍数后，我们就可以比较两个分数的大小了。同学们可以选择 8 和 6 和公倍数 24 作新公分母，也可 以选择它们的公倍数 48 作新公分母，用分数的基本性质把它们化成分母相同的分数。同学们会吗？（学生：会）大家试一试。 学生解答后，随学生的回答板书： 78=7383=212478=7686=4248 56=5464=202456=5868=4048 教师：现在能比较出谁检验得快一些吗？ 学生：叔叔检验得要快一些。 教师：用 24 作新分母和 48 作新分母的答案都一样吗？（学生：都一样）但用谁作新分母计算简便些呢？ 学生：用 24 作新分母计算简便一些。 教师：所以一般的情况下，我们都选择用两个分数分母的最 小公倍数作新的分母。但是，每次都这样列举来找两个数的最小公倍数太麻烦了，我们应该探讨一种更简便的找两个数的最小公倍数的方法。下面我们就来讨论怎样用短除法来找两个数的最小公倍数。 【简评】这个教学片断通过两个分数比大小让学生体会通分是现实生活的需要，由需要激发学生的认知需求；再由通分的需要引导学生探讨公倍数和最小公倍数；由于用列举法找最小公倍数比较麻烦，让学生意识到需要探讨更简便地找最小公倍数的方法；整个教学环节都在 “需要 ”两个字上做文章，使学生自始至终地对整个学习过程保持浓厚的学习兴趣。其次这个教学片 断很注意用前面掌握的知识和学习方法来学习新的知识，有效地用原有知识来推动新知识的学习，这也是该教学片断的一个特点。 分数与小数 （第 2729 页） 1、教科书分析 本节教科书内容包括 3 个例题、 1 个课堂活动和练习七。 这 3 个例题的作用分别是：例 1 教学分数化小数；例 2 教学小数化分数；例 3 是小数和分数的互化在现实生活中的应用。 例 1 教学分数化小数，基本依据是分数与除法的关系。由于学生有这方面的学习基础，教科书直接呈现把分数改写成除法算式，再计算出结果的分数化小数的过程，指导学生总结归纳出分数化小数的方法。 例 2 是 小数化分数，主要依据学生前面掌握的 “一位小数就是十分之几，两位小数就是百分之几 ”这方面的知识。因此教科书一开始就出现了在数轴同一个点上填小数和分数，用这样的方式引起学生对原有相关知识的积极回忆，在此基础上，再引导学生用这方面的知识和前面掌握的约分的知识来探讨小数化分数的方法。 例 3 是小数和分数互化在现实生活中应用的具体事例，通过小树高度比较的情境图，引导学生把小数化成分数或是把分数化成小数来比较。教科书同时呈现了小数化分数和分数化小数这两种比较方式，这样一方面全面应用了前两个例题掌握的分数和小数的互化方 法，同时也体现了解决问题策略的多样化。 课堂活动安排了对口令和分数化小数这样 2 个题目。第 1 题通过对口令这种方式，明确要求学生熟练地掌握小数与十进分数的联系，这是小数化分数的一个关键环节，加强这方面的训练，能提高学生对这方面知识的掌握水平。第 2 题在练习分数化小数方法的同时，重点让学生发现分母里只含有 2 或 5 两种因数，这个分数就能化成有限小数；如果除了 2 和 5 以外，还有其他因数，这个分数就不能化成有限小数。学生掌握了这个规律，对后面学习分数、小数的计算时，决定把分数化成小数来算或是把小数化成分数来算有帮助。也是学生 深入理解分数和小数互化的一个重点内容，教学中要注意突出学生对这方面的思考。 练习七安排了 5 个习题和 1 个思考题。其中第 1 题练习分数化小数；第 2 题用在数轴上同一个点填分数和小数的方式，沟通小数和分数的联系；第 3 题练习小数化分数；第 4 题用连线的方式练习分数和小数的互化；第 5 题直接比较分数和小数的大小，这里学生的选择余地比较大，学生既可以选择分数化小数来比较，也可以选择小数化分数后再比较。 思考题的难度比较大，它综合了小数与十进分数，分数的基本性质，约分和通分等方面的知识，并且是一道逆向思维的题目。教科书主要通过这 样的题目强化学生前面学习的内容，同时把发展学生逻辑思维能力的任务落到实处。 2、教学建议 1.这部分内容建议用 2 课时完成。 2.教学例 1 时，可以组织学生适当复习分数与除法的关系，让学生把一些分数改写成除法算式，引起学生对原有知识的积极回忆后，再探讨分数化小数的方法。探讨出化法后，要及时用一些题目进行强化巩固，让学生熟练地掌握分数化小数的方法，在此基础上再组织学生完成课堂活动第 2 题，通过这道题的讨论加深学生对分数化小数方法的理解。 3.教学例 2 时，除了组织学生完成数轴上填数的这个活动外，还可以把课堂活动的第 1 题提到这个地方进行教学，通过这些教学活动让学生充分地理解小数与十进分数的联系以后，再探讨小数化分数的方法。 4.分数化小数的分母不要太大，小数化分数时的小数一般也控制在两位小数的范围内（教科书中只出现了 1 个 3 位小数），这样有利于学生把主要精力集中在化法的探讨上。减小计算难度是为了使教学的重点更集中。 5.教学例 3 时，在出示了情境图后可以组织学生讨论： “你准备怎样比较两棵树的高矮 ”。让学生提出 “把小数化成分数来比较 ”和 “把分数化成小数来比较 ”这两种策略后，再让学生选择自己喜欢的方法比较。 6.练习七第 1 题可以 让学生先判断哪些分数能化成有限小数，哪些分数不能化成有限小数，说一说自己判断的理由，再进行分数化小数，看化的结果与自己的判断是否吻合。第 45 题不但要求学生正确地进行连线和比较出大小，还要问学生是怎样做的，让学生在说做的过程中更加熟练地掌握分数和小数互化的方法，同时感受解决问题策略的多样化。学生也可以说自己对这些方法选择的依据，比如能化成有限小数时，一般化成小数比较简便；如果不能把分数化成有限小数，那就只有用分数来比较了。通过这样一些训练，提高学生灵活应用知识的能力。 7.思考题要这样想， 0.4 化成分数是 25， 25 的分子和分母相加的和是 7， 21 是 7 的 3 倍，所以现在分数的分子、分母要同时扩大 3 倍才是原来的分数，用 25=2353=615，可知原来这个分数是 615。 3 教学案例 分数与小数（教学片断） 能化成有限小数的分数的分母： 4=22510=25 不能化成有限小数的分数的分母： 12=223715=35 教师：根据上面的分析你能作出哪些猜测 ? 引导学生说出：我猜想分数的分母中只含质因数 2 和 5 的，就能化成有限小数，如果除了质因数 2 和5，还含有其他质因数的分数，就不能化成有限小数。 教师：这个猜想对 不对 ?请同学们自己写几个分母只含质因数 2 和 5 的分数来试一试。 学生试后，肯定是对的。 2 教学例 2。 多媒体课件出示例 2：把 0.4， 0.8， 0.85， 1.125 化成分数。 教师：刚才我们研究了怎样把分数化成小数，下面我们将研究又怎样把这些小数化成分数 ? 教师提醒：我们可以联系小数的意义这样想， 0.4 是几分之几 ?0.85 是几分之几？ 引导学生回答： 0.4 是十分之四， 0.85 是百分之八十五。 教师：你能联系小数的意义在下面的直线上填上合适的分数吗？ 教师：现在大家知道了怎样把小数化成分数了吗 ? 引导学生回答出： 0.4 是十分之四，把它写成分数就是 410，化简后是 25。 随学生的回答板书： 0.4=410=25。 教师：这样想对不对？ 学生：对。 教师：请同学们像他那样思考，把 0.85， 0.125 化成分数。 学生思考解答后，抽学生的作业在视频展示台上展示出来。 0.85=85100=17201.125=1 1251 000=98 教师： (抽第一个学生回答 )你是怎样想的呢 ? 学生甲：我是这样想的， 0.85 表示的是百分之八十五，写成分数是 85100，把这个分数化简后是 1720。 教师： (抽第二个学生回答 )你又是怎样想的呢 ? 学生回答略。 教师：你们赞成他们的想法吗 ? 学生：赞成。 教师：我也赞成他们的想法，谁来归纳一下把小数化成分数的方法。 指导学生说出：把小数化成分数时，先想这个小数表示的是十分之几、百分之几、千分之几 的数，再把这个小数直接写成分母是 10， 100， 1000 的分数，能够化简的要化简。 教师：都掌握这样一个方法了吗 ?下面我们做一个对口令的游戏，由一个同学说出一个小数，另一个同学迅速地把这个小数化成分数，看谁做得又快又对。 【简评】这个教学片断有这样几个特点：一是突出原有知识对新知识学习的推动作用。 在教学中用 “分解质因数 ”作一个引导，让学生自己去发现分数化小数时哪些分数能化成有限小数，哪些不能化成有限小数，并用猜想、验证的方式，让学生自己证实自己的猜想，深化学生对分数化小数的理解，提高学生对分数化小数方法的掌握水平；二是强调前面的 “经验 ”对新知识学习的影响，有效地运用原有经验来学习新知识。用对口令的方式，激发学生的学习兴趣，使课堂更加生动、有趣。 整理与复习 （第 3032 页） 1、教科书分析 本节教科书内容包括整理和复习两个部分，其中整理部分安排了 3 个题，第 1 题主要对本单元所学的内容进行系统的梳理； 第 2 题复习分数的意义；第 3 题复习分数的基本性质、约分和通分。 由于本单元的许多知识都是相互联系的，所以第 1 题用讨论的方式对本单元所学的内容进行一次系统的梳理，通过这样的梳理沟通本单元知识之间的联系，帮助学生形成整体认知结构。教科书以小男孩整理的一部分知识作为知识整理的一个示范，要求学生按这样的 “树 ”型图进行知识的梳理。小女孩的对话提示学生分数、真分数和假分数这些概念之间是有联系的，受这样一些提示的启发，学生可以从分数与除法的关系、分数与小数的关系等方面进行整理，通过这样的系统整理，把本单元所学的知识系统化， 提高学生对知识的掌握水平，同时学生也能在整理知识的过程中，学习一些整理知识的方法。 学生对本单元知识进行系统整理以后，教科书抓住分数的意义和分数的基本性质这两个关键的概念组织复习，因为这两个概念都是本单元的核心概念，抓住这两个核心概念能带动其他概念的复习。 学生对分数意义的理解重点放在单位 “1”和平均分这两个概念上，其中平均分的问题是在分数的初步认识中解决的问题。这个单元重点引导学生理解单位 “1”，所以在复习的过程中，教科书抓住两筐不一样多的苹果，让学生思考它们的 15 谁多一些，为什么？从中让学生进一步理解单 位 “1”对分数大小的影响。关注这个问题，对学生的进一步学习有利。 分数的基本性质也是本单元一个非常重要的概念，复习时教科书从说分数的基本性质为切入口，集中安排了约分、通分。通过这样的编排方式，让学生体会分数的基本性质与约分和通分的联系，在复习这些知识的同时帮助学生形成较为完整的知识结构。 练习八安排了 8 个题。其中第 1 题练习分数的意义，第 2 题练习分数与除法的关系，第 45 题练习约分和通分，第 67 题练习分数和小数的互化，第 3 题和第 8 题是应用所学知识解决生活中的简单问题的题目。 最后安排的是数学文化，这个数学文 化用连环画的形式向学生介绍分数符号的来历。分数的发展经历了一个漫长的阶段，要介绍的内容比较多，但限于教科书篇幅的限制，教科书在向学生进行数学文化的介绍时，删减了大量的文字说明，只保留了主要的文字，在教学这个数学文化时，教师可以给学生补充一些内容，使这个教学内容更加充实。 2、教学建议 1.这节内容建议用 2 课时完成。 2.对知识进行梳理时，可以让学生先回忆本单元学习了哪些知识，然后想一想这些知识有哪些联系。可以让学生边讨论边写，把知识间的联系用自己的方式表达出来，然后再介绍 “树 ”型图，教学中不要提 “树 ”型图的 概念，让学生理解用这种方式能清楚地表达知识各部分间的关系。 3.复习分数的意义时，要让学生重点围绕单位 “1”和平均分这两个概念进行复习。然后抓住除法与分数的关系，让学生进一步掌握分数和小数的互化的方法，同时也能感受这些知识的内在联系。 4.复习约分和通分时，要突出分数的基本性质在约分和通分中的作用，让学生理解约分和通分的理论依据都是分数的基本性质。所以，复习时不能平均使用力量，要重点复习好分数的基本性质，用它来带动约分和通分的复习。 5.在指导学生完成练习八第 2 题时，要引导学生回想单位之间的进率，然后根据进 率填上适当的分数以后，再引导学生判断哪些分数不是最简分数，把不是最简分数的分数进行约分，这样，学生可以同时复习分数、最简分数和约分等概念。第 3 题不但要求学生回答出结果，还要引导学生说一说自己是怎样想的，通过学生想的过程让学生对分数与除法的关系、通分等方面的知识掌握等更加深刻。第 45 题要求学生说一说自己约分和通分的过程。第 67 题要结合练习的实例让学生说一说分数和小数互化的方法，通过学生说过程和方法提高学生对这些内容的掌握水平。第 8 题教学时可以把学生的思维面扩展得更宽一些，比如引导学生想一想大象的体重是犀牛 和河马体重和的几分之几？这样在更广的面上加深学生对所学知识的理解。 6教学数学文化时，要对分数的来历的知识进行补充，下面是一些补充的资料，还可以给学生提供一些相关的链接，吸引学生对分数研究的兴趣。下面是对分数的来历的一些补充和相关链接，供教师教学时参考。 古巴比伦的分数是 60 进制，并创造出用 60 进位分数表示的基本分数，如 154=160+6602+40603。 埃及人表示分数的方法是在下面写上表示分母的数字记号，上面画一个卵形或一点。如用表示 14。 我国古代用算筹表示分数，如用 表示 35。印 度的分数记法和我国类似，不同的是用阿拉伯数字表示分数。如用 35 表示 35。 阿拉伯人在印度人的分数记法的基础上，在分子、分母中间添画上一条横线。这种记法，在 13 世纪初传到了意大利， 15 世纪才开始在欧洲各国通行。 中国自古以来就重视历法的推算，在推算年、月、日的过程中会遇到分数，这就使我国在很早就形成了一套较为完整的分数运算体系。在公元前 1 世纪的九章算术中，就有分数运算的算理、算法和分数的基本性质，这比欧洲早 1400 多年。所以，我国是世界上最早系统叙述分数的国家。 摘自上海教育出版社小学生数学辞海 相关 链接 1相关书籍：小学生数学辞海 “分数的发展 ”。 2 相关研究： (1)最初分数的出现，并非由除法而来。分数被看作一个整体的一部分。 “分 ”在汉语中有 “分开 ”、 “分割 ”之意。后来运算过程中也出现了分数，它表示两整数比。 (2)在九章算术中，讲到约分、合分 (分数加法 )、减分 (分数减法 )、乘分 (分数乘法 )、除分 (分数除法 )的法则，与我们现在的分数运算法则完全相同。另外，还记载了课分（比较分数大小 )、平分 (求分数的平均值 )等关于分数的知识，是世界上最早的系统叙述分数的著作。 二、长方体正方体 （一） 教学目标 1 在观察、操作、交流等活动中，通过对长方体、正方体立体图形的面、棱、顶点的感知与分析，形成对长方体、正方体基本特征的认识。 2 通过操作活动，从实例中理解物体表面积的含义。认识长方体和正方体的展开图。能根据表面积的含义求长方体、正方体的表面积，并能解决简单的实际问题。 3 通过操作活动理解体积 (或容积 )的含义。认识常用的体积、容积的计量单位并形成表象 (1 m3， 1 dm3，1 cm3， 1 m3)，感受体积 (或容积 )单位的实际意义，会进行单位间的换算。 4 探索并掌握长方体、正方体体积的计算方法， 并能应用到生活中解决有关问题。 5 能综合运用长方体、正方体的知识，提出并解决生活中的一些简单的实际问题，体会其应用价值。 （二）教科书说明 1 本单元教学内容 本单元的主要教学内容包括：单元主题图、长方体和正方体的认识、长方体和正方体的表面积、体积与体积单位、长方体和正方体的体积计算、解决问题、你知道吗、整理与复习以及综合应用。标准在 “空间与图形 ”的编排体系上的一个突出特点是：立体实物 平面图形 立体图形。因此，从学生关于长方体和正方体的知识基础和能力上看，已经在一年级通过立体实物初步认识了一些简 单的立体几何图形，能够对长方体、正方体、圆柱和球进行正确的分类和识别。并在三、四年级和五年级上册分别学习了一些常见平面几何图形的特征和周长与面积的计算，并能解决一些简单的实际问题。本单元教科书是在此基础上教学的，是对长方体和正方体特征、由二维空间转化到三维空间的一次较深刻地认识，也是学生空间想象能力和空间观念的一次质的飞跃。长方体和正方体是最基本的立体几何图形，是进一步学习其他立体几何图形的重要基础，同时在经历探索长方体和正方体特征与获得计算方法的过程中，能有利于培养学生终身受用的思想方法与解决问题的策略。 本单元内容编排的思路是：单元主题图呈现生活中随处可见的有关长方体和正方体的现实问题情境，体现本单元学习的意义与价值，激发学生学习的兴趣。长方体和正方体的认识，从学生的已有认知出发，从实物抽象到直观立体图形，再到透视立体图形，通过多种操作活动感知和认识长方体和正方体的形体特征，在认识表面积时，教科书提供了长方体的展开图，帮助学生理解表面积含义的同时，让学生去体会平面与立体的转化与对应，发展学生的空间观念。当学生知道了长方体、正方体表面积的含义之后，就能借助观察和已有的表象，自己探索出计算长方体、正方体的表面 积的方法。 “体积 ”对学生来讲是一个全新的概念，理解体积（或容积）的意义，是本单元的又一个教学的重点，它既是认识体积（或容积）度量单位的基础，也是探索并掌握正方体、长方体和圆柱体积的基础，同时它也是学生学习的一个难点。教科书在例题、课堂活动以及练习中，通过丰富的观察、猜测、操作、实验等数学活动，感知并建立对体积与体积单位的认识。在长方体和正方体体积计算方法的探索中，教科书让学生通过开放的自主拼摆、观察并记录，从中发现长方体体积与这个长方体长、宽、高之间的关系，进而总结出计算长方体体积的一般方法。 “解决问题 ”是 让学生在开放自主的数学活动中，运用长方体和正方体的知识，解决生活中的现实问题，体验解决问题策略的多样性，逐步形成解决问题的一些基本策略，发展学生的实践能力与创新精神。教科书还穿插编排 “你知道吗 ?”这样的数学文化小栏目，介绍历史上著名数学家阿基米德与体积知识相关的历史趣事，在扩大知识面的同时，让学生体会转化的数学思想，激发学生做一个善于思考和勤于探索的人。最后通过整理和复习，用树型图的方式沟通和梳理本单元知识与知识之间的联系，提高学生对本单元知识掌握的质量。 2 本单元教科书的编写特点 （ 1）加强几何知识与现 实生活的联系。 几何知识的学习要联系空间和图形知识的现实背景，让学生在生活中有意识的接触或感受丰富的几何世界。本单元教科书在编写时，十分重视以现实生活场景或实际需要为背景，来引入学习内容。例如，单元主题图中的现实场景；做纸盒、纸袋所需材料的多少引入长方体的表面积；将一个土豆放入水杯中引起水位的变化，来引入体积的认识等。同时又注重用所学的长方体和正方体表面积和体积的知识，解决生活中的实际问题。诸如，计算一个电冰箱包装箱需要多少 cm2 的纸板、计算电脑包装箱的体积等富有现有意义的实际应用问题。通过这样一些内容的学 习，让学生体会学习有关知识的应用价值，激发学生学习这部分知识的兴趣与探索的欲望。同时教科书还注意把数学活动建立在学生的生活经验上，有利于学生用自己的生活经验来进行新的认知活动，用自己的生活经验来进行探索与合情的推理。 （ 2）加强了平面与立体的转化，发展学生的空间观念。 标准将认识长方体和正方体的展开图，作为这部分教学的目标之一。教科书通过演示或操作一些长方体或正方体盒子的剥离或展开的过程，让学生明确长方体、正方体的展开图是一个平面（即是长方体、正方体的表面积）。又通过在长方体或正方体的每一个面记上不同的 符号，或涂上不同的颜色后，再展开来观察，帮助学生认识展开图中每个面在立体图上的对应位置，从而引导学生将平面与立体图中的每个面对应起来，发展学生的空间观念，并为他们学习长方体和正方体表面积做一些准备。练习十第 6 题、练习十三第 3 题、整理与复习的思考题都体现了这一意图。 （ 3）重视经历探索知识的过程，积累基本的数学活动经验。 探索并掌握长方体和正方体表面积和体积的计算方法，是空间与图形的重要立体知识内容，也是将来进一步探索获得圆柱、圆锥表面积和体积计算方法的关键点。教科书设计了多种直观体验活动情境，让在学生对长方 体和正方体特征，以及一个物体表面积、体积的丰富的感性认识的基础上，创设问题情境，让学生在独立尝试与合作交流中探索长方体表面积和体积的计算方法，并让学生用类似的方法自己去探索解决正方体表面积和体积的计算问题。在这个过程中，注重探索的体验，从体验中获得探索的方法与策略，积累探索的经验。 ( 4 ) 重视渗透 “等积变换 ”的思想的教学。 在现实生活中，有些事物的形状是不规则的，计算它们的体积也没有现成的公式，但有时又需要测量他们的体积的大小。为此标准明确提出了要重视探索某些不规则物体体积的测量方法。在教学中不仅要让学生探索、掌握一些基本立体图形体积的基本方法，还要使学生懂得遇到一些不规则实物，可以用 “等积变换 ”的思想来测量它们的体积。即同样一个实物，其形状可能变化，但它所占的空间位置的大小是不变的。教科书在例题和课堂活动中分别设计了用装有水的量杯，来测量土豆等不规则实物的体积，将实物的体积转换成水的体积。又在练习题中编排了同样多的碎石用不同形状的长方体车厢去装，来体会 “形 ”变 “积 ”不变的思想，从而获得一些测量不规则实物的经验与方法。 （三）教学提示 根据标准对 “空间与图形 ”第二学段的基本要求和本单元教科书编排 的特点，在本单元的教学中要注意以下几点： 1 重视学生的多种感官参与数学活动，让学生眼、耳、口、手、脑并用，要注意为学生进行空间想象和抽象思维提供直观、形象的表象支持，让学生在对具体实物或模型的认识和描述中，丰富对立体图形的认识，在实际观察、剪拼、测量和比较中探索长方体和正方体的表面积和几何体积的计算方法。 2 本单元需要大量不同形状与规格的教具和学具，要善于从身边寻找和发现教具和学具，教师示范并启发、鼓励学生用废旧物品和材料，加工改造成教具和学具，为本单元的教学做好教具和学具的充分准备。 3 要重视比划与 估计在本单元教学中的运用，可以通过学生的用手比划面、棱、顶点，体会 “平行 ”、“相对 ”和 “相邻 ”的位置关系与特征，通过比划帮助学生建立各种体积单位的大小的观念。在具体计算之前，对形状、表面积大小、体积大小、结果可能是高一些还是矮一些，预先做一些估计后再进行测量或计算，不仅有利于激发学习兴趣，还有助于培养学生的数感和量感，发展学生空间想象能力和空间观念。 4 教学要注意面向全体，重视探索过程，一定要尽量让学生亲身经历，让他们亲自折一折、量一量、算一算、比一比，在充分的交流、分享甚至争辩中，理解关于长方体、正方体 的本质特征和计算公式，并获得解决问题的策略与方法。 长方体、正方体的认识 （第 3438 页） 1、教科书分析 本节教科书内容由单元主题图、一个准备性内容、 2 个例题、 1 个课堂活动和练习九组成。 单元主题图呈现了一个现实生活中需应用长方体、正方体的知识解决问题的情境。在这个情境中，通过观察，找到许多形状是长方体或正方体的建筑物、设施、装饰等物品，并从对话中体会到很多实际问题的解决都要用到长方体和正方体的有关计算。主题图既为本单元的学习起到唤起已有认知回忆，又使学生意识到一些有关长方体、正方体