华师版初中数学教案+随堂练习：第十九章_全等三角形

1第十 九章 全等 三角 形 1 9 .1 命题 与定理一 知识 点：1.命题：可以判断它是正确的或是错误的句子叫做 命题 （ proposition） 正确的命题称为真命题 ， 错误的命题称为假命题 在数学中 ， 许多命题是由 题设 （ 或已知条件 ） 、 结论 两部分组成的 题设是已知事项 ； 结论是由已知事项推出的事项2.公理：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的 原始依据 ，这样的真命题叫做公理（ axioms） 。3.定理：数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且 可以进一步作为判断其他命题真假的依据 ，这样的真命题叫做定理（ theorem） 二 学习过 程：1 按教材的思路讲解，并归纳相关的知识点。2. 和学生一起完成课后习题。三 例题及 习题：教材中的题目。 1 9.2 三角 形全等的 判定一 知识 点：1.全等三角形的判定条件：若两个三角形的三条边、三个角分别对应相等，则这两个三角形全等 .2.边角边：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等简记为 S.A.S.（或边角边 ） 3.角边角：如果两个三角形有两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等简记为 A.S.A.（或角边角 ） 4.角角边：如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等简记为 A.A.S.（或角角边 ） 5.边边边：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等简记为 S S S （或边边边） .6.斜边直角边：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么2这两个直角三角形全等简记为 H L （或斜边直角边 ） 二 学习过 程：1 按教材的思路讲解，并归纳相关的知识点。2. 和学生一起完成课后习题。三 例题及 习题：教材中的题目。全等三角形判定练习（基础题）1.如图 ， ABC DEB， AB= DE， E = ABC，则 C 的对 应角 为 ， B D的对应边为 .2.如图 ， AD= AE， 1= 2 ， BD= CE， 则有 ABD ， 理由是 ， ABE ，理由是 .（第 1 题） （第 2 题） （第 4 题）3.已知 ABC DEF， BC= EF=6cm， ABC的面积 为 18 平方厘 米，则 EF 边上的高是 cm.4.如图 ， AD、 A D 分别是锐角 ABC和 A B C 中 BC 与 B C 边上的高 ， 且 AB= A B ，AD= A D ，若使 ABC A B C ，请你补 充条件 （只需填 写一个你认为适当的条件）5. 若两个图形全等 ， 则其中一个图形可通过平移 、 或 与另一个三角形完全重合 .6. 如图 ， 有两个长度相同的滑梯 （ 即 BC EF） ， 左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向 的长度 DF 相等，则 ABC DFE _度（第 6 题） （第 7 题） （第 8 题） （第 9 题）7 已知 ： 如图 ， 正方形 ABCD的边长为 8 ， M 在 DC 上 ， 且 DM 2 ， N 是 AC 上的一BAEDC EDAB C1 2 DAB C B DA CMNDCBAFEDCB ADCBAED CBA3动点， 则 D N M N 的最小值为 _ 8 如图 ， 在 ABC 中 ， B 90 o ， D 是斜边 AC 的垂直平分线与 BC 的交点 ， 连 结AD ，若 DAC ： DAB 2 ： 5 ，则 DAC _ 9 等腰直角三角形 ABC 中 ， BAC 90 o ， BD 平分 ABC 交 AC 于点 D ， 若 AB AD 8cm ，则底边 BC 上的高为 _ 10 锐角三角形 ABC 中 ， 高 AD 和 BE 交于点 H ， 且 BH AC ， 则 ABC _度11 已知在 ABC 中， AB = AC ， A =5 6 ，则高 BD 与 BC 的夹角为（ ）A 28 B 34 C 68 D 62 12 在 ABC 中， AB =3 ， AC =4 ，延长 BC 至 D ，使 CD = BC ，连接 AD ，则 AD 的长的取值范围为（ ）A 1 A D 7 B 2 A D 14 C 2.5 A D 5.5 D 5 A D 1113 如图，在 ABC 中， C =9 0 ， CA = CB ， AD 平分 CAB 交 BC 于 D ，D E AB 于点 E ，且 AB =6 ，则 DEB 的周长为（ ）A 4 B 6 C 8 D 1014. 对假命题 “ 任何一个角的补角都不小于这个角 ” 举反例，正确的反例是（ ）A. =60 ， 的补角 =120 ， B. =90 ， 的补角 =900 ， = C. =100 ， 的补角 =80 ， B. =90 ， 的补角 =900 ， = C. =100 ， 的补角 =80 ， D. 两个角互为邻补角16. ABC 与 A B C 中，条件 AB = A B ， BC = B C ， AC = A C ， A= A ， B = B ， C = C ，则下列各组条件中不能保证 ABC A B C 的是（ ）A. B. C. D. 17 如图 ， 在 ABC 中 ， AB = AC ， 高 BD ， CE 交于点 O ， AO 交 BC 于点 F ， 则图中共有全等三角形（ ）A 7 对 B 6 对 C 5 对 D 4 对DCBA3018 如图，在 ABC 中， C =9 0 ， AC = BC ， AD 平分 BAC 交 BC 于点 D ， D E A B于点 E ，若 DEB 的周长为 10cm ，则斜边 AB 的长为（ ）A 8 cm B 10 cm C 12 cm D 20 cm19 如 图， ABC 与 BDE 均为 等边 三角形 ， A B BD ，若 ABC 不动 ，将 BD E绕点 B 旋转，则在旋转过程中， AE 与 CD 的大小关系为（ ）A AE = CD B A E CD C A E CD D 无法确定20 已知 P =8 0 ， 过不在 P 上一点 Q 作 QM ， QN 分别垂直于 P 的两边 ， 垂足为 M ， N ，则 Q 的度数等于（ ）A 10 B 80 C 100 D 80 或 100 三、解答题（每小题 5 分，共 30 分）21. 如图，点 E 在 AB 上， AC = AD ，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明 . 所添条件为 ，你 得 到 的 一 对 全 等 三 角 形 是 .22. 如图， EG AF ，请你从下面三个条件中再选两个作为已知条件，另一个为结论， 推出一个 正确的命 题（只 需写出一 种情况 ） ，并 给予证明 . AB = AC ， DE = DF ， BE = CF ，已知： EG AF ， = ， = ，求证： 证明：23. 如图，在 ABC 和 DEF 中， B 、 E 、 C 、 F 在同一直线上，下面有四个条件 ，请你在其中选择 3 个作为题设 ， 余下的 1 个作为结论 ， 写一个真命题 ， 并加以证明 . AB = DE ， AC = DF ， ABC = DEF ， BE = CFECDBA31EABD FC24. 如图 ， 四边形 ABCD 中 ， 点 E 在边 CD 上 . 连结 AE 、 BF ， 给出下列五个关系式 ： AD BC ； DE = CE . 1= 2 . 3= 4 . AD + BC = AB 将其中的三个关系式作为假设，另外两个作为结论，构成一个命题 .(1) 用序号写出一个真命题，书写形式如：如果 ，那么 ，并给出证明；(2) 用序号再写出三个真命题（不要求证明 ） ；（ 3 ）真命题不止以上四个，想一想就能够多写出几个真命题 EDAC 432 1FB25. 已知，如图， D 是 ABC 的边 AB 上一点 , DF 交 AC 于点 E , DE = FE , AB FC . 问线段 AD 、 CF 的长度关系如何？请予以证明 .26. 如图，已知 ABC 是等腰直角三角形， C =90 .（ 1 ） 操作并观察 ， 如图 ， 将三角板的 45 角的顶点与点 C 重合 ， 使这个角落在 ACB 的内部 ， 两边分别与斜边 AB 交于 E 、 F 两点 ， 然后将这个角绕着点 C 在 ACB 的内部旋转，观察在点 E 、 F 的位置发生变化时， AE 、 EF 、 FB 中最长线段是否始终是 EF ？写出观察结果 .（ 2 ） 探索 ： AE 、 EF 、 FB 这三条线段能否组成以 EF 为斜边的直角三角形？如果能，试加以证明 .32四、探究题 （每题 10 分，共 20 分）27.如 图 ， OP 是 MON的平分线 ， 请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角 形 . 请你参考这个作 全等三角形的方法，解答下列问题：（ 1 ）如图 ，在 ABC中， ACB是直角 ， B =60 ， AD、 CE 分别是 BAC、 BCA的平分 线， AD、 CE 相交于 点 F . 请 你判断 并写出 FE 与 FD 之间的 数量关系；（ 2 ）如图 ，在 ABC中，如果 ACB不是直角，而 (1)中的其它条件不变 ， 请问，你在 (1)中所得结论是否仍 然成立？若成立，请证明；若不成 立，请说明理 由 .28.如图 a ， ABC和 CEF是两个大小不等的等边三角形 ， 且有一个公共顶点 C ，连接 AF 和 BE.(1)线段 AF 和 BE 有怎样的大小关系 ? 请证明你的结论；(2)将图 a 中的 CEF绕点 C 旋转一定的角度 ， 得到图 b ， (1)中的结论还成立吗 ?作出判断并说明理由；(3)若将图 a 中的 ABC绕点 C 旋转一定的角度 ， 请你画山一个变换后的图形 ( 草图即可 ) ， (1)中的结论还成立吗 ? 作出判断不必说明理由；(4)根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现） . EACF B EACFB图 a 图 bO PAMNEBCDFA CE FBD图 图 图 33参考答案一、 1. DBE， CA 2. ACE， SAS， ACD， ASA（ 或 SAS） 3. 64.CD= C D （ 或 AC= A C ， 或 C = C 或 CAD= C A D ） 5.平移 ， 翻折 6. 907. 10 8. 20 9. 248 10. 45二、 11. A 12. D 13. B 14.A 15.C 16.C 17.A18.B 19.A 20.D三、 21.可选 择 B DBCDABCABDECE = 、 等条 件中的一 个 . 可得 到 ACE ADE或 ACB ADB等 .22.结合图形，已知条件以及所供选择的 3 个论断，认真分析它们之间的内在联系可选 AB= AC， DE= DF，作为已知条件， BE= CF 作为结论；推理过程为： EG AF， GED= CFD， BGE= BCA， AB= AC， B = BCA， B = BGE BE= EG，在 DEG和 DFC中， GED= CFD， DE= DF， EDG= FDC， DEG DFC， EG= CF，而 EG= BE， BE= CF；若选 AB= AC， BE= CF 为条件，同样可以推得 DE= DF，23.结合图形，认真分析所供选择的 4 个论断之间的内在联系由 BE= CF 还可推得 BC= EF，根据三角形全等的判定方法，可选论断： AB= DE， AC= DF， BE= CF 为条件，根据三边对应相等的两个三角形全等可以得到： ABC DEF，进而推得论断 ABC= DEF，同样可选 AB= DE， ABC= DEF， BE= CF 为条件，根据两边夹角对应相等的两个三角形全等可以得到： ABC DEF，进而推得论断 AC= DF.24. （ 1 ）如果 ，那么 证明：如图，延长 AE 交 BC 的延长线于 F 因为 AD BC 所以 1= F又因为 AED = CEF ， DE= EC 所以 ADE FCE，所以 AD= CF, AE= EF因为 1= F , 1= 2 所以 2= F 所以 AB= BF. 所以 3= 4所以 AD+ BC= CF+ BC= BF= AB（ 2 ） 如果 ， 那么 ； 如果 ， 那么 ； 如果 ， 那么 .(3) 如果 ， 那么 ； 如果 ， 那么 ； 如果 ， 那么 .3425. （ （ （ （ 1 ） 观察结果是 ： 当 45 角的顶点与点 C 重合 ， 并将这个角绕着点 C 在重合 ， 并将这个角绕着点 C 在 ACB 内部旋转时 ， AE 、 EF 、 FB 中最长的线段始终 是EF .（ 2 ） AE 、 EF 、 FB 三条线段能构成以 EF 为斜边的直角三角形，证明如下：在 ECF 的内部作 ECG = ACE ， 使 CG = AC ， 连结 EG ， FG ， ACE GCE ， A = 1 ，同理 B = 2 ， A + B =90 ， 1+ 2=90 ， EGF =90 ， EF 为斜边 .四、 27. （ 1 ） FE 与 FD 之间的数量关系为 FE = FD（ 2 ）答 ： （ 1 ）中的结论 FE=FD 仍然成立图 图 证法一：如图 1 ，在 AC 上截取 AG = AE ，连接 FG 1 = 2 ， AF = AF ， AE = AG AEF AGF AFE = AFG ， FG = FE B=6 0 , 且 AD