上饶市湖城学校2014-2015年八年级下期中数学试卷含答案解析

第 1 页（共 22 页） 2014年江西省上饶市湖城学校八年级（下）期中数学试卷 一、单选题（共 6小题， 18 分） 1利用基本尺规作图，下列条件中，不能作出唯一直角三角形的是（ ） A已知斜边和一锐角 B已知一直角边和一锐角 C已知斜边和一直角边 D已知两个锐角 2下列计算正确的是（ ） A = B + = C =4 D = 3下列说法正确的是（ ） A对角线相等的平行四边形是菱形 B 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C对角线相互垂直的四边形是菱形 D有一个角是直角的平行四边形是菱形 4下列计算正确的是（ ） A 2 3 =6 B + = C 5 2 =3 D = 5如图，三个正方形围成一个直角三角形， 64， 400 分别为所在正方形的面积，则图中字母所代表的正方形面积是（ ） A 400+64 B C 400 64 D 4002 642 6下列说法正确的个数是（ ） 无理数都是无限小数； 4 的平方根是 2； =a； 等腰三角形底边上的中线、高线、角平分线互相重合； 第 2 页（共 22 页） 坐标平面内的点与有序实数对一一对应 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 二、填空题（共 8小题， 24 分） 7如图，数轴上点 A 表示的数据为 8 81 的平方根为 9若 x 1= ，则（ x+1） 2 4（ x+1） +4 的值为 10如图， ， D， E 是 中点若 ， ，则 长等于 11若一个正数的两个不同的平方根为 2m 6 与 m+3，则这个正数为 12若 x=2 ，则 4x+8= 13如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9正方形 A， B， C， D 的面积之和为 14比较大小： 4 三、解答题（共 2小题， 16 分） 15阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3+ =（ 1+ ）2善于思考的小明进行了以下探索： 设 a+b =（ m+n ） 2（其中 a、 b、 m、 n 均为整数），则有 a+b = a=b=2样小明就找到了一种把类似 a+b 的式子化为平方式的方法 第 3 页（共 22 页） 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （ 1）当 a、 b、 m、 n 均为正整数时，若 a+b = ，用含 m、 n 的式子分别表示 a、 b，得： a= ， b= ； （ 2）利用所探索的结论，找一组正整数 a、 b、 m、 n 填空： + =（ + ） 2； （ 3）若 a+4 = ，且 a、 m、 n 均为正整数，求 a 的值？ 16如图，正方形 正方形 一个公共点 A，点 G、 E 分别在线段 （ 1）连接 将正方形 点 A 按顺时针方向旋转，判断命题 “在旋转的过程中，线段 长始终相等 ”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举例说明； （ 2）若将正方形 点 A 按顺时针方向旋转，连接 旋转过程中，你能否找到一条线段的长与线段 长始终相等？并以图为例说明理由 四、计算题（共 4小题， 24 分） 17计算： （ 1） （ ） （ 2） | |+| 2|+ 18计算题：（ +2） 2004（ 2） 2005 19在一次消防演习中，消防员架起一架 25 米长的云梯 图斜靠在一面墙上，梯子底端 B 离墙角 C 的距离为 7 米 （ 1）求这个梯子的顶端距地面 多高？ （ 2）如果消防员接到命令，按要求将梯子底部在水平方向滑动后停在 位置上（云梯长度不变 ），测得 为 8 米，那么云梯的顶部在下滑了多少米？ 第 4 页（共 22 页） 20（ 2 +3 ） 2 五、证明题（共 4小题， 38 分） 21已知：如图，在正方形 ，点 E、 F 分别在 ， F （ 1）求证： F； （ 2）连接 点 O，延长 点 M，使 A，连接 断四边形 什么特殊四边形？并证明你的结论 22已知，如图，正方形 形 E、 F、 G 分别在 ，延长 （ 1）求证： E； （ 2）若菱形 周长为 20， ，求 面积 23如图，在 ， C=90， O 是斜边 的中点， E， （ 1）求证： （ 2）求证：四边形 矩形 第 5 页（共 22 页） 24 两块全等的含 30、 60角的三角板，按如图（一）所示拼在一起， E 重合 （ 1）求证：四边形 平行四边形； （ 2）取 点 O，将 点 O 顺时钟方向旋转到如图（二）中 ABC位置，直线 BC与别相交于 P、 Q 两点，猜想 度的大小关系，并证明你的猜想； （ 3）在（ 2）的条件下，指出当旋转角至少为多少度时，四边形 菱形？（不要求 证明） 第 6 页（共 22 页） 2014年江西省上饶市湖城学校八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、单选题（共 6小题， 18 分） 1利用基本尺规作图，下列条件中，不能作出唯一直角三角形的是（ ） A已知斜边和一锐角 B已知一直角边和一锐角 C已知斜边和一直角边 D已知两个锐角 【考点】 直角三角形全等的判定；全等三角形的判定 【分析】 看是否符合所学的全等的公理或定理即可 【解答】 解： A、符合全等三角形的判定 作出唯一直 角三角形； B、符合全等三角形的判定 作出唯一直角三角形； C、符合全等三角形的判定 作出唯一直角三角形； D、因为已知两个锐角，而边长不确定，故这样的三角形可作很多，而不是唯一的 故选 D 【点评】 此题主要考查由已知条件作三角形，可以依据全等三角形的判定来做 2下列计算正确的是（ ） A = B + = C =4 D = 【考点】 二次根式的混合运算 【分析】 分别利用二次根 式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则化简分析得出即可 【解答】 解： A、 = ，正确； B、 + 无法计算，故此选项错误； C、 =2 ，故此选项错误； D、 =2 ，故此选项错误； 故选： A 【点评】 此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的运算法则是解题关键 第 7 页（共 22 页） 3下列说法正确的是（ ） A对角线相等的平行四边形是菱形 B有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C对角线相互垂直的四边形是菱形 D有一个角是直角的平行四边形是菱形 【考点】 菱形 的判定 【分析】 利用菱形的判定定理对各个选项逐一判断后即可确定正确的选项 【解答】 解： A、对角线相等的平行四边形是矩形，故 A 选项错误； B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故 B 选项正确； C、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故 C 选项错误； D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故 D 选项错误， 故选： B 【点评】 本题考查了菱形的判定，牢记菱形的判定定理是解答本题的关键，难度不大 4下列计算正确的是（ ） A 2 3 =6 B + = C 5 2 =3 D = 【考点】 二次根式的加减法；二次根式的乘除法 【专题】 计算题 【分析】 根据二次根式的乘除，可判断 A、 D，根据二次根式的加减，可判断 B、 C 【解答】 解： A、 2 =2 =18，故 A 错误； B、被开方数不能相加，故 B 错误； C、被开方数不能相减，故 C 错误； D、 = = ，故 D 正确； 故选： D 【点评】 本题考查了二次根式的加减，注意被开方数不能相加减 5如图，三个正方形围成一个直角三角形， 64， 400 分别为所在正方形的面积，则图中字母所代表的正方形面积是（ ） 第 8 页（共 22 页） A 400+64 B C 400 64 D 4002 642 【考点】 勾股定理 【分析】 观察可看出 M 所处的正方形的面积等于直角三角形的长直角边的平方，已知斜边和另一较短的直角的平方，则不难求得字母所代表的正方形面积 【解答】 解：根据勾股定理和正方形的面积公式，得 M=400 64 故选 C 【点评】 此题中运用勾股定理结合正方形的面积公式可以证明：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的面积 6下列说法正确的个数是（ ） 无理数都是无限小数； 4 的平方根是 2； =a； 等腰三角形底边上的中线、高线、角平分线互相重合； 坐标平面内的点与有序实数对一一对应 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】 等腰三角形的性质；平方根；算术平方根；无理数；点的坐标 【分析】 根据无理数的定义进行判断； 根据平方根的定义进行判断； 根据等腰三角形的性质进行判断； 根据坐标平面内的点与有序实数对一一对应作出判断 【解答】 解： 无理数都是无限不循环小数，原来的说法是错误的； 4 的平方根是 2，原来的说法是错误的； =|a|，原来的说法是错误的； 等腰三角形底边上的中线、高线、角平分线互相重合是正确的； 第 9 页（共 22 页） 坐标平面内的点与有序实数对一一对应是正确的 故选： B 【点评】 考查了等腰三角形的性质、无理数的定义、平方根的定义，以及点的坐标 二、填空题（共 8小题， 24 分） 7如图，数轴上点 A 表示的数据为 【考点】 实数与数轴；勾股定理 【分析】 根据数轴得出矩形的长 和宽，利用勾股定理求出其对角线 【解答】 解： = ， 故数轴上点 A 表示的数据为 【点评】 本题主要考查了数轴与勾股定理的应用 8 81 的平方根为 9 【考点】 平方根 【分析】 根据平方根的定义即可得出答案 【解答】 解： 8l 的平方根为 9 故答案为： 9 【点评】 此题考查了平方根的知识，属于基础题，掌握定义是关键 9若 x 1= ，则（ x+1） 2 4（ x+1） +4 的值为 5 【考点】 因式分解 【分析】 直接利用完全平方公式分解因式，进而求出答案 【解答】 解：（ x+1） 2 4（ x+1） +4 =（ x+1 2） 2 =（ x 1） 2， 将 x 1= 代入得： 原式 =（ ） 2=5 第 10 页（共 22 页） 故答案为： 5 【点评】 此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用完全平方公 式是解题关键 10如图， ， D， E 是 中点若 ， ，则 长等于 8 【考点】 勾股定理；直角三角形斜边上的中线 【专题】 计算题 【分析】 由 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ”求得 0；然后在直角 ，利用勾股定理来求线段 长度即可 【解答】 解：如图， ， D， E 是 中点， ， ， 0 在直角 ， 0， ， 0，则根据勾股定理，得 = =8 故答案是： 8 【点评】 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得 长度是解题的难点 11若一个正数的两个不同的平方根为 2m 6 与 m+3，则这个正数为 16 【考点】 平方根 【分析】 根据题意得出方程，求出方程的 解即可 【解答】 解： 一个正数的两个不同的平方根为 2m 6 与 m+3， 2m 6+m+3=0， m=1， 2m 6= 4， 这个正数为：（ 4） 2=16， 第 11 页（共 22 页） 故答案为： 16 【点评】 本题考查了平方根的应用，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数 12若 x=2 ，则 4x+8= 14 【考点】 完全平方公式 【专题】 计算题 【分析】 先把 4x+8 凑成完全平方式的形式（ x 2） 2+4，然后把 x 的值代入求解 【解答】 解： 4x+8， =4x+4+4， =（ x 2） 2+4， 当 x=2 时， 原式 =（ 2 2） 2+4=10+4=14 【点评】 本题考查了完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一个完全平方式解该题的关键是把式子凑成完全平方式的形式，然后再代入 x 的值，运算更加简便 13如图，所有的四边形都是正方形，所有的 三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9正方形 A， B， C， D 的面积之和为 81 【考点】 勾股定理 【分析】 根据勾股定理有 S 正方形 2+S 正方形 3=S 正方形 1， S 正方形 C+S 正方形 D=S 正方形 3， S 正方形 A+S 正方形 B=S 正方形 2，等量代换即可求四个小正方形的面积之和 【解答】 解：如右图所示， 根据勾股定理可知， S 正方形 2+S 正方形 3=S 正方形 1， S 正方形 C+S 正方形 D=S 正方形 3， S 正方形 A+S 正方形 B=S 正方形 2， S 正方形 C+S 正方形 D+S 正方形 A+S 正方形 B=S 正方形 2+S 正方形 3=S 正方形 1=92=81 第 12 页（共 22 页） 故答案是 81 【点评】 本题考查了勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方 14比较大小： 4 【考点】 实数大小比较 【分析】 根据负数比较大小的法则进行比较即可 【解答】 解： 17 16， =4， 4 故答案为： 【点评】 本题考查的是实数的大小比较，熟知两个数相比较，绝对值大的反而小是解答此题的关键 三、解答题（共 2小题， 16 分） 15阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3+ =（ 1+ ）2善于思考的小明进行了以 下探索： 设 a+b =（ m+n ） 2（其中 a、 b、 m、 n 均为整数），则有 a+b = a=b=2样小明就找到了一种把类似 a+b 的式子化为平方式的方法 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （ 1）当 a、 b、 m、 n 均为正整数时，若 a+b = ，用含 m、 n 的式子分别表示 a、 b，得： a= b= 2 （ 2）利用所探索的结论，找一组正整数 a、 b、 m、 n 填空： 4 + 2 =（ 1 + 1 ） 2； （ 3）若 a+4 = ，且 a、 m、 n 均为正整数，求 a 的值？ 【考点】 二次根式的混合运算 【分析】 （ 1）根据完全平方公式运算法则，即可得出 a、 b 的表达式； 第 13 页（共 22 页） （ 2）首先确定好 m、 n 的正整数值，然后根据（ 1）的结论即可求出 a、 b 的值； （ 3）根据题意， 4=2先确定 m、 n 的值，通过分析 m=2， n=1 或者 m=1， n=2，然后即可确定好 a 的值 【解答】 解：（ 1） a+b = ， a+b = a=b=2 故答案为： 2 （ 2）设 m=1， n=1， a=， b=2 故答案为 4、 2、 1、 1 （ 3）由题意，得： a=b=2 4=2 m、 n 为正整数， m=2， n=1 或者 m=1， n=2， a=22+312=7，或 a=12+322=13 【点评】 本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则 16如图，正方形 正方形 一个公共点 A，点 G、 E 分别在线段 （ 1）连接 将正方形 点 A 按顺时针方向旋转，判断命题 “在旋转的过程中，线段 长始终相等 ”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举例说明； （ 2）若将正方形 点 A 按顺时针方向旋转，连接 旋转过程中，你能否找到一条线段的长与线段 长始终相等？并以图为例说明理由 第 14 页（共 22 页） 【考点】 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质 【专题】 几何图形问题；综合题 【分析】 （ 1）显然，当 A， F， B 在同一直线上时， F （ 2）注意使用两个正方形的边和 90的角，可判断出 么 E 【解答】 解：（ 1）不正确 若在正方形 点 A 顺时针旋转 45，这时点 F 落在线段 延长线上（或将正方形 点 A 顺时针旋转，使得点 F 落在线段 延长线上）如图： 设 AD=a， AG=b， 则 a， |a b| a， 此时 F； （ 2）连接 得 则 E如图， 四边形 正方形， B， 四边形 正方形， E， 又 0， 0， E 第 15 页（共 22 页） 【点评】 注意点在特殊位置时所得到的关系，判断边相等，通常要找全等三角形 四、计算题（共 4小题， 24 分） 17计算： （ 1） （ ） （ 2） | |+| 2|+ 【考点】 二次根式的混合运算 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）根据二次根式的乘除法则运算； （ 2）先利用二次根式的性质化简，再去绝对值，然后合并即可 【解答】 解：（ 1）原式 = =1 6 = 5； （ 2）原式 = +2 +2 =4 【点评】 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式 18计算题：（ +2） 2004（ 2） 2005 【考点】 二次根式的混合运算 【分析】 首先把（ 2） 2005 写成（ 2） 2004（ 2）的形式，然后把原式转化为 （ +2）（ 2） 2004（ 2），进而求出结果 第 16 页（共 22 页） 【解答】 解：（ +2） 2004（ 2） 2005 =（ +2） 2004（ 2） 2004（ 2） =（ +2）（ 2） 2004（ 2） =（ ） 2 42004（ 2） =（ 3 4） 2004（ 2） =（ 1） 2004（ 2） = 2 【点评】 本题主要考查了二次根 式的混合运算的知识，解答本题的关键是先把（ 2） 2005 写成（ 2） 2004（ 2）的形式，此题难度不大 19在一次消防演习中，消防员架起一架 25 米长的云梯 图斜靠在一面墙上，梯子底端 B 离墙角 C 的距离为 7 米 （ 1）求这个梯子的顶端距地面 多高？ （ 2）如果消防员接到命令，按要求将梯子底部在水平方向滑动后停在 位置上（云 梯长度不变），测得 为 8 米，那么云梯的顶部在下滑了多少米？ 【考点】 勾股定理的应用 【分析】 （ 1）直接利用勾股定理求得直角边 长即可； （ 2）首先求得 长，然后利用勾股定理求得线段 长，最后求得线段 长即可 【解答】 解：（ 1）由图可以看出梯子墙地可围成一个直角三角形， 即梯子为斜边，梯子底部到墙的距离线段为一个直角边，梯子顶端到地的距离线段为另一个直角边， 所以梯子顶端到地的距离为 252 72=242，所以梯子顶端到地为 24 米 （ 2）当梯子顶端下降 4 米后，梯子底部到墙的距离变为 252（ 24 4） 2=152， 15 7=8 所以，梯子底部水平滑动 8 米即可 【点评】 此题为利用勾股定理解直角三角形问题，会利用勾股定理即可，难度适中 第 17 页（共 22 页） 20（ 2 +3 ） 2 【考点】 二次根式的混合运算 【分析】 直接利用完全平方公式以及利用二次根式的性质求出即可 【解答】 解：原式 =（ 2 ） 2+22 3 +（ 3 ） 2 =12+12 +18 =30+12 【点评】 此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练应用完全平方公式是解题关键 五、证明题（共 4小题， 38 分） 21已知：如图，在正方形 ，点 E、 F 分 别在 ， F （ 1）求证： F； （ 2）连接 点 O，延长 点 M，使 A，连接 断四边形 什么特殊四边形？并证明你的结论 【考点】 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；正方形的性质 【专题】 几何综合题 【分析】 （ 1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证 （ 2）由于四边形 正方形，易得 5， D；联立（ 1）的结论，可证得F，根据等腰三角形三线合一的性质可证得 直平分 知 M，则 M 互相平分，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定四边形 菱形 【解答】 （ 1）证明： 四边形 正方形， D， B= D=90， 在 ， ， 第 18 页（共 22 页） F； （ 2）解：四边形 菱形，理由为： 证明： 四边形 正方形， 5（正方形的对角线平分一组对角）， C（正方形四条边相等）， F（已证）， C 式的性质）， 即 F， 在 ， ， F，又 A， 四边形 平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， F， 平行四边形 菱形 【点评】 本题主要考查对正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键 22已知，如图，正方形 形 E、 F、 G 分别在 ，延长 （ 1）求证： E； （ 2）若菱形 周长为 20， ，求 面积 第 19 页（共 22 页） 【考点】 菱形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质 【专题】 计算题；证明题 【分析 】 （ 1）根据图形性质可证明 而即得 E （ 2） 面积 = H，而由（ 1）知 F，再根据题中已知条件 及边长可求得边 长，从而得到 长，即可求得面积 【解答】 （ 1）证明：由菱形性质知