【毕业学位论文】基于改进位移模式的有限元超收敛算法研究-计算力学博士论文

学校代号 10532 学 号 分 类 号 密 级 博士学位论文 基于改进位移模式的有限元超 收敛算法研究 学位申请人姓名 唐义军 培 养 单 位 湖南大学土木工程学院 导师姓名及职称 罗建辉 教授 学 科 专 业 结构工程 研 究 方 向 计算力学 论文提交日期 2013 年 3 月 16 日 学校代号： 10532 学 号： 级： 湖南大学博士学位论文 基于改进位移模式的有限元超 收敛算法研究 学位申请人姓名： 唐义军 导师姓名及职称： 罗建辉 教授 培 养 单 位： 土木工程学院 专 业 名 称： 结构工程 论文提交日期： 2013 年 3 月 论文答辩日期： 2013 年 11 月 29 日 答辩委员会主席： 刘光栋教授 on EM on (006 A in of in 2013基于改进位移模式的有限元超收敛算法研究 要 超收敛计算的研究是近年来有限元领域研究中的热点与难点之一。通过对基于改进位移模式的积分形式与基于常规位移模式伽辽金方程的比较，导出了伽辽金方程精确成立的条件。在以此条件作为位移模式分析的理论依据前提下，本文提出了改进位移模式，即将高阶有限元解的位移模式用常规有限元解的位移模式表示，用两种位移模式之和构造新的位移模式，结合多尺度方法的思想和超收敛计算的解析公式，提出了一种全新的前处理超收敛的计算方法。该方法无需任何人为的磨光，对一维有限元法的线性单元，本文结点和单元的位移、导数都达到了4h 阶的超收敛精度。应力跨单元自动平衡，可精确满足自然边界条件，且实施简便，计算量增加很小。 有限元线法是一个不断发展的课题，国内外对有限元线法超收敛的计算研究得较少。本文利用有限元线法的半解析性，将一维有限元中获得全面成功的改进位移模式的超收敛算法推广至二维有限元线法，取得了良好的效果。 全文主要工作如下： 1、通过基于改进位移模式与基于常规位移模式伽辽金方程的比较，导出了伽辽金方程精确成立的条件。论证了位移模式与泡函数的相关性。提出了一次元与泡函数结合的单元方案。利用精确成立的条件，通过量级分析，保留泡函数主要的影响项，避免了求解泡函数的解析表达式。为位移模式的分析提供了理论依据。 2、以一维 出有限元法的基于改进位移模式的前处理超收敛算法。在原有试函数的基础上，增加了高阶试函数，使得单元内平衡方程的残差减少，从而达到提高精度的目标。对于近似单元，根据单元内部平衡条件，导出单元上任一点的位移和导数的超收敛解的计算公式。基于伽辽金方法，采用积分形式推导了单元刚度矩阵。 3、 将基于改进位移模式的前处理超收敛算法成功推广到一维有限元法其它问题，包括 (1)一维 (2) 二阶非自伴两点边值问题 即将基于改进位移模式的前处理超收敛算法推广到了非自伴算子问题而不仅仅是自伴算子的问题。 （ 3）一维 部分工作为该法广泛应用于一般一维问题的有限元法的超收敛计算打下了良好的基础。 4、 将基于改进位移模式的前处理超收敛算法成功推广应用到二维有限元线法的 于线性形函数，采用变分形式推导了有限元线法求解的修正的常微分方程组。算例结果表明：结点和单元内的位移、导数的收敛精度得到了极大的提高。 博士学位论文 于本文得出的应力和位移是逐点超收敛的，因而有望在此基础上发展出不同于目前常规的误差估计和自适应求解方法。 关键词：超收敛；位移模式；伽辽金方程；高阶有限元解；常规有限元解； 有限元线法；二维问题； 程 基于改进位移模式的有限元超收敛算法研究 on in a in on of is on of is of is a is of of of of of a of is of h4 so in at or is of is a t of is of is to of is as 1. on of is of is of is of by of of of is of of is 2. 0as a a 士学位论文 V of on is of of is at of to of a of at on an is 3. A of on is to in EM,as 1be of be by 4. A of on is in on is of of be in of of 于改进位移模式的有限元超收敛算法研究 录 学位论文原创性声明与学位论文版权使用授权书 . I摘要 . .图索引 .表索引 . X第 1 章 绪论 .限元法和有限元线法简介 . 有限元法 . 有限元线法 .限单元法超收敛计算的研究现状 . 解析试函数有限元法 . 理性有限元方法 . 变分多尺度方法 . 复合单元法 . 11元能量投影法（） . 影响函数法 .文研究的目的和内容 . 研究目的 . 研究内容 . 2 章 基于改进位移模式的一维 .言 .限元的位移模式 .辽金方程精确成立的条件 .移模式分析 . 位移模式与泡函数的相关性 . 二次元模式 .函数的量级分析 .解公式 . 一般特解公式 . 特解公式的特例 .于新试函数的单元分析 .士学位论文 单元分析 . 线性单元分析 . 位移和导数的后处理 .体分析和算例 . 总体分析 . 算例 .章小结 . 3 章 基于改进位移模式的一维 .言 .本方程及解的定义 . 基本方程 . 高阶解公式 .于新位移试函数的单元分析 . 单元分析 . 元分析 .例 .章小结 . 4 章 改进位移模式的二阶非自伴两点边值问题 限元超收敛算法 言 .本方程及解的定义 . 基本方程 . 高阶解公式 . 常规 限元的求解 .收敛的 限元的求解 .例 .章小结 . 5 章 一维 n 阶有限元超收敛高阶解分析 .言 .2 n 阶有限元高阶解公式 . 问题描述 . 一个重要的恒等式 . 特解公式 .例 . 变截面杆件轴向弹性变形问题 . 变截面弹性地基梁的弯曲问题 .于改进位移模式的有限元超收敛算法研究 不可压粘流的一维定常对流扩散方程 .章小结 . 6 章 改进位移模式的二维有限元线法超收敛算法 .言 .题描述 . 模型问题 . .阶解公式 .进位移模式的二维有限元线法超收敛的求解 .例 . 104章小结 . 106结论与展望 . 108参考文献 . 111致谢 . 121附录 A （攻读学位期间已接收和发表的学术论文） . 122博士学位论文 图索引 图 限元法的二次元及其参数元 . 限元线法二次单元模型 . 析试函数法模型 102. 截面杆件轴向弹性变形问题 . 截面杆件轴向弹性变形问题 . 结点单元 . 结点二次单元 . 次单元形函数的函数图像 . 次元形函数的函数图像 . 次元形函数的函数图像 . 次单元形函数的极限状态 . 阶问题的物理模型 . 结点梁单元 .于改进位移模式的有限元超收敛算法研究 X 附表索引 表 性单元的结点位移 . 性单元 x=0 处的结点导数 . 性单元 x=的结点导数 . 元的结点（ x=1）位移 . 元的结点（ x=1/2）位移 . 元的结点（ x=1/2）位移 . 元的结点（ x=0）弯矩和剪力 . 元的结点（ x=1/2）弯矩 . 元的结点（ x=1/2）剪力 . 性单元的结点位移 （ x=1） . 性单元的结点位移 （ x . 性单元处的结点导数 (x=0). 性单元处的结点导数 (x=. 性单元 x 方向的位移 . 105表 性单元 y 方向的位移 . 105表 性单元 x 方向的位移导数 . 105表 性单元 x 方向的位移导数 . 105表 性单元 y 方向的位移导数 . 105博士学位论文 - 1 - 第 1 章 绪 论 在工程和科技领域内，对于许多力学问题和物理问题，人们可以给出它们的数学模型，即应遵循的基本方程（常微分方程和偏微分方程）和相应的定解条件。但能用解析方法求出精确解的只有少数方程性质比较简单，且几何形状相当规则的情况。对于大多数问题，由于方程的非线性性质，或由于求解域的几何形状比较复杂，则只能采用数值方法求解1。其中，有限元法（ 称 是这样一种完全离散的近似解法。而有限元线法（ 称 是一种半解析半离散的方法。有限元法求得一组离散结点上的位移（或类似物理量）值，有限元线法求解出一组结线上的位移值。常规的位移法有限元法在求得单元的结点位移后，单元内部的位移通过位移函数直接得到，单元内部的内力通过对位移函数求导得到。即使采用精确的形函数2，位移法有限元也不能保证单元内的位移、应力是精确解。对于近似的形函数，单元内的位移、单元应力精度比结点位移精度呈数量级的下降3这一现象引发了超收敛计算的研究。 有限元线法在结线方向具有解析性，在端边方向的位移则采用形函数插值得到，导数通过对形函数求导得到。因而造成了有限元线法的精度在解析方向高，在离散方向低的结果。也同样存在单元内的位移、单元应力精度比结点位移精度呈数量级的下降的情况。 限元法和有限元线法简介 限元法 有限单元法（或称有限元法）是在当今工程分 析中获得最广泛应用的数值计算方法6由于它的通用性和有效性，受到工程技术界的高度重视。 分片插值、 里兹法和现代计算技术的结合产生了有限元法， 于 1960 年， 8。有限元法对结构形状、荷载形式及边界条件的适应性极强，几乎可用于任意结构形式，在任意荷载作用下的结构分析问题。 有限单元法把求解域离散为有限个单元，通过 单元内假设的变量场函数在单元结点处互相拼接，构成对整体求解域上场函数的数值模拟。再利用变分原理或加权余量法，求得该离散网格上某种意义下的最优逼近，即有限元解。其具体步骤是39：如图 示，设每个单元的位移模式为（也称为位移插值函数，以二次单元为例） ： 基于改进位移模式的有限元超收敛算法研究 - 2 - () ()81,=(式中， () 为事先选定的单元插 值函数（形函数） ，结点函数值；然后通过单元分析、总体集成，最后将问题转化为代数方程组 = (式中， K 为整体刚度矩阵， F 为结点荷载向量。 a) 整体空间 b) 局部空间 图 限元法的二次元及其参数元 在求解得出结点位移 d 之后，常规的有限单元法进一步通过对形函数求导得出 过形函数的插值来得到单元内部点位移 u 8,1，8,1，81(式中， () ()/= ， () ()/= 。 从上述求解过程可以看出，位移法有限元存在 的第一个问题是不能保证在单元内处处满足平衡方程，导致了单元的结点位移本身精度的下降。另外，位移法有限元存在的第二个问题是位移法有限元的处理过程有明显的缺陷40。单元的内力是通过对位移函数求导得到的。即使采用精确的形函数，常规的位移法有限元也不能保证单元内的位移、应力是精确解。对于近似的形函数，单元内的位移、单元应力精度比结点位移精度呈数量级的下降。这些缺点限制了有限元法的有效应用。 限元线法 有限元线法（ 称 简称线法）是袁驷教授于 1990 年提出的一种新的结构分析半解析半离散方法4149。有限元线法是一种新型的以常微分方程（ 称 解器为支撑软件的半解析半离散方法。在该法中，首先利用有限元技术将控制微分方程半离散化为用结线函数表示的常微分方程组（ ，然后选用高质量的解程序直接求解，得到满足用户预先指定的误差限的 答，作为原x y 4 7 3 1 5 2 8 6 4 7 3 1 5 2 86 博士学位论文 - 3