第八节导数的概念与运算

第八节导数的概念与运算【热点聚焦】导数是高中数学的一个重要内容，导数的本身已经成为解决数学问题的重要工具，不论是研究函数的性质，还是解决不等式的证明问题和方程根的判断问题，还是解决曲线的切线问题，导数都发挥着非常重要的作用，所以在最近几年的高考试题中，对导数的考查逐步加强，从题量和题目的难度上都有了很大的提高，在全国各地的高考试卷中都有关于导数的试题。对导数的考查形式是多种多样，难易均有，可以在选择题与填空题中出现，主要考查导数的运算、导数的几何意义，导数的应用(主要研究函数的单调性、极值与最值等)；也可以在解答题中出现，有时候作为压轴题，这时主要考查导数的综合应用，往往与函数、方程、数列、解析几何等联系在一起。【基础知识】1.用定义求函数的导数的步骤.（1）求函数的改变量y；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数（x0）=.2.导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f（x）在某一点（x0，y0）处的导数是过点（x0，y0）的切线斜率.物理意义：若物体运动方程是s=s（t），在点P（i0，s（t0）处导数的意义是t=t0处的瞬时速度.3常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：(C为常数)；, nN+；; ; ; ; . 法则1 (和与差的导数等于导数的和与差)法则2 .(前导后不导，后导前不导，中间是加号)法则3 (分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是减号)4在对导数的概念进行理解时，特别要注意与是不一样的，代表函数在处的导数值，不一定为0 ；而是函数值的导数，而函数值是一个常量，其导数一定为0，即=0。【课前训练】 1（2006年四川卷）曲线在点处的切线方程是（）（A） （B） （C） （D）2曲线y=x3的切线中斜率等于1的直线 A不存在 B存在，有且仅有一条 C存在，有且恰有两条 D存在，但条数不确定3曲线y=x3+x2在点P0处的切线平行于直线y=4x1,则P0的坐标是（）A.(1,0) B.(1,0) 或(1,4) C.(1,0)或(1,4) D.(1,4)4某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），则它在t2s时的速度为 5两曲线y=x2+1与y=3x2在交点处的两切线的夹角的正切值是 .【试题精析】【例1】曲线y=x2+4x上有两点A（4，0）、B（2，4）.求：（1）割线AB的斜率kAB及AB所在直线的方程；（2）在曲线AB上是否存在点C，使过C点的切线与AB所在直线平行?若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由.【例2】已知函数在处的导数值与函数值互为相反数，求的值。剖析可先求出函数的导函数，然后根据条件建立关于的方程进行求解. 评注 导数的运算是导数应用的前提，因步应熟练掌握导数的运算法则以及常见函数的求导公式，近几年的高考试题中，对于等函数导数的考查较为频繁，因此应掌握与这两个函数有关的导数运算.【例3】已知曲线.(1) 求曲线在点处的切线方程；(2)求曲线过点的切线方程。剖析“该曲线过点的切线”与“该曲线在点处的切线方程”是有区别的：过点的切线中，点不一定是切点；在点处的切线中，点是切点。评注(1)求函数图象上点处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率，由导数的几何意义知，故当存在时，切线方程为求曲线的切线要注意“过点的切线”与“点处的切线”的差异.过点的切线中，点不一定是切点，点也不一定在已知曲线上；点处的切线，点是切点。(2)要准确理解曲线切线的概念，如直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，一方面，直线与曲线只有一个公共点 直线是曲线的切线，例如：抛物线的对称轴与其抛物线有且仅有一个交点，但对称轴不是抛物线的切线；另一方面，直线是曲线的切线 直线与曲线有且仅有一个公共点，例如本题中曲线与其切线有两个公共点，又如曲线与其切线有无数个公共点!曲线未必在其切线的“同侧”，例如直线虽然“穿过”曲线，但它却是曲线在点(0,0)处的切线。(3)要深入体会切线定义中的运动变化思想：两个不同的公共点两公共点无限接近两公共点重合(切点)；割线切线。【例4】在曲线y=x3x上有两个点O(0，0)、A(2，6)，求弧OA上点P的坐标，使AOP的面积最大.剖析本题主要考查数形结合的数学思想及导数的几何意义.由于|OA|是定值,所以若将点P的位置转化到与曲线y=x3x相切且与OA平行的位置，此时点P到|OA|的距离最大;也可设点，构造目标函数求最值.评注利用导数求曲线的切线方程，几乎是新课程高考每年必考的内容，既有可能出现在选择、填空题中，也有可能出现在解答题中. 在这类问题中，导数所担负的任务是求出其切线的斜率，这类问题的核心部分是考查函数的思想方法与解析几何的基本思想。【例5】若直线y=3x+1是曲线y=x3a的一条切线，求实数a的值.【例6】已知抛物线或，如果直线同时是和的切线，则称是和的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。(1)取什么值时和有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(2)若和有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。剖析分别求曲线和的切线方程，由于和有且仅有一条公切线，从而列出方程组，求解的取值，进行得到公切线方程；而对于证明相应的两条公切线段互相平分的问题，只需要证明这两条切线的中点是同一点即可.评注可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数在处的导数表示曲线在点处切线的斜率，因此，曲线在点处的切线方程，可按如下方式求得：第一，求出函数在处的导数，即曲线在点处切线的斜率；第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程；如果曲线在点的切线平行于轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为.【针对练习】1y=ln, 则y 等于（）. B.-x C. D. 2已知f(x)=sinx，则f(1)=( )A .+cos1 B. sin1+cos1 C. sin1-cos1 D.sin1+cos13（2006年安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为A BC D4曲线y=x3+3x2+6x10的切线中，斜率最小的切线方程是（）A.3x+y10=0B.3xy11=0C.x=1D.不存在5（2006年全国II）过点（1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为 （A） （B） （C） （D）6（2006年福建卷）已知直线与抛物线相切，则7（2006年湖南卷）曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 .8（2006年湖北卷）半径为r的圆的面积S(r)r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，)上的变量，则(r2)2r （1）（1）式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，)上的变量，请你写出类似于（1）的式子： （2）（2）式可以用语言叙述为： 。9（2004年高考重庆卷）已知曲线，求过点P（2，4）的切线方程.10曲线y=x2+1上过点P的切线与曲线y=2x21相切，求点P的坐标.第八节参考答案【课前训练】1答案：D解析：曲线，导数，在点处的切线的斜率为，所以切线方程是，选D.2答案：C3答案：B4答案：20m/s5答案：【试题精析】【例1】解：（1）kAB=2，y=2（x4）所求割线AB所在直线方程为2x+y8=0.（2）=2x+4，2x+4=2，得x=3，y=32+34=3.C点坐标为（3，3），所求切线方程为2x+y9=0.【例2】解：由于 ，所以，又，依题意得，即，得。【例3】解：(1)所求切线的斜率为，故所求的曲线的切线方程为即(2)设曲线与过点的切线相切于点，则切线的斜率为，切线方程为，因为点在切线上，所以，解得或，故所求的切线的方程为：或【例4】解：解法一因为kOA=3，所以过弧OA上点P的直线的斜率k=kOA=3.所以k=y=3x21=3.所以3x2=4.所以x=或x= (舍去).所以x=,y=，即P(，).解法二设P(a,a3a),O(0,0)、A(2,6),直线OA的方程为3xy=0.点P到它的距离为d=|a34a|,0a2,4aa3.d= (4aa3).(d)= (43a2),令43a2=0,得a=或a=.0a2,x=a=时取最大值，此时y=()3=.P(，).【例5】解：设切点为P（x0，y0），对y=x3a求导数是=3x2，3x02=3.x0=1.（1）当x=1时，P（x0，y0）在y=3x+1上，y=31+1=4，即P（1，4）.又P（1，4）也在y=x3a上，4=13a.a=3.（2）当x=1时，P（x0，y0）在y=3x+1上，y=3（1）+1=2，即P（1，2）.又P（1，2）也在y=x3a上，2=（1）3a.a=1.综上可知，实数a的值为3或1.【例6】解：(1)函数的导数是，曲线在点处的切线方程为：，即 函数的导数是，曲线在点处的切线方程为：，即 如果直线是过点和的公切线，则都是直线的方程，从而有消去得方程，由，得.此时，即点和重合.故当时，和有且仅有一条公切线，此公切线方程为.(2)由(1)知，当时，和有两条公切线.设其中的一条公切线在和上的切点分别为，则即公切线段的中点是同理可证，另一条公切线段的中点也是，所以公切线段和相互平分。【针对练习】1答案：D2答案：B3解：与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A4分析:本题考查导数的几何意义及常见函数的导数.答案:B解析:y=3x2+6x+6=3(x+1)2+3.当x=1时,ymin=3,y=1+3610=14.斜率为3，经过点(1，14)的直线方程是y+14=3(x+1),即3xy11=0.5解：，设切点坐标为，则切线的斜率为2，且于是切线方程为，因为点（1，0）在切线上，可解得0或4，代入可验正D正确。选D6解析：直线与抛物线相切，将y=x1代入抛物线方程得， ，a=7解析：曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=x+2和y=2x1，它们与轴所围成的三角形的面积是.8解：V球，又 故（2）式可填，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。”9解: P（2，4）在曲线上,当切点为P（2，4）时, ,过点P（2，4）的切线方程为;当切点不是P（2，4）时,设切点为,则,又(), ,即,又,即,又切点为,过点P（