四川省眉山市2015-2016年高二上期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2015年四川省眉山市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1对命题 “ R， 2 0”的否定正确的是（ ） A R， 2 0 B x R， 2x+4 0 C x R， 2x+4 0 D x R， 2x+4 0 2圆 x+2） 2+（ y 2） 2=1 与圆 x 2） 2+（ y 5） 2=16 的位置关系是（ ） A外离 B相交 C内切 D外切 3已知 x 与 y 之间的一组数据：则 y 与 x 的线性回归方程 = x+ 必过点（ ） x 0 1 2 3 4 y 1 3 5 7 9 A（ 1， 2） B（ 5， 2） C（ 2， 5） D（ 5） 4从一批产品中取出三件产品，设 A=三件产品全不是次品 ， B=三件产品全是次品 ，C=三件产品至少有一件是次品 ，则下列结论正确的是（ ） A A 与 C 互斥 B A 与 B 互为对立 事件 C B 与 C 互斥 D任何两个均互斥 5若实数 x， y 满足不等式组 ，则 3x+4y 的最小值是（ ） A 13 B 15 C 20 D 28 6如图是正方体或四面体， P， Q， R， S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是（ ） A B C D 7已知直线 x+（ a 2） y 2=0， a 2） x+1=0，则 “a= 1”是 “（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8已知 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A若 m， n， m ， n ，则 B若 m， m ， =n，则 m n C若 ， m ，则 m D若 m n， n ， ，则 m 9执行如图所示的程序框图，若输出 的 p 是 720，则输入的 N 的值是（ ） 第 2 页（共 18 页） A 5 B 6 C 7 D 8 10在空间四边形 ， G 是 重心，若 = ， = ， = ，则 =（ ） A + + B + + C + + D 3 +3 +3 11由不等式组 确定的平面区域记为 1，不等式组 确定的平面区域记为 2，在 1 中随机取一点，则该点恰好在 2 内的概率为（ ） A B C D 12设有一组圆 x k+1） 2+（ y 3k） 2=2k N*）下列四个命题： 存在一条定直线与所有的圆均相切； 存在一条定直线与所有的圆均相交； 存在一条定直线与所有的圆均不相交； 所有的圆均不经过原点 其中真命题的序号是（ ） A B C D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13某单位有 40 名职工，现从中抽取 5 名职工，统计他们的体重 ，获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本的标准差为 14求直线 x y=2 被圆 x2+ 截得的弦长为 15执行如图的程序框图，则输出的结果是 第 3 页（共 18 页） 16空间四边形 两条对棱 相垂直， 长分别为 8 和 2，则平行四边形两条对棱的截面四边形 平移过程中，面积的最大值是 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17已知 三个顶点分别为 A（ 3， 0）， B（ 2， 1）， C（ 2， 3） （ 1）求 上的中线 在的直线方程； （ 2）求 外接圆的一般方程 18某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示 成绩分组 频数 频率 （ 160， 165 5 165， 170 170， 175 30 （ 175， 180 20 180， 185 10 计 100 1 （ 1）请先求出频率分布表中 、 位置相应的数据，再画出频率分布直方图； （ 2）为了能选拔出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第 3、 4、 5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试，求第 3、 4、 5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ （ 3）在（ 2）的前提下，学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官的面试，求第四组至少有一名学生被考官 A 面试的概率？ 19在三棱柱 ， 底面 C=2， ， D 为棱中点 第 4 页（共 18 页） （ 1）求证： 平面 （ 2）求直线 平面 成角的正切值 20已知命题 p：对于 m 1， 1，不等式 5a 3 恒成立；命题 q：不等式x2+ 0 有解，若 p q 为真，且 p q 为假，求 a 的取值范围 21在如图所示的几何体中，四边形 矩形，平面 平面 0， ， F=2，点 P 在棱 （ 1）求证： （ 2）若二面角 D C 的余弦值为 ，求 长 22已知圆 C 过点 P（ ， ），且与圆 M：（ x+2） 2+（ y+2） 2=r 0）关于直线 x+y+2=0对称 （ 1）求圆 C 的方程； （ 2）设 Q 为圆心 C 上的一个动点，求 的最小值； （ 3）过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A， B，且直线 直线 倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线 否平行？请说明理由 第 5 页（共 18 页） 2015年四川省眉山市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1对命题 “ R， 2 0”的否定正确的是（ ） A R， 2 0 B x R， 2x+4 0 C x R， 2x+4 0 D x R， 2x+4 0 【考点】 特称命题；命题的否定 【分析】 通过特称命题的否定是全称命题，直接判断选项即可 【解答】 解：因为命题 “ R， 2 0”的否定是 “ x R， 2x+4 0” 故选 C 2圆 x+2） 2+（ y 2） 2=1 与圆 x 2） 2+（ y 5） 2=16 的位置关系是（ ） A外离 B相交 C内切 D外切 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 先根据圆的标准方程得到分别 得到两圆的圆心坐标及两圆的半径，然后利用圆心之间的距离 d 与两个半径相加、相减比较大小即可得出圆与圆的位置关系 【解答】 解：由圆 x+2） 2+（ y 2） 2=1 与圆 x 2） 2+（ y 5） 2=16 得： 圆 心坐标为（ 2， 2），半径 r=1；圆 心坐标为（ 2， 5），半径 R=4 两个圆心之间的距离 d= =5，而 d=R+r，所以两圆的位置关系是外切 故选 D 3已知 x 与 y 之间的一组数据：则 y 与 x 的线性回归方程 = x+ 必过点（ ） x 0 1 2 3 4 y 1 3 5 7 9 A（ 1， 2） B（ 5， 2） C（ 2， 5） D（ 5） 【考点】 线性回归方程 【分析】 由已知表格中的数据，我们根据平均数公式计算出变量 x， y 的平均数，根据回归直线一定经过样本数据中心点，可得结论 【解答】 解：由表中数据可得： = （ 0+1+2+3+4） =2， = （ 1+3+5+7+9） =5， 回归直线一定经过样本数据中心点， 故选： C 4从一批产品中取出三件产品，设 A=三件产品全不是次品 ， B=三件产品全是次品 ，C=三件产品至少有一件是次品 ，则下列结论正确的是（ ） A A 与 C 互斥 B A 与 B 互为对立事件 第 6 页（共 18 页） C B 与 C 互斥 D任何两个均互斥 【考点】 互斥事件与对立事件 【分析】 利用对立事件、互斥事件的定义求解 【解答】 解：从一批产品中取出三件产品， 设 A=三件产品全不是次品 ， B=三件产品全是次品 ， C=三件产品至少有一件是次品 ， 事件 A 与 C 不能同时发生，是互斥事件，故 A 正确； 事件 A 与 B 不能同时发生，但能同时不发生，故 A 与 B 是互斥但不对立事件，故 B 错误； 事件 B 与 C 能同时发生，故 B 与 C 不是互斥事件，故 C 错误； 由 B 与 C 不是互斥事件得 D 错误 故选： A 5若实数 x， y 满足不等式组 ，则 3x+4y 的最小值是（ ） A 13 B 15 C 20 D 28 【考点】 简单线性规划 【分析】 我画出满足不等式组 的平面区域，求出平面区域中各角点的坐标，然后利用角点法，将各个点的坐标逐一代入目标函数，比较后即可得到 3x+4y 的最小值 【解答】 解：满足约束条件 的平面区域如下图所示： 由图可知，当 x=3， y=1 时 3x+4y 取最小值 13 故选 A 6如图是正方体或四面体， P， Q， R， S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是（ ） 第 7 页（共 18 页） A B C D 【考点】 平面的基本性质及推论 【分析】 利用公理三及推论判断求解 【解答】 解：在 A 图中：分别连接 则 P， S， R， Q 共面 在 B 图中：过 P， Q， R， S 可作一正六边形，如图，故 P， Q， R， S 四点共面 在 C 图中：分别连接 则 P， Q， R， S 共面 D 图中： 异面直线， P， Q， R， S 四点不共面 故选： D 7已知直线 x+（ a 2） y 2=0， a 2） x+1=0，则 “a= 1”是 “（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件 、充分条件与充要条件的判断 【分析】 当 a= 1 时，这两条直线的斜率之积等于 1，故有 ，能推出 a= 1，或 a=2，不能推出 a= 1，从而得出结论 【解答】 解：当 a= 1 时，直线 斜率为 ，直线 斜率为 3，它们的斜率之积等于 1，故有 充分性成立 当 ，有（ a 2） +（ a 2） a=0 成立，即 （ a 2）（ a+1） =0，解得 a= 1，或 a=2，故不能推出 a= 1，故必要性不成立， 故选 A 8已知 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A若 m， n， m ， n ，则 B若 m， m ， =n，则 m n C若 ， m ，则 m D若 m n， n ， ，则 m 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 在 A 中， 与 相交或平行；在 B 中，由线面平行的性质定理得 m n；在 C 中，m 或 m；在 D 中， m 与 相交、平行或 m 【解答】 解：由 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，知： 在 A 中：若 m， n， m ， n ，则 与 相交或平行，故 A 错误； 在 B 中：若 m， m ， =n，则由线面平行的性质定理得 m n，故 B 正确； 第 8 页（共 18 页） 在 C 中：若 ， m ，则 m 或 m，故 C 错误； 在 D 中：若 m n， n ， ，则 m 与 相交、平行或 m，故 D 错误 故选： B 9执行如图所示的程序框图，若输出的 p 是 720，则输入的 N 的值是（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 【考点】 程序框图 【分析】 由程序框图可知，该程序的功能为 输出结果为 p=1 2 3 （ N 1） N，故所以若输出结果为 720，则 p=1 2 3 （ N 1） N=720，得 N=6 【解答】 解：由程序框图可知，该程序输出的结果为 p=1 2 3 （ N 1） N， 所以若输出结果为 720，则 p=1 2 3 （ N 1） N=720，得 N=6 故选： B 10在空间四边形 ， G 是 重心，若 = ， = ， = ，则 =（ ） A + + B + + C + + D 3 +3 +3 【考点】 向量的线性运算性质及几何意义 【分析】 由题意知 = （ + ），从而化简可得 【解答】 解： G 是 重心， = （ + ）， = + = + （ + ） = + （ + ） = （ + + ） = + + ， 故选： C 第 9 页（共 18 页） 11由不等式组 确定的平面区域记为 1，不等式组 确定的平面区域记为 2，在 1 中随机取一点，则该点恰好在 2 内的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论 【解答】 解：平面区域 1，为三角形 积为 ， 平面区域 2，为 的四边形 其中 C（ 0， 1）， 由 ，解得 ，即 D（ ， ）， 则三角形 面积 S= = ， 则四边形 面积 S= ， 则在 1 中随机取一点，则该点恰好在 2 内的概率为 ， 故选： D 12设有一组圆 x k+1） 2+（ y 3k） 2=2k N*）下列四个命题： 存在一条定直线与所有的圆均相切； 存在一条定直线与所有的圆均相交； 存在一条定直线与所有的圆均不相交； 所有的圆均不经过原点 第 10 页（共 18 页） 其中真命题的序号是（ ） A B C D 【考点】 圆的标准方程 【分析】 由已知圆心（ k 1， 3k），由两圆的位置关系、圆心距、两圆的半径之差，能判断出真命题个数 【解答】 解：根据题意得：圆心（ k 1， 3k）， 圆心在直线 y=3（ x+1）上，故存在直线 y=3（ x+1）与所有圆都相交，选项 正确； 考虑两圆的位置关系， 圆 k：圆心（ k 1， 3k），半径为 |k|， 圆 k+1：圆心（ k 1+1， 3（ k+1），即（ k， 3k+3），半径为 （ k+1） 2， 两圆的圆心距 d= = ， 两圆的半径之差 R r= （ k+1） 2 k+ ， 任取 k=1 或 2 时，（ R r d）， 于 之中，选项 错误； 若 k 取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项 错误 ； 将（ 0， 0）带入圆的方程，则有（ k+1） 2+9 102k+1=2k N*）， 因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在 k 使上式成立，即所有圆不过原点，选项 正确 则真命题的代号是 故选： B 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13某单位有 40 名职工，现从中抽取 5 名职工，统计他们的体重，获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本的标准差为 【考点】 极差、方差与标准差；茎叶图 【分析】 先求出样本数据的平均数，再求出样本数据方差，由此能求出该样本的标准差 【解答】 解：样本数据的平均数 = =69， 样本数据方差 （ 59 69） 2+（ 62 69） 2+（ 70 69） 2+（ 73 69） 2+（ 81 69） 2=62， 该样本的标准差为 S= 故答案为： 14求直线 x y=2 被圆 x2+ 截得的弦长为 2 【考点】 直线与圆相交的性质 【分析】 求出圆心到直线的距离，利用半径、半弦长，弦心距满足勾股定理，求出半弦长，即可求出结果 【解答】 解：弦心距为： = ；半径为： 2，半弦长为： ，弦长 ： 2 故答案为： 2 第 11 页（共 18 页） 15执行如图的程序框图，则输出的结果是 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 n， s 的值，当 n=4 时满足条件 n 4，退出循环，输出 s 的值，利用裂项法求和即可得解 【解 答】 解：模拟执行程序框图，可得 n=0， s=0， n=1， s= ， 不满足条件 n 4， n=2， s= + ， 不满足条件 n 4， n=3， s= + + ， 不满足条件 n 4， n=4， s= + + + = （ 1） = ， 满足条件 n 4，退出循环，输出 s 的值为 故答案为： 16空间四边形 两条对棱 相垂直， 长分别为 8 和 2，则平行四边形两条对棱的截面四边形 平移过程中，面积的最大值是 4 第 12 页（共 18 页） 【考点】 直线与平面平行的性质 【分析】 假设 截面四 边形， 平行四边形，设 EN=x（ 0 x 2）， FE=y（ 0 y 8）， （ S 为所求面积），利用 得 =1= + ，整理可得 8=4x+y，利用基本不等式即可解得面积的最大值 【解答】 解：如图，假设 截面四边形， 平行四边形； 设 EN=x（ 0 x 2）， FE=y（ 0 y 8）， （ S 为所求面积）； 由 得： = ， = = ， 两式相加，得： =1= + ， 化简 ，得 8=4x+y， 可得： 8=4x+y 2 ，（当且仅当 2x=y 时等号成立），解得： 4， 解得： S=4 故答案为： 4 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17已知 三个顶点分别为 A（ 3， 0）， B（ 2， 1）， C（ 2， 3） （ 1）求 上的中线 在的直线方程； （ 2）求 外接圆的一般方程 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 （ 1）求出 中点，即 可求 上的中线 在的直线方程； （ 2）设圆的一般方程，利用待定系数法即可求 外接圆的一般方程 【解答】 解：（ 1） B（ 2， 1）， C（ 2， 3） 中点 D（ 0， 2）， A（ 3， 0）， 在的直线方程为 =1，即 2x 3y+6=0； （ 2）设方程为 x2+x+=0，将三点坐标代入，得 ， D= ， E= ， F= ， 外接圆的一般方程为 x2+x y =0 第 13 页（共 18 页） 18某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示 成绩分组 频数 频率 （ 160， 165 5 165， 170 170， 175 30 （ 175， 180 20 180， 185 10 计 100 1 （ 1）请先求出频率分布表中 、 位置相应的数据，再画出频率分布直方图； （ 2）为了能选拔出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第 3、 4、 5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试，求第 3、 4、 5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ （ 3）在（ 2）的前提下，学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官的面试，求第四组至少有一 名学生被考官 A 面试的概率？ 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表 【分析】 （ 1）由频率 = 可求其数据，频率分布直方图时注意纵轴；（ 2）用分层抽样的方法获取样本中的比例；（ 3）用古典概型求概率 【解答】 解：（ 1） 位置上的数据为 =35， 位置上的数据为 = 频率分布直方图如右图： （ 2） 6 6 6 故第 3、 4、 5 组每组各抽取 3， 2， 1 名学生进入第二轮面试 （ 3）其概率模型为古典概型， 设第 3、 4、 5 组抽取的学生分别为： a， b， c， 1， 2， m 则其所有的基本事件有： （ a， b），（ a， c），（ a， 1），（ a， 2），（ a， m）， （ b， c），（ b， 1），（ b， 2），（ b， m）， （ c， 1），（ c， 2），（ c， m）， （ 1， 2），（ 1， m）， （ 2， m） 共有 15 个，符合条件的有 9 个； 故概率为 = 第 14 页（共 18 页） 19在三棱柱 ， 底面 C=2， ， D 为棱中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求直线 平面 成角的正切值 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平 面平行的判定 【分析】 （ 1）连结 E，连结 此能证明 平面 （ 2）取 底面 导出 直线 平面 成角，由此能求出直线 平面 成角的正切值 【解答】 证明：（ 1）连结 E，连结 在三棱柱 ， E 是 中点， D 为 点， 平面 解：（ 2）取 底面 底面 平面 面 射影为 直线 平面 成角， 而 = ， ， 在 ， = 第 15 页（共 18 页） 直线 平面 成角的正切 值为 20已知命题 p：对于 m 1， 1，不等式 5a 3 恒成立；命题 q：不等式x2+ 0 有解，若 p q 为真，且 p q 为假，求 a 的取值范围 【考点】 复合命题的真假 【分析】 分别求出命题 p， q 中的 a 的取值范围，再利用若 p q 为真，且 p q 为假，则 p与 q 一真一假即可得出 【解答】 解：若命题 p：对于 m 1， 1，不等式 5a 3 恒成立； 由于 =3， 5a 3 3，解得 a 6 或 a 1 若命题 q：不等式 x2+ 0 有解，则 =8 0，解得 或 a 2 若 p q 为真，且 p q 为假，则 p 与 q 一真一假 当 p 真 q 假时， ， 解得 ，此时 a 当 q 真 p 假时， ，解得 ，此时 a 综上可知： a 的取值范围是 21在如图所示的几何体中，四边形 矩形，平面 平面 0， ， F=2，点 P 在棱 （ 1）求证： （ 2）若二面角 D C 的余弦值为 ，求 长 【考点】 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的性质 【分析】 （ 1）推导出 而 平面 此能证明 （ 2）以 A 为坐标原点， 在的直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 长 【解答】 证明：（ 1） 四边形 矩形， 平面 平面 面 面 B， 面 平面 第 16 页（共 18 页） 又 平面 解：（ 2）由（ 1）知 平面 0， 以 A 为坐标原点， 在的直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 则 B（ 1， 0， 0）， D（ 0， 2， 0）， F（ 0， 0， 1）， C（ 1， 2， 0）， 设 = ，（ 0 1），则 P（ 0， 2， 1 ）， =（ 1， 2， 0）， =（ 0， 2， 1 ）， 设平面 一个法向量为 =（ x，