2016年陕西省高考理科数学全真模拟试卷（二）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）（二） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1设集合 M=x| ，函数 f（ x） =1 ）的定义域为 N，则 MN 为（ ） A ， 1 B ， 1） C（ 0， D（ 0， ） 2已知命题 p： x R， 0，则（ ） A p： x R， 0 B p： x R， 0 C p： x R， 0D p： x R， 0 3若 则 值为（ ） A B C D 4等比数列 前 n 项和为 知 S3=0，则 ） A B C D 5某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ） A 28 B 32 C 36 D 40 6将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法有 （ ）种 A 15 B 18 C 21 D 24 7已知抛物线 C： y2=x 的焦点为 F， A（ C 上一点， 则 ） A 1 B 2 C 4 D 8 8如果执行如图的框图，输入 N=5，则输出的数等于（ ） 第 2 页（共 20 页） A B C D 9曲线 y=e 在点（ 6， 的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A B 3 6 90已知函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）的部分图象如图所示，且 f（ ） =1， （ 0， ），则 2 ） =（ ） A B C D 11若 f（ x）是定义在（ ， +）上的偶函数， 0， +）（ 有，则（ ） A f（ 3） f（ 1） f（ 2） B f（ 1） f（ 1） f（ 3） C f（ 2） f（ 1） f（ 3）D f（ 3） f（ 2） f（ 1） 12若直线 y=x， y=x+2 与圆 C： x2+22 的四个交点把圆 C 分成的四条弧长相等， 则 m=（ ） A 0 或 1 B 0 或 1 C 1 或 1 D 0 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13定积分 14已知单位向量 ， 的夹角为 60，则向量 与 的夹角为 第 3 页（共 20 页） 15不等式 b（ a+b）对于任意的 a， b R 恒成立，则实数 的取值范围为 16已知 F 是双曲线 C： =1 的右焦点，若 P 是 C 的左支上一点， A（ 0， 6 ）是 积的最小值为 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17在 ，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a， b， c已知 a+c=3 ， b=3 （ I）求 最小值； （ ）若 =3，求 A 的大小 18 “开门大吉 ”是某电视台推出的游戏节目选手面对 1 8 号 8 扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金在一次场外调查中，发现参赛选手大多在以下两个年龄段： 21 30， 31 40（单位：岁），统计这两个年龄段选手答对歌曲名称与否的人数如 图所示 （ 1）写出 2 2 列联表，并判断是否有 90%的把握认为答对歌曲名称与否和年龄有关，说明你的理由（下面的临界值表供参考） P（ 2）在统计过的参考选手中按年龄段分层选取 9 名选手，并抽取 3 名幸运选手，求 3 名幸运选手中在 21 30 岁年龄段的人数的分布列和数学期望 （参考公式： ，其中 n=a+b+c+d） 19如图 ，在 ，已知 5， 4， 3将 上的高 所示的四面体 A 得图 中的 1 （ 1）求二面角 B C 的平面角的余弦值； （ 2）在四面体 A 棱 是否存在点 P，使得 ？若存在，请指出点 不存在，请给出证明 第 4 页（共 20 页） 20设 O 是坐标原点，椭圆 C： 的左右焦点分别为 P， Q 是椭圆 C 上不同的两点， （ I）若直线 椭圆 C 的右焦点 倾斜角为 30，求证： | | |等差数列； （ ）若 P， Q 两点使得直线 斜率均存在且成等比数列求直线 斜率 21设函数 f（ x） = （ 1）求证：函数 f（ x）有且只有一个极值点 （ 2）求函数 f（ x）的极值点 近似值 x，使得 |x （ 3）求证： f（ x） x （ 0， +）恒成立 （参考数据： e 选修 4何证明选讲 22如图，已知 O 的直径， C， F 为 O 上的两点， 点 F 作 O 的切线 延长线于点 D，连接 点 E求证： A 选修 4标系与参数方程 23在平面直角坐标系 ，已知圆 x2+，圆 x 2） 2+ （ ）在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 ，分别求圆 圆 极坐标方程及两圆交点的极坐标； （ ）求圆 圆 公共弦的参数方程 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x+1| 2|x| （ 1）求不等式 f（ x） 6 的解集； （ 2）若存在实数 x 满足 f（ x） =实数 a 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2016 年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）（二） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1设集合 M=x| ，函数 f（ x） =1 ）的定义域为 N，则 MN 为（ ） A ， 1 B ， 1） C（ 0， D（ 0， ） 【考点】 交集及其运算 【分析】 先分别求出集合 M 和集合 N，然后再求出集合 MN 【解答】 解：集合 M=x| = ， 3），函数 f（ x） =1 ） =0， 1）， 则 MN= ， 1）， 故选： B 2已知命题 p： x R， 0，则（ ） A p： x R， 0 B p： x R， 0 C p： x R， 0D p： x R， 0 【考点】 复合命题 的真假 【分析】 利用命题的否定即可判断出 【解答】 解：命题 p： x R， 0，则 p： x R， 0 故选： C 3若 则 值为（ ） A B C D 【考点 】 同角三角函数基本关系的运用 【分析】 由条件利用平方差公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值 【解答】 解： 则 （ = = = ， 故选： B 4等比数列 前 n 项和为 知 S3=0，则 ） A B C D 【考点】 等比数列的前 n 项和 第 6 页（共 20 页） 【分析】 设等比数列 公比为 q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到，解出即可 【解答】 解：设等比数列 公比为 q， S3=0， ，解得 故选 C 5某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ） A 28 B 32 C 36 D 40 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知几何体是一个圆柱和一个圆台的组合体，求解 其体积相加即可 【解答】 解：图为三视图复原的几何体是一圆台和一个圆柱的组合体，圆柱的底面半径为 2，高为 2，体积为： 222=8 圆台的底面半径为 4，上底面半径为 2，高为 3，体积为： =28， 几何体的体积为： 36 故选： C 6将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法有 （ ）种 A 15 B 18 C 21 D 24 【考点】 计数原理的应用 【分析】 把 4 个小球分成（ 2， 1， 1）组，其中 2 个小球分给同一个小朋友的有 4 种方法（红红，红黄，红白，白黄），分两类，根据分类计数原理可得 【解答】 解：把 4 个小球分成（ 2， 1， 1）组，其中 2 个小球分给同一个小朋友的有 4 种方法（红红，红黄，红白，白黄）， 第 7 页（共 20 页） 若（红红，红黄，红白）分给其中一个小朋友，则剩下的两个球分给 2 个小朋友，共有 33 8 种， 若（白黄两个小球）分给其中一个小朋友，剩下的两个红色小球只有 1 种分法，故有 3 1=3种， 根据分类计数原理可得，共有 18+3=21 种 故选： C 7已知抛物线 C： y2=x 的焦点 为 F， A（ C 上一点， 则 ） A 1 B 2 C 4 D 8 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出 【解答】 解：抛物线 C： y2=x 的焦点为 F ， A（ C 上一点， =， 解得 故选： A 8如果执行如图的框图，输入 N=5，则输出的数等于（ ） A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 按照程序框图的流程，写出前五次循环 的结果，直到第五次不满足判断框中的条件，执行输出结果 【解答】 解：经过第一次循环得到 S= ，满足进入循环的条件， k=2， 经过第二次循环得到 S= + = ，满足进入循环的条件， k=3， 经过第三次循环得到 S= + = ，满足进入循环的条件， k=4， 第 8 页（共 20 页） 经过第四次循环得到 S= + = ，满足进入循环的条件， k=5， 经过第五次循环得到 S= + = ，不满足进入循环的条件，执行输出， 故输出结果为： ， 故选： D 9曲线 y=e 在点（ 6， 的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A B 3 6 9考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程，分别令 x=0，y=0 求得与 y， x 轴的交点，运用三角形的面积公式计算即可得到所求值 【解答】 解： y=e 的导数为 y= e ， 可得在点（ 6， 的切线斜率为 即有在点（ 6， 的切线方程为 y x 6）， 即为 y= 令 x=0，可得 y= y=0，可得 x=3 即有切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 3 故选： A 10已知函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）的部分图象如图所示，且 f（ ） =1， （ 0， ），则 2 ） =（ ） A B C D 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由图象可得 A 值和周期，由周期公式可得 ，代入点（ ， 3）可得 值，可得解 析式，再由 f（ ） =1 和同角三角函数基本关系可得 第 9 页（共 20 页） 【解答】 解：由图象可得 A=3， =4（ ），解得 =2， 故 f（ x） =32x+），代入点（ ， 3）可得 3+） = 3， 故 +） = 1， +=2， =2， k Z 结合 0 可得当 k=1 时， = ，故 f（ x） =32x+ ）， f（ ） =32+ ） =1， 2+ ） = ， （ 0， ）， 2+ （ ， ）， 2 ） = = ， 故选： C 11若 f（ x）是定义在（ ， +）上的偶函数， 0， +）（ 有，则（ ） A f（ 3） f（ 1） f（ 2） B f（ 1） f（ 1） f（ 3） C f（ 2） f（ 1） f（ 3）D f（ 3） f（ 2） f（ 1） 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【分析】 根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行比 较即可 【解答】 解： 0， +）（ 有 ， 当 x 0 时函数 f（ x）为减函数， f（ x）是定义在（ ， +）上的偶函数， f（ 3） f（ 2） f（ 1）， 即 f（ 3） f（ 2） f（ 1）， 故选： D 12若直线 y=x， y=x+2 与圆 C： x2+22 的四个交点把圆 C 分成的四条弧长相等，则 m=（ ） A 0 或 1 B 0 或 1 C 1 或 1 D 0 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 直线 C 分成的四条弧长相等， C 可化为（ x m） 2+（ y n）2=m2+ m=0， n=1 时及当 m= 1， n=0 时，满足条件 【解答】 解： y=x， y=x+2 与圆 C： x2+22， 直线 C 分成的四条弧长相等， 画出图形，如图所示 又 C 可化为（ x m） 2+（ y n） 2=m2+ 当 m=0， n=1 时，圆心为（ 0， 1），半径 r=1， 第 10 页（共 20 页） 此时 C 的四个交点（ 0， 0），（ 1， 1），（ 0， 2），（ 1， 1）把 C 分成的四条弧长相等； 当 m= 1， n=0 时，圆心为（ 1， 0），半径 r=1， 此时 C 的四个交点（ 0， 0），（ 1， 1），（ 2， 0），（ 1， 1）也把 C 分成的四条弧长相等； 故选： B 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13定积分 【考点】 定积分 【分析】 根据定积分的计算法则计算即可 【解答 】 解： （ x2+| = 故答案为： 14已知单位向量 ， 的夹角为 60，则向量 与 的夹角为 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 分别求出 | + |， | |，（ + ）（ ），从而代入求余弦值，从而求角 【解答】 解： 单位向量 ， 的夹角为 60， | + |= = = ， | |= = ， （ + ）（ ） = 2 + = 2+1= ， 设向量 与 的夹角为 ， 第 11 页（共 20 页） 则 = ， 故 = ， 故答案为： 15不等式 b（ a+b）对于任意的 a， b R 恒成立，则实数 的取值范围为 8，4 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 由已知可得 8） 0，结合二次不等式的性质可得 =2+4（ 8）=2+4 32 0，可求 【解答】 解： b（ a+b）对于任意的 a， b R 恒成 b（ a+b） 0 对于任意的 a， b R 恒成 即 b） a+（ 8 ） 0 恒成立， 由二次不等式的性质可得， =2+4（ 8） =2+4 32 0 （ +8）（ 4） 0 解不等式可得， 8 4 故答案为： 8， 4 16已知 F 是双曲线 C： =1 的右焦点，若 P 是 C 的左支上一点， A（ 0， 6 ）是 积的最小值为 6+9 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得双曲线的焦点，直线 方程以及 长，设直线 y= 2 x+t 与双曲线相切，且切点为左支上一点，联立双曲线方程，消去 y，由判别式为 0，求得 m，再由平行直线的距离公式可得三角形的面积的最小值 【解答】 解：双曲线 C： =1 的右焦点为（ 3， 0）， 由 A（ 0， 6 ），可得直线 方程为 y= 2 x+6 ， | =15， 设直线 y= 2 x+t 与双曲线相切，且切点为左支上一点， 联立 ，可得 164 tx+=0， 由判别式为 0，即有 964 16（ ） =0， 解 得 t= 4（ 4 舍去）， 可得 P 到直线 距离为 d= = ， 第 12 页（共 20 页） 即有 面积的最小值为 d| 15=6+9 故答案为： 6+9 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17在 ，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a， b， c已知 a+c=3 ， b=3 （ I）求 最小值； （ ）若 =3，求 A 的大小 【考点】 平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理 【分析】 （ I）根据基本不等式求出 最大值，利用余弦定理得出 最小值； （ 用余弦定理列方程解出 a， c， 用正弦定理得出 【解答】 解：（ I）在 ，由余弦定理得 = （ ） 2= 当 时， 得最 小值 （ 余弦定理得 b2=a2+2 = 9=a2+6， a2+5 又 a+c=3 ， a=2 ， c= 或 a= ， c=2 ， 由正弦定理得 ， =1 或 A= 或 A= 18 “开门大吉 ”是某电视台推出的游戏节目选手面对 1 8 号 8 扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金在一次场外调查中，发现参赛选手大多在以下两个年龄段： 21 30， 31 40（单位：岁），统计这两个年龄段选手答对歌曲名称与否的人数如图所示 （ 1）写出 2 2 列联表，并判断是否有 90%的把握认为答对歌 曲名称与否和年龄有关，说明你的理由（下面的临界值表供参考） P（ 13 页（共 20 页） （ 2）在统计过的参考选手中按年龄段分层选取 9 名选手，并抽取 3 名幸运选手，求 3 名幸运选手中在 21 30 岁年龄段的人数的分布列和数学期望 （参考公式： ，其中 n=a+b+c+d） 【考点】 独立性检验的应用 【分析】 （ 1）根据所给的二维条形图得到列联表，利用公式求出 可得出结论 （ 2）设 3 名选手中在 20 30 岁之间的人数为 ，可能取值为 0， 1， 2， 3，求出概率，列出分布列，求解期望即可 【解答】 解：（ 1） 2 2 列联表 正确 错误 合计 21 30 10 30 40 31 40 10 70 80 合计 20 100 120 =3 90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关 （ 2）按照分 层抽样方法可知： 21 30（岁）抽取 3 人， 31 40（岁）抽取 6 人 设 3 名选手中在 21 30 岁之间的人数为 ，可能取值为 0， 1， 2， 3 P（ =0） = = ， P（ =1） = = ， P（ =2） = = ， P（ =3） = = D 的分布列 0 1 2 3 P E（ ） =0 +1 +2 +3 =1 19如图 ，在 ，已知 5， 4， 3将 上的高 所示的四面体 A 得图 中的 1 第 14 页（共 20 页） （ 1）求二面角 B C 的平面角的余弦值； （ 2）在四面体 A 棱 是否存在点 P，使得 ？若存在，请指出点 不存在，请给出证明 【考点】 二面角的平面角及求法；平面向量数量积的运算 【分析】 （ 1）根据图象折之前和折之后的边长关系，结合二面角的定义进行求解 （ 2）假设在四面体 A 棱 存在点 P，使得 根据向量数量积的定义结合向量的运算法则进行化简求解 【解答】 解：（ 1）由已知 故二面角 B C 的平面角为 在图 ，设 BD=x， AD=h，则 4 x， 在 ，分别用勾股定理得 x2+52，（ 14 x） 2+32， 得 x=9， h=12，从而 2， ， ， 在图 的 ，由余弦定理得 2 即 112=92+52 2 9 5 ， 即二面角 B C 的平面角的余弦值是 （ 2）假设在四面体 A 棱 存在点 P，使得 ， 则 0= =（ + ） （ + ） = 2+ + + = 2+0+0+9 5 （ ）= 2 ， 则 | |= 12，符号题意， 即在棱 存在点 P，使得 ，此时 | |= 20设 O 是坐标原点，椭圆 C： 的左右焦点分别为 P， Q 是椭圆 C 上不同的两点， （ I）若直线 椭圆 C 的右焦点 倾斜角为 30，求证： | | |等差数列； （ ）若 P， Q 两点使得直线 斜率均存在且成等比数列求直线 斜率 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ I）求得椭圆的 a， b， c，设出直线 方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式可得 |再由椭圆的定义可得 |4a，由等差数列的中项的性质，可得结论； 第 15 页（共 20 页） （ ）设出直线 方程，代入椭圆方程，运用韦 达定理和判别式大于 0，由等比数列的中项的性质，结合直线的斜率公式，化简整理，解方程即可得到直线 斜率 【解答】 解：（ I）证明： 即为 + =1， 即有 a= ， b= ， c= =2， 由直线 椭圆 C 的右焦点 2， 0）， 且倾斜角为 30， 可得直线 方程为 y= （ x 2）， 代入椭圆方程可得， 2x 1=0， 即有 x1+， 1， 由弦长公式可得 | = = ， 由 椭圆的定义可得 |4a=4 ， 可得 |4 = =2| 则有 | | |等差数列； （ ）设直线 方程为 y=kx+m，代入椭圆方程 ， 消去 y 得：（ 1+3（ 2） =0， 则 =3612（ 1+3 2） =12（ 6） 0， x1+ ， ， 故 m）（ m） =x1+ 直线 斜率依次成等比数列， = = 即 x1+，即有 +， 由于 m 0，故 ， 直线 斜率 k 为 21设函数 f（ x） = （ 1）求证：函数 f（ x）有且只有一个极值点 （ 2）求函数 f（ x）的极值点 近似值 x，使得 |x （ 3）求证： f（ x） x （ 0， +）恒成立 第 16 页（共 20 页） （参考数据： e 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ 1）求出 f（ x）的导数，根据导函数的单调性，求出零点的范围，从而证出极值点的个数； （ 2）求出函数的导数，求出零点的范围，即极值点的范围，求出满足条件的零点的近似值即可； （ 3）求出函数的导数，得到函数零点的范围，结合函数的单调性证明即可 【解答】 （ 1）证明： f（ x）的定义域是（ 0， +）， f（ x） =， 函数 y= y= 在（ 0， +）均递增， f（ x）在（ 0， +）递增， 而 f（ ） = 2 0， f（ 1） =e 1 0， f（ x）在（ ， 1）上存在零点，记 且 f（ x）在 右两侧的函数值异号， 综上， f（ x）有且只有一个零点 即函数 f（ x）有且只有一个极值点 （ 2）解： ， 且 f（ x）在 ， 上的图象连续， f（ ） 0， f（ ） = 0， f（ x）的零点 （ ， ）， 即 f（ x）的极值点 （ ， ），即 （ 近似值 x可以取 x= 此时的 x满足 |x （ 3）证明： 2 ， 且 f（ x）在 ， 上图象连续， f（ ） 0， f（ ） = 0， f（ x）的零点 （ ， ）， f（ x）的极值点 （ ， ） ， 由（ 1）知： f（ = =0， 第 17 页（共 20 页） 且 f（ x）的最小值是 f（ = 函数 g（ x） = （ 0， +）递减，且 ， g（ g（ ） = 2 f（ x） f（ = x （ 0， +）恒成立 选修 4何证明选讲 22如图，已知 O 的直径， C， F 为 O 上的两点， 点 F 作 O 的切线 延长线于点 D，连接 点 E求证： A 【考点】 与圆有关的比例线段 【分