2016年湖南省怀化市高考数学三模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年湖南省怀化市高考数学三模试卷（文科） 一、选择题 1已知集合 A=0， 1， 2， 3， 4， 5， B= 3， 2， 1， 0， 1， 2， 3，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A 4， 5 B 4， 5， 6 C x|4 x 5 D x|4 x 6 2已知复数 z 满足 z（ 1 i） =1+i，则 z 的共轭复数 为（ ） A i B i C 1+i D 1 i 3若平面向量 与向量 =（ 1， 2）的夹角是 180，且 ，则 =（ ） A（ 3， 6） B（ 3， 6） C（ 6， 3） D（ 6， 3） 4函数 y=f（ x）和 x=2 的交点个数为（ ） A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 0 个或 1 个 5从 2016 名学生中选取 50 名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取 ：先用简单随机抽样从 2016 人中剔除 16 人，剩下的 2000 人再按系统抽样的方法抽取 50 人，则在 2016 人每人入选的概率是（ ） A不全相等 B均不相等 C都相等且为 D都相等且为 6已知 x， y 满足 ，则 z=2x y+6 的最大值为（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 7我国古代数学名著数学九章中有云： “今有木长二丈四尺，围之 五尺葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？ ”其意思为 “圆木长 2 丈 4 尺，圆周为 5 尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺（注： 1 丈等于 10 尺）（ ） A 29 尺 B 24 尺 C 26 尺 D 30 尺 8已知 双曲线 =1 的左右焦点，点 P 为双曲线上一点且满足 x 轴，则 |（ ） A 6 B 2 C 4 D 5 9执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） 第 2 页（共 19 页） A 3 B 13 C 8 D 10 10已知 ，且 （ ， ），函数 f（ x） =x+）（ 0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ，则 f（ ）的值为（ ） A B C D 11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 6 B 12 C 18 D 24 12设 f（ x）是定义在（ ， 0） （ 0， ）的奇函数，其导函数为 f（ x），且 ，当 x （ 0， ）时， f（ x） f（ x） 0，则关于 x 的不等式 的解集为（ ） A BC D 二、填空题 13已知函数 f（ x）的定义域为（ 1， 2），则函数 f（ 3 x）的定义域为 14在等比数列 ， a2a3，则 15已知 A 船在灯塔 C 的北偏东 80处，且 A 船到灯塔 C 的距离为 2B 船在灯塔 C 的北偏西 40处，且 B 船到灯塔 C 的距离为 1 A、 B 两船间的距离为 第 3 页（共 19 页） 16设点 P 是双曲线 =1（ a 0， b 0）与圆 x2+y2=a2+第一象限内的交点， 2 分别是双曲线的左右焦点且 |3|则双曲线的离心率为 三、解答题 17设数列 前 n 项和为 任意的正整数 n，都有 成立 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 bn=求数列 前 n 项和 18某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了 1 月 11 日至 1 月 15 日的白天平均气温 x（ ）与该奶茶店的这种饮料销量 y（杯）得到如下数据 日期 11 日 12 日 13 日 14 日 15 日 平均气温 x（ ） 9 10 12 11 8 销量 y（杯） 23 25 30 26 21 （ 1）若先从这 5 组数据中抽取 2 组，列出所有可能的结果并求抽出的 2 组数据恰好是相邻2 天数据的概率； （ 2）请根据所给的 5 组数据求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ，并根据线性回归方程预测当气象台预报 1 月 16 日的白天气温为 7 时奶茶店这种饮料的销量（结果四舍五入） 附 ：线性回归方程 = x+ 中 ，其中 ， 为样本平均值 19在直三棱柱 ， C=， ， D 是 中点， F 是 一点 （ 1）当 ，求 证： 平面 （ 2）若 三棱锥 积 第 4 页（共 19 页） 20已知椭圆 + =1（ a b 0）的离心率 e= ，点 P（ 0， ）在椭圆上， A， B 分别为椭圆的左右顶点，过点 B 作 x 轴交 延长线于点 D， F 为椭圆的右焦点 （ 1）求椭圆的方程及直线 椭圆截得的弦长 | （ 2）求证：以 直径的圆与直径 切 21已知函数 ，（其中 a R， e 为自然对数的底数 （ 1）当 a=0 时，求曲线 y=f（ x）在（ 0， f（ 0）处的切线方程； （ 2）当 x 1 时，若关于 x 的不等式 f（ x） 0 恒成立，求实数 a 的取值范围 【选修 4何证明选讲】 22如图， 圆 O 的直径， C 为 延长线上一点，切线 圆 O 于点 D， B， 点 E， F （ 1）求证： F； （ 2）若 C， ，求 长 【选修 4标系与参数方程】 23已知直线 l 的方程为 （ t 为参数），以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 =4 + ） （ 1）把曲线 C 的方程化为直角坐标方程，并说明曲线 C 的 形状； （ 2）若曲线 C 上存在点 P 到直线 l 的距离为 2 ，求实数 m 的取值范围 【选修 4等式选讲】 24设函数 f（ x） =|2x+1|+|2x a|（ a 0）， g（ x） =x+2 （ 1）当 a=1 时，求不等式 f（ x） g（ x）的解集； （ 2）当 x （ ， ）时 f（ x） g（ x）恒成立，求 a 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2016 年湖南省怀化市高考数学三 模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1已知集合 A=0， 1， 2， 3， 4， 5， B= 3， 2， 1， 0， 1， 2， 3，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A 4， 5 B 4， 5， 6 C x|4 x 5 D x|4 x 6 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 直接利用集合的交、并、补的运算法则求解即可 【解答】 解： A=0， 1， 2， 3， 4， 5， B= 3， 2， 1， 0， 1， 2， 3， 则图中阴影部分表示的 集合为： A（ =4， 5 故选： A 2已知复数 z 满足 z（ 1 i） =1+i，则 z 的共轭复数 为（ ） A i B i C 1+i D 1 i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数的乘除运算法则，化简求解即可 【解答】 解：复数 z 满足 z（ 1 i） =1+i， 可得 z= = = =i 则 z 的共轭复数 为： i 故选： B 3若平面向量 与向量 =（ 1， 2）的夹角是 180，且 ，则 =（ ） A（ 3， 6） B（ 3， 6） C（ 6， 3） D（ 6， 3） 【考点】 数量积表示两个 向量的夹角；向量的模 【分析】 由向量 与向量 =（ 1， 2）的夹角是 180，得向量 与向量 反向，我们可令= （其中 0），又由 ，我们可以构造一个关于 的方程，解方程求出 ，代入即可得到向量 的坐标 【解答】 解 向量 与向量 =（ 1， 2）的夹角是 180， 向量 与向量 反向， 令 = =（ ， 2）（则 0）， 第 6 页（共 19 页） 又 ， =3 解得 = 3 故 =（ 3， 6） 故选 A 4函数 y=f（ x）和 x=2 的交点个数为（ ） A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 0 个或 1 个 【考点】 函数的概念及其构成要素 【分析】 根据函数的定义可得 函数 y=f（ x）的图象与直线 x=2 至多有一个交点，由此得到结论 【解答】 解：根据函数 y=f（ x）的定义，当 x=2 为定义域内一个值，有唯一的一个函数值 f（ x）与之对应，函数 y=f（ x）的图象与直线 x=2 有唯一交点 当 x=2 不在定义域内时，函数值 f（ x）不存在，函数 y=f（ x）的图象与直线 x=2 没有交点 故函数 y=f（ x）的图象与直线 x=2 至多有一个交点， 即函数 y=f（ x）的图象与直线 x=2 的交点的个数是 0 或 1， 故选： D 5从 2016 名学生中选取 50 名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取： 先用简单随机抽样从 2016 人中剔除 16 人，剩下的 2000 人再按系统抽样的方法抽取 50 人，则在 2016 人每人入选的概率是（ ） A不全相等 B均不相等 C都相等且为 D都相等且为 【考点】 系统抽样方法；简单随机抽样 【分析】 根据简单随机抽样与系统抽样方法的定义，结合概率的意义，即可判断每个人入选的概率是多少 【解答】 解：根据简单随机抽样与系统抽样方法的特点，得： 每个人入选的概率都相等 ，且等于 = 故选： C 6已知 x， y 满足 ，则 z=2x y+6 的最大值为（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 【考点】 简单线性规划 【分析】 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， z=2x y+6 表示直线在 y 轴上的截距加 6，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最小值即可 第 7 页（共 19 页） 【解答】 解：不等式组 表示的平面区域如图所示， 当直线 z=2x y+6 过点 B 时，表达式取得最大值，由 可得 B（ 1， 0）时， 在 y 轴上截距最小，此时 z 取得最大值： 2 0+6=8 故选： D 7我国古代数学名著数学九章中有云： “今有木长二丈四尺，围之五尺葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？ ”其意思为 “圆木长 2 丈 4 尺，圆周为 5 尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆 木平齐，问葛藤最少长多少尺（注： 1 丈等于 10 尺）（ ） A 29 尺 B 24 尺 C 26 尺 D 30 尺 【考点】 多面体和旋转体表面上的最短距离问题 【分析】 由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即木棍的高）长 24 尺，另一条直角边长 5 2=10（尺），利用勾股定理，可得结论 【解答】 解：由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即木棍的高）长 24 尺，另一条直角边长 5 2=10（尺），因此葛藤长 =26（尺） 故选： C 8已知 双曲线 =1 的左右焦点，点 P 为双曲线上一点且满足 x 轴，则 |（ ） A 6 B 2 C 4 D 5 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得双曲线的 a， b， c，由题意可得 P 在双曲线的左支上，令 x= c，求得 y，可得 |4，再由双曲线的定义，计算即可得到所求值 【解答】 解：双曲线 =1 的 a=1， b=2， c= = ， 第 8 页（共 19 页） 即有 ， 0）， ， 0）， 由 x 轴，可得点 P 在左支上， 令 x= ，代入双曲线的方程可得 y= 2 = 4， 即有 |4， 由双曲线的定义可得 | |2a=2， 可得 |2+|2+4=6 故选： A 9执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A 3 B 13 C 8 D 10 【考点】 程序框图 【分析】 执行程序框图，依次写出每次循环得到的 a， b， S， k 值，当 k=5 时，满足条件 k 4，输出 S 的值为 8 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 a=1， b=1， k=1S=2， k=2 不满足条件 k 4，执行循环体， a=1， b=2， S=3， k=3 不满足条件 k 4，执行循环体， a=2， b=3， S=5， k=4 不满足条 件 k 4，执行循环体， a=3， b=5， S=8， k=5 满足条件 k 4，退出循环，输出 S 的值为 8 故选： C 10已知 ，且 （ ， ），函数 f（ x） =x+）（ 0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ，则 f（ ）的值为（ ） A B C D 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由周期求出 ，由条件求出 值，从而求得 f（ ）的值 第 9 页（共 19 页） 【解答】 解：根据函数 f（ x） =x+）（ 0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ， 可得 = = ， =2 由 ，且 （ ， ），可得 ， 则 f（ ） =+） = ， 故选： B 11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 6 B 12 C 18 D 24 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体是半个圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是半个圆锥， 且底面圆的半径是 3，高是 4， 几何体的体积 V= =6， 故选： A 12设 f（ x）是定义在（ ， 0） （ 0， ）的奇函数，其导函数为 f（ x），且 ，当 x （ 0， ）时， f（ x） f（ x） 0，则关于 x 的不等式 的解集为（ ） A BC D 【考点】 利用导数研究函数的单调性；导数的运算 【分析】 根据条件构造函数 ，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，根据函数单调性之间的关系解不等式即可 【解答】 解：令 ， 则 g（ x） = ， 第 10 页（共 19 页） 当 x （ 0， ）时， f（ x） f（ x） 0， g（ x） = 0， 即 g（ x）在（ 0， ）上递减，在（ ， 0）上递增， 当 x （ 0， ）时， ； 当 x （ ， 0）时， ； 故选 B 二、填空题 13已知函数 f（ x）的定义域为（ 1， 2），则函数 f（ 3 x）的定义域为 （ 1， 4） 【考点】 函数的定义域及其求法 【分析】 根据题 意可知 1 3 x 2，求出 x 的范围并用区间表示，即可所求函数的定义域 【解答】 解： 函数 f（ x）的定义域为（ 1， 2）， 1 3 x 2，解得 1 x 4， 所求函数 y=f（ 3 x）的定义域是（ 1， 4） 故答案为：（ 1， 4） 14在等比数列 ， a2a3，则 2 【考点】 等比数列的性质 【分析】 直接利用等比数列的通项公式，结合条件，可得结论 【解答】 解： 等比数列 ， a2a3， ， ， 故答案为： 2 15已知 A 船在灯塔 C 的北偏东 80处，且 A 船到灯塔 C 的距离为 2B 船在灯塔 C 的北偏西 40处，且 B 船到灯塔 C 的距离为 1 A、 B 两船间的距离为 【考点】 解三角形的实际应用 【分析】 先确定 | | 值，然后在 应用余弦定理可求得 |值 【解答】 解：由题意可知 |2， |1， 20 在 由余弦定理可得 |=|+| 2|BC|+1 221（ ） =7 | 故答案为： 第 11 页（共 19 页） 16设点 P 是双曲线 =1（ a 0， b 0）与圆 x2+y2=a2+第一象限内的交点， 2 分别是双曲线的左右焦点且 |3|则双曲线的离心率为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由题意画出图形，可知 已知结合双曲线的定义求得 | |再由勾股定理得答案 【解答】 解：如图， 圆 x2+y2=a2+b2= 圆的直径，则 由 ，解得 |3a， |a， ， 即 ，得 e= 故答案为： 三、解答题 17设数列 前 n 项和为 任意的正整数 n，都有 成立 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 bn=求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和 ；数列递推式 【分析】 （ ）由已知条件推导出 ， ，由此能求出 （ ）由 ，得 = （ ），由此利用错位相减法能求出数列 前 n 项和 第 12 页（共 19 页） 【解答】 （ ）解：当 n=1 时， ，解得 又 ， =5+1， ， ， 数列 首项为 ，公比为 q= 的等比数列， （ ）解： ， = = （ ）， = = 18某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了 1 月 11 日至 1 月 15 日的白天平均气温 x（ ）与该奶茶店的这种饮料销量 y（杯）得到如下数据 日期 11 日 12 日 13 日 14 日 15 日 平均气温 x（ ） 9 10 12 11 8 销量 y（杯） 23 25 30 26 21 （ 1）若先从这 5 组数据中抽取 2 组，列出所有可能的结果并求抽出的 2 组数据恰好是相邻2 天数据的概率； （ 2）请根据所给的 5 组数据求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ，并根据线性回归方程预测当气象台预报 1 月 16 日的白天气温为 7 时奶茶店这种饮料的销量（结果四舍五入） 附：线性回归方程 = x+ 中 ，其中 ， 为样本平均值 【考点】 线性回归方程 【分析】 （ 1）根据题意列举出从 5 组数据中选取 2 组数据共有 10 种情况，每种情况都是可能出现的，满足条件的事件包括的基本事件有 4 种根据等可能事件的概率做出结果 第 13 页（共 19 页） （ 2）根据所给的数据，先做出 x， y 的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程利用线性回归方程， x 取 7，即可预测该奶茶店这种饮料的销量 【解答】 解 ：（ 1）设这 5 组数据分别为 a， b， c， d， e，则抽取 2 组数据可能的情况为（ a，b），（ a， c），（ a， d），（ a， e），（ b， c），（ b， d），（ b， e），（ c， d），（ c， e），（ d， e） 总事件数为 10 种，满足相邻 2 天的基本事件数为 4 种情况，故概率 P= 6 分 （ 2） = ， = =257 分 （ ）（ =（ 1） （ 2） +0+2 5+1 1+（ 2） （ 4） =21 （ ） 2=（ 1） 2+02+22+12+（ 2） 2=109 分 =21， =25 10=4 =10 分 故当温度为 7 时，销量为 y=7+4= 此时销量约为 19 杯 12 分 19在直三棱柱 ， C=， ， D 是 中点， F 是 一点 （ 1）当 ，求证： 平面 （ 2）若 三棱锥 积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）证明 两线 直，利用线面垂直的判定定理得出 平面 （ 2）若 求 可求三棱锥 积 【解答】 （ 1）证明： C， D 是 中点， 在直三棱柱 ， 底面 面 1B=B， 平面 面 在矩形 ， D=1， F=2， 第 14 页（共 19 页） 0， D=D， 平面 （ 2）解： 面 ， 又 ， ， 20已知椭圆 + =1（ a b 0）的离心率 e= ，点 P（ 0， ）在椭圆上， A， B 分别为椭圆的左右顶点，过点 B 作 x 轴交 延长线于点 D， F 为椭圆的右焦点 （ 1）求椭圆的方程及直线 椭圆截得的弦长 | （ 2）求证：以 直径的圆与直径 切 【考点】 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 【分析】 （ 1）由椭圆过点 P（ 0， ），求得 b= ，由离心率公式及 a2=b2+可求得 可求得椭圆的 方程，求得直线 直线方程，代入椭圆方程，求得 据弦长公式即可求得 | （ 2）求得直线 方程，与 直线方程 x=2 联立求 D 点坐标，即可求得圆心及半径R，利用点到直线的距离公式，求得 d=R，以 直径的圆与直线 切 【解答】 解：（ 1） 椭圆过点 P（ 0， ）， b= ，又 e= 即 = 即 ， a2=b2+ 故 ， 椭圆方程为 则 F（ 1， 0）， P（ 0， ），直线 方程为 y= （ x 1），与椭圆方程联立有消去 y 得到 58x=0，解得 由弦长公式得 | | ； 第 15 页（共 19 页） （ 2）证明：过 A（ 2， 0）， P（ 0， ）的直线 方程为 y= （ x+2） 与 直线方程 x=2 联立有 D（ 2， 2 ）， 所以以 直径的圆的圆心为（ 2， ），半径 R= ， 圆心到直线 距离 d= = =R 所以以 直径的圆与直线 切 21已知函数 ，（其中 a R， e 为自然对数的底数 （ 1）当 a=0 时，求曲线 y=f（ x）在（ 0， f（ 0）处的切线方程； （ 2）当 x 1 时，若关于 x 的不等式 f（ x） 0 恒成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）当 a=0 时求出 f（ x）的解析式，根据导数的几何意义求出函数 f（ x）在 x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可 （ 2）将 a 分离出来得 a ，设 ，然后利 用导数研究函数g（ x）在 1， +）上单调性，求出 g（ x）的最小值，使 a g（ x） 可 【解答】 解：（ 1）当 a=0 时 ， f（ x） =x， f（ 0） =0， f（ 0） =1， 切线方程为 y=x （ 2） x 1， 0a ， 设 ，则 ， 设 ，则 （ x） =x（ 1） 0， （ x）在 1， +）上为增函数， （ x） ， ， 在 1， +）上为增函数， g（ x） ， a 【选修 4何证明选讲】 第 16 页（共 19 页） 22如图， 圆 O 的直径， C 为 延长线上一点，切线 圆 O 于点 D， B， 点 E， F （ 1）求证： F； （ 2）若 C， ，求 长 【考点】 相似三角形的性质 【分析】 （ 1）利用弦切角定理、角平分线的性质、三角形外角定理即可得出 （ 2）由（ 1）知可得： 是 ，可得 于 圆 O 的直径，可得 0，利用三角形内角和定理可得： 0，再利用直角三角形的边角关系即可得出 【解答】 证明：（ 1）由弦切角定理可知 A， A+ 由三角形的外角定理得 F 解：（