福州市2015-2016学年高二下期中数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 23 页） 2015年福建省福州市高二（下）期中数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1有 4 个命题： O， A， B， C 为空间四点，且 不构成空间的一个基底，那么点 O， A， B， C 一定共面 若 与 共线， 与 共线，则 与 共线 若 与 共面，则 若 ，则 P， M， A， B 共面 其中，真命题的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 2若 kR，则 “k 5”是 “方程 表示双曲线 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3已知空间四边形 对角线是 M， N 分别是对边 中点，点 G 在线段 ，且 基底向量 表示向量 应是（ ） A B C D 4若平面 与 的法向量分别是 ，则平面 与 的位置关系是（ ） A平行 B垂直 C相交但不垂直 D无法确定 5如果椭圆 的弦被点（ 2， 2）平分，那么这条弦所在的直线的方程是（ ） A x+4y=0 B x+4y 10=0 C x+4y 6=0 D x 4y 10=0 第 2 页（共 23 页） 6当 m 2， 1时，二次曲线 的离心率 e 的取值范围是（ ） A B C D 7与 y 轴相切且和曲线 x2+（ 0x2）内切的动圆的圆心的轨迹方程是（ ） A 4（ x 1）（ 0 x1） B （ x 1）（ 0 x1） C （ x+1）（ 0 x1） D 2（ x 1）（ 0 x1） 8若方程 表示双曲线，则下列方程所表示的椭圆中，与此双曲线有共同焦点的是（ ） A B C D 9已知定点 N（ 0， 1），动点 A， B 分别在抛物线 及曲线 上，若 B 在 A 的上方，且 y 轴，则 周长 l 的取值范围是（ ） A（ ， 2） B（ ） C（ ） D（ ） 10已知点 P 是椭圆 上的动点， 椭圆的两个焦点， O 是坐标原点，若 M 是 角平分线上一点，且 ，则 |取值范围是（ ） A（ 0， 2 B C 2 ） D 0， 4 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5分，共 25分，把答案填在答题卡相应位置上 . 11若向量 =（ 2， 2， 1）， =（ 3， ， 4）， 、 的夹角的余弦值为 ，则 = 12已知平面 的一个法 向量 ，点 A（ 1， 3， 0）在 内，则点 P（ 2， 1，2）到 的距离为 13过抛物线 x 的焦点作直线 l，交抛物线于 A， B 两点，若线段 点的横坐标为 3，则 |于 第 3 页（共 23 页） 14椭圆 的左、右焦点分别为 内切圆周长为 2， A，B 两点的坐标分别为（ （ 则 |值为 15已知双曲线 的实轴为 轴为 坐标系的右半平面沿 y 轴折起，使双曲线的右焦点 至点 F，若点 F 在平面 的射影恰好是该双曲线的左顶点 直线 1成角的正切值为 ，则 a= 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75分，解答赢写出文字说明，证明过程或演算步骤 16如图所示，设 A 为 在平面外一点， G 为 中点 （ 1）试用 表示 （ 2）若 0， 5， | |=| |=2， | |=3，求 | | 17如图，已知正方体 长为 4， E 为面 中心， （ 1）求异面直线 F 之间的距离 （ 2）求二面角 H 平面角的余弦值 第 4 页（共 23 页） 18已知椭圆 C：的左右焦点为 心率为 e，直线 l： y=ex+a 与 y 轴分别交于点 A、 B， M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点，且 （ 1）计算椭圆的离心率 e （ 2）若直线 l 向右平移一个单位后得到 l， l被椭圆 C 截得的弦长为 ，则求椭圆 C 的方程 19已知中心在原点的双曲线 C 的离心率为 ，一条准线方程为 x= （ 1）求双曲线 C 的标准方程 （ 2）若直线 l： y=与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B，且 （其中 O 为原点），求 k 的取值范围 20如图，已知直线 l 与抛物线 y 相切于点 P（ 2， 1），且与 x 轴交于点 A，定点 B 的坐标为（ 2，0） （ I）若动点 M 满足 ，求点 M 的轨迹 C； （ ）若过点 B 的直线 l（斜率不等于零）与（ I）中的轨迹 C 交于不同的两点 E、 F（ E 在 B、 F 之间），试求 积之比的取值范围 21椭圆的中心在原点，其左焦点 抛物线 4x 的焦点重 合，过 直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，与抛物线交于 C， D 两点当直线 l 与 x 轴垂直时， （ ）求椭圆的方程； （ ）求过点 O， 且与椭圆的左准线相切的圆的方程； （ ）求 的最值 2015年福建省福州市高二（下）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 第 5 页（共 23 页） 1有 4 个命题： O， A， B， C 为空间四点，且 不构成空间的一个基底，那么点 O， A， B， C 一定共面 若 与 共线， 与 共线，则 与 共线 若 与 共面，则 若 ，则 P， M， A， B 共面 其中，真命题的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 空间点、线、面的位置；向量的共线定理 【专题】 证明题 【分析】 本题综合考查了共线向量与向量共线定理，以及向量共面定理与点共面的共线，我们要根据向量共线、共面的定义和性质对四个命题 逐一进行判断，即可得到答案 【解答】 解： O， A， B， C 为空间四点，且向量 不构成空间的一个基底，那么点 O，A， B， C 一定共面；这是正确的 如果 = ，则 与 不一定共线，所以 错误； 不正确，如 都是零向量，而 为非零向量时，此等式不成立 若 =x +y ，则 共面，故四点 P、 M、 A、 B 共面，故 正确 所以 正确 故选 B 【点评】 本题考查平面向量基本定理的应用，注意特殊情况，通过给变量取特殊值，举 反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法 2若 kR，则 “k 5”是 “方程 表示双曲线 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断；双曲线的标准方程 【专题】 计算题 第 6 页（共 23 页） 【分析】 先求出方程 表示双曲线时 k 的取值范围，然后根据根据若 pq 与 qp 的真假命题，进行判定即可 【解答】 解： 方程 表示双曲线 （ k 4）（ k+4） 0 解得： k 4 或 k 4 k 5k 4 或 k 4 是真命题，反之是假命题 p 是 q 的充分非必要条件 故选 A 【点评】 本题主要考查了双曲线的标准方程以及充要条件的判定，判断充要条件的方法是：判断命题 p 与命题 q 所表示的范围大小，再根据 “谁大谁必要，谁小谁充分 ”的原则，判断命题 p 与命题 3已知空间四边形 对角线是 M， N 分别是对边 中点，点 G 在线段 ，且 基底向 量 表示向量 应是（ ） A B C D 【考点】 向量的几何表示；向量在几何中的应用 【专题】 计算题 【分析】 根据所给的图形和一组基底，从起点 O 出发，绕着图形的棱到 P，根据图形中线段的长度整理，把不是基底中的向量再用是基地的向量来表示，做出结果 【解答】 解： = = = = = = 故 选 A 第 7 页（共 23 页） 【点评】 本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程 4若平面 与 的法向量分别是 ，则平面 与 的位置关系是（ ） A平行 B垂直 C相交但不垂直 D无法确定 【考点】 向量语言表述面面的垂直、平行关系 【专题】 计算题 【分析】 先计算向量 与向量 的数量积，根据数量积为 0 得到两向量垂直，从而判断出两平面的位置关系 【解答】 解： = 2+8 6=0 平面 与平面 垂直 故选 B 【点评】 本题主要考查了向量数量积以及向量垂直的充要条件，同时考查了两平面的位置关系，属于基础题 5如果椭圆 的弦被点（ 2， 2）平分，那么这条弦所在的直线的方程是（ ） A x+4y=0 B x+4y 10=0 C x+4y 6=0 D x 4y 10=0 【考点】 直线与圆锥曲线的关系 【专题】 计算题 第 8 页（共 23 页） 【分析】 设这条弦与椭圆 交于 A（ B（ 由中点坐标公式知 x1+，y1+，把 A（ B（ 入 6，得 ， 4（ +16（ =0， ， 由此能求出这条弦所在的直线的方程 【解答】 解：设这条弦与椭圆 交于 A（ B（ 由中点坐标公式知 x1+， y1+， 把 A（ B（ 入 6， 得 ， ，得 4（ +16（ =0， ， 这条弦所在的直线的方程 ， 即 x+4y 10=0 故选 B 【点评】 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化 6当 m 2， 1时，二次曲线 的离心率 e 的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【专题】 计算题 【分析】 先确定曲线为双曲线，再确定几何量，利用离心率的公式可求 第 9 页（共 23 页） 【解答】 解：二次曲线为双曲线，则 ， ，故选 C 【点评】 本题主要考查双曲线的几何性质，关键 找出几何量之间的关系 7与 y 轴相切且和曲线 x2+（ 0x2）内切的动圆的圆心的轨迹方程是（ ） A 4（ x 1）（ 0 x1） B （ x 1）（ 0 x1） C （ x+1）（ 0 x1） D 2（ x 1）（ 0 x1） 【考点】 轨迹方程 【专题】 计算题 【分析】 设圆心为（ x， y），则动圆的半径为 x，因为与已知圆内切，还要与 y 轴相切，所以可知 x1再根据动圆与已知圆内切可的等式，从而可求轨迹方程 【解答】 解：设动圆圆心为 P（ x， y），由 动圆切于 y 轴，故 r=|x|又由动圆与已知圆内切可知=2 |x|， 整理得 4|x|+4由于半圆需满足 0x2 的条件， 4（ x 1）（ 0 x1） 故选 A 【点评】 本题考查轨迹方程的求法，关键是利用好相切的条件 8若方程 表示双曲线，则下列方程所表示的椭圆中，与此双曲线有共同焦点的是（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质；椭圆的简单性质 【专题】 计算题 第 10 页（共 23 页） 【分析】 若方程 表示双曲线则 0 即 0， 当 p 0， q 0 时，曲线表示焦点在 y 轴的双曲线， 当 p 0， q 0 时，曲线 表示焦点在 x 轴的双曲线，结合选项可判定 【解答】 解：若方程 表示双曲线则 0 即 0 当 p 0， q 0 时，曲线 表示焦点在 y 轴的双曲线， A， C 的方程没有意义 B：由于 2q+p q 0，表示焦点在 x 轴上的椭圆， D：由于 2p+q p 0，表示焦点在 x 轴上的椭圆 则此情况不符合题意，舍去 当 p 0， q 0 时，曲线 表示焦点在 x 轴的双曲线 A：由于（ 2q+p） p 0，表示曲线是焦点在 x 轴上的椭圆 B：由于 2q+p q 0，方程没有意义 C：由于 2p q p 0，表示焦点在 x 轴上上的椭圆 D：由于 2p+q p 0，方程没有意义 综合可得 C 符合题意 故选 C 【点评】 本题主要考查了二次方程表示椭圆及双曲线的条件，及椭圆与双曲线的焦点位置的判定，属于基础方法应用的考查 9已知定点 N（ 0， 1），动点 A， B 分别在抛物线 及曲线 上，若 B 在 A 的上方，且 y 轴，则 周长 l 的取值范围是（ ） A（ ， 2） B（ ） C（ ） D（ ） 【考点】 椭圆的简单性质；抛物线的简单性质 第 11 页（共 23 页） 【专题】 计算题 【分析】 可考虑用抛物线的焦半径公式和椭圆的焦半径公式来做，先通过联立抛物线与椭圆方程，求出 A， B 点的 纵坐标范围，再利用焦半径公式转换为以 B 点的纵坐标为参数的式子，再根据前面求出的 B 点纵坐标范围计算即可 【解答】 解：由 得，抛物线 及曲线 在第二象限的交点纵坐标为 ， 设 A（ B（ 则 0， ， 由可得，三角形 周长 l=|+y1+a +a+ + ， ， 3+ 故选 C 【点评】 本题考查了抛 物线与椭圆焦半径公式的应用，做题时要善于把未知转化为已知 10已知点 P 是椭圆 上的动点， 椭圆的两个焦点， O 是坐标原点，若 M 是 角平分线上一点，且 ，则 |取值范围是（ ） A（ 0， 2 B C 2 ） D 0， 4 【考点】 椭圆的简单性质；数量积判断两个平面向量的垂直关系 【专题】 计算题 【分析】 结合椭圆的图象，当点 P 在椭圆与 y 轴交点处时，点 M 与原点 O 重合，此时 |最小值0；当点 P 在椭圆与 x 轴交点处时，点 M 与焦点 合，此时 |最大值 2 ，由此能够得到 |取值范围 【解答】 解：由题意得 c=2 ，当 P 在椭圆的短轴顶点处时， M 与 O 重合， |得最小值等于 0 当 P 在椭圆的长轴顶点处时， M 与 合， |得最大值等于 c=2 由于 ，故 |取值范围是 ， 故选 B 【点评】 本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，结合图象解题，事半功倍 第 12 页（共 23 页） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5分，共 25分，把答案填在答题卡相应位置上 . 11若向量 =（ 2， 2， 1）， =（ 3， ， 4）， 、 的夹角的余弦值为 ，则 = 0 【考点】 空间向量的数量积运算 【专题】 计算题；对应思想；向量法；空间向量及应用 【分析】 根据向量的夹角公式即可求出答案 【解答】 解：向量 =（ 2， 2， 1）， =（ 3， ， 4）， =23+2 14=2+2， | |= =3， | |= = ， 、 的夹角的余弦值为 ， = = ， 解得 =0， 故答案为： 0 【点评】 考查空间向量的数量积和模的运算，和利用数量积求向量的夹角，属基础题 12已知平面 的一个法向量 ，点 A（ 1， 3， 0）在 内，则点 P（ 2， 1，2）到 的距离为 【考点】 点、线、面间的距离计算 【专题】 计算题 【分析】 先求出 的坐标，利用向量的知识，点 P（ 2， 1， 2）到 的距离等于 在法向量方向上的投影的绝对值 【解答】 解： =（ 1， 2， 2）， 在法向量 方向上的投影等于 = ， 则点 P（ 2， 1， 2）到 的距离为 故答案为： 【点评】 本题考查点面距离的计算利用向量的方法降低思维难度，使问题 更容易解决 第 13 页（共 23 页） 13过抛物线 x 的焦点作直线 l，交抛物线于 A， B 两点，若线段 点的横坐标为 3，则 |于 8 【考点】 抛物线的简单性质 【专题】 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 根据抛物线方程得它的准线为 l： x= 1，从而得到线段 点 M 到准线的距离等于 4过A、 B 分别作 l 垂直，垂足分别为 C、 D，根据梯形中位线定理算出 |2|8，结合抛物线的定义即可算出 长 【解答】 解： 抛物线方程为 x， 抛物线的焦点为 F（ 1， 0），准 线为 l： x= 1 设线段 中点为 M（ 3， 则 M 到准线的距离为： |3（ 1） =4， 过 A、 B 分别作 l 垂直，垂足分别为 C、 D 根据梯形中位线定理，可得 |2|8 再由抛物线的定义知： | | |8 故答案为： 8 【点评】 本题给出过抛物线 x 焦点的一条弦中点的横坐标，求该弦的长度着重考查了抛物线的标准方程和简单几何 性质等知识，属于基础题 14椭圆 的左、右焦点分别为 内切圆周长为 2， A，B 两点的坐标分别为（ （ 则 |值为 3 【考点】 椭圆的简单性质 【专题】 计算题 第 14 页（共 23 页） 【分析】 先根据椭圆方程求得 a 和 c，及左右焦点的坐标，进而根据三角形内切圆面积求得内切圆半径，进而根据 面积 = 面积 + 面积求得 面积 =3|而根据内切圆半 径和三角形周长求得其面积，建立等式求得 |值 【解答】 解：椭圆： ， a=3， b= ， c=2，左、右焦点 2， 0）、 2， 0）， ，则内切圆的半径为 r=1， 而 面积 = 面积 + 面积 = | | （ |2| A、 B 在 x 轴的上下两侧） 又 面积 |r（ | 1（ 2a+2a） =2a=6 所以 2|6， |3 故答案为 3 【点评】 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，三角形内 切圆性质，本题的关键是求出 面积，属于中档题 15已知双曲线 的实轴为 轴为 坐标系的右半平面沿 y 轴折起，使双曲线的右焦点 至点 F，若点 F 在平面 的射影恰好是该双曲线的左顶点 直线 1成角的正切值为 ，则 a= 1 【考点】 双曲线的简单性质；直线与平面所成的角 【专题】 计算题 【分析】 由题意可得直线 平面 成角为 得 = = ，求得 值， 直角三角形 ，由勾股定理可得 1此求出 a 的值 【解答】 解：如图所示：由题意可得 实轴 4， =2 ， 面 直线 平面 = = ， 又 FO=c= ， 直角三角形 ，由勾股定理可得 1 第 15 页（共 23 页） 即 4+a=4+ ，解得 a=1 故答案为： 1 【点评】 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，直线和平面所成的角，体现了数形结合的数学思想，属于 中档题 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75分，解答赢写出文字说明，证明过程或演算步骤 16如图所示，设 A 为 在平面外一点， G 为 中点 （ 1）试用 表示 （ 2）若 0， 5， | |=| |=2， | |=3，求 | | 【考点】 向量在几何中的应用 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）利用向量的三角形法则及向量的运算律得出 即可； （ 2）利用（ 1）得出的结论，先将向量平方，再将等式求模即得 第 16 页（共 23 页） 【解答】 解：（ 1） = = = = （ 2） = = 4+ 4+ + + + 223 + ， 【点评】 本题考查向量在几何中的应用、向量的运算法则及向量的运算律 17如图，已知正方体 长为 4， E 为面 中心， （ 1）求异面直线 F 之间的距离 （ 2）求二面角 H 平面角的余弦值 【考点】 与二面角有关的立体几何综合题；点、线、 面间的距离计算 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）求出异面直线 方向向量，以及与它们垂直的向量 ，异面直线 （ 2）求出平面 法向量为 ，平面 法向量为 ，二面角 H 平面角的余弦值的绝对值等于 夹角的余弦绝对值 【解答】 解：如图建立直角坐标系 E（ 2， 0， 2）， 4， 4， 0）， H（ 1， 0， 4） （ 1） =（ 2， 4， 2）， =（ 1， 4， 3） =（ 1， 0， 2），设 =（ x， y， z） 第 17 页（共 23 页） 即 ，取 x=1，则 z= 3， y= 2， 则 =（ 1， 2， 3） 异面直线 F 之间的距离为 = （ 2） =（ 2， 4， 2）， =（ 2， 0， 2）， =（ 1， 0， 2）， 设平面 法向量为 =（ x， y， z） 则 即 取 x=2，则 y= ， z=1 =（ 2， ， 1） 令平面 法向量为 =（ x， y， z） 则 取 x=1， y=0， z=1，则为 =（ 1， 0， 1） |= = 二面角 H A 为钝二面角 二面角 H 平面角的余弦值为 【点评】 本题考查异面直线距离，二面角的大小计算做题的关键是熟练掌握向量法求异面直线距离、二面角的公式与步骤，利用向量法求空间距离、空间角是向量的一个重要运用，向量的引入，为立体几何中二面角求解带来了极大的方便，题后应注意总结此法求二面角的规律 18已知椭圆 C：的左右焦点为 心率为 e，直线 l： y=ex+a 与 y 轴分别交于点 A、 B， M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点，且 （ 1）计算椭圆的离心率 e 第 18 页（共 23 页） （ 2）若直线 l 向右平移一个单位后得到 l， l被椭圆 C 截得的弦长为 ，则求椭圆 C 的方程 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质 【专题】 综合题 【分析】 （ 1）直线 l 方程与椭圆方程联立，求出交点 M 的坐标，利用 得到 e 值 （ 2）由（ 1）中求得的 e 值，可求出直线 l 方程，并化简椭圆方程，使其只含一个参数，设 l方程，与椭圆方程联立，用弦长公式求出 l被椭圆 C 截得的弦长，令其等于 ，即可得到椭圆方程 【解答】 解：（ 1） y=ex+a， A（ ， 0）， B（ 0， a） 由 ， M（ c， ），由 ，得 （ c+ ， ） = （ ， a），即 = ， e= （ 2） e= ，设椭圆的方程为 3l： y= x +a 即 消 y，得 4 4a 2） x+4a+1=0设 l 交椭圆于 B（ C（ x1+ ， l= = = a= 椭圆的方程为 【点评】 本题主要考查了利用直线与椭圆位置关系求参数的值，注意韦 达定理的应用 19已知中心在原点的双曲线 C 的离心率为 ，一条准线方程为 x= （ 1）求双曲线 C 的标准方程 第 19 页（共 23 页） （ 2）若直线 l： y=与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B，且 （其中 O 为原点），求 k 的取值范围 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算；双曲线的标准方程；双曲 线的简单性质 【专题】 综合题 【分析】 （ 1）由 ，得 ，由此能求出双曲线方程 （ 2）由 ，知 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 =36（ 1 =0，再由韦达定理结合题设条件进行求解 【解答】 解：（ 1） ， a= ， c=2， 双曲线方程为 =1 （ 2） ， （ 1 36 9=0， 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 =36（ 1 =0， 即 ，且 1 x1+， 由 2，得 2， 而 =（ ） 第 20 页（共 23 页） = 于是 2，即 ， 3， 由 得 1， 【点评】 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化 20如图，已知直线 l 与抛物线 y 相切于点 P（ 2， 1），且与 x 轴交于点 A，定点 B 的坐标为（ 2，0） （ I）若动点 M 满足 ，求点 M 的轨迹 C； （ ）若过点 B 的直线 l（斜率不等于零）与（ I）中的轨迹 C 交于不同的两点 E、 F（ E 在 B、 F 之间），试求 积之比的取值范围 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题 【专题】 综合题；压轴题；转化思想 【分析】 （ I）对抛物线方程进行求导，求得直线 l 的斜率，设出 M 的坐标，利用求得 x 和 y 的关系 （ l方程代入椭圆的方程，消去 y，利 用判别式大于 0 求得 k 的范围，设出 E， F 的坐标，利用韦达定理表示出 x1+ ，则可推断出 ，进而表示出（ 2） （ 2）和（ 2） +（ 2），最后求得 k 和 的关系，利用 k 的范围求得 的范围 【解答】