安徽省蚌埠市2016年高考数学三模试卷（理科）含答案解析

安徽省蚌埠市 2016 年高考数学三模试卷（理科） （解析版） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分 、 B、 C、 D 的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卷相应位置 . 1若复数 z 满足 z（ 1+i） =2 2i（ i 为虚数单位），则 |z|=（ ） A 1 B C D 2 2已知集合 M=x| 1 x 1， N=x| 0，则 MN=（ ） A x|0 x 1 B x|0 x 1 C x| 1 x 1 D x| 1 x 1 3各项均为正数的等比数列 ， a4+于（ ） A 16 B 27 C 36 D 27 4已知 a 0，且 a 0，下列函数中，在其定义域内是单调函数而且又是奇函数的是（ ） A y= y= y=a y=设实数 x， y 满足约束条件 ，则 z= 2x+3y 的取值范围是（ ） A 6， 17 B 5， 15 C 6， 15 D 5， 17 6已知两个非零向量 ， 满足 （ ） =0，且 2| |=| |，则 ， =（ ） A 30 B 60 C 120 D 150 7执行如图所示的程序框图，如果输入 x=3，则输出 k 的值为（ ） A 6 B 8 C 10 D 12 8已知 别是椭圆 + =1（ a b 0）的左，右焦点， A， B 分别为椭圆的上，下顶点过椭圆的右焦点 直线交椭圆于 C， D 两点 周长为 8，且直线 C 的斜率之积为 则椭圆的方程为（ ） A + B + =1 C + D + =1 9一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 2 B 2 C 4 D 5 10命题 p： “|a|+|b| 1”；命题 q： “对任意的 x R，不等式 1 恒成立 ”，则p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 11如图，已知直线 y=kx+m 与曲线 y=f（ x）相切于两点，则 F（ x） =f（ x） （ ） A 2 个零点 B 3 个极值点 C 2 个极大值点 D 3 个极大值点 12从 1， 2， 3， 4， 5 中挑出三个不同数字组成五位数，则其中有两个数字各用两次（例如，12332）的概率为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分 13已知双曲线 的渐近线方程为 ，则它的离心率为 14 在（ x+1） 11 的展开式中， 的系数是 15在四面体 ， D=3， C=3， D=4，则该四面体的外接球的表面积为 16设 等差数列 前 n 项和，且满足条件 ，则 的值为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分 明过程和演算步骤 . 17设锐角三角形 内角 A， B， C 的对 边分别为 a， b， c， a=2 ）求 B 的大小； （ ）求 取值范围 18从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间 55， 65）， 65， 75）， 75， 85内的频率之比为 4： 2： 1 （ I）求这些产品质量指标值落在区间 75， 85内的频率； （ ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取 3 件，记这 3 件产品中质量指标值位于区间 45， 75）内的产品件数为 X，求 X 的分布列与数学期望 19在四棱锥 P ， 面 平面 20，且 B= （ ）求证： 平面 （ ）求二面角 B D 的余弦值 20过抛物线 E： p 0）的准线上的动作 E 的两条切线，斜率分别 点为A， B （ 1）求 （ 2） C 在 的射影 H 是否为定点，若是，请求出其坐标，若不是，请说明理由 21设函数 f（ x） =x 1） + （ a R） （ ）求函数 f（ x）的单调区间； （ ）当 x 2， x 1） a（ x 2）恒成立，求实数 a 的取值范围 选修 4何证明选讲 22如图，在 ， 0， O 是以 直径的圆， 延长线与 延长线交于点 E （ ）求证： O 的切线； （ ）若 ， ，求 长 选修 4标系与参数方程 23（ 2016 蚌埠三模）已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），曲线 C 的极坐标方程是 = ，以极点为原点，极轴为 x 轴正方向建立直角坐标系，点 M（ 1，0），直线 l 与曲线 C 交于 A、 B 两点 （ ）写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的 普通方程； （ ）求线段 度之积 值 选修 4等式证明选讲 24 设函数 f（ x） =2|x+a| |x+b|， （ ）当 a=0， b= 时，求使 f（ x） 的 x 取值范围； （ ）若 f（ x） 恒成立，求 a b 的取值范围 2016 年安徽省蚌埠市高考数学三模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大 题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分 、 B、 C、 D 的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卷相应位置 . 1若复数 z 满足 z（ 1+i） =2 2i（ i 为虚数单位），则 |z|=（ ） A 1 B C D 2 【分析】 【方法一】利用复数的代数运算法则，求出复数 z，再计算 z 的模长； 【方法二】根据复数相等，其模长相等，直接求出复数 z 的模长也可 【解答】 解：【方法一】复数 z 满足 z（ 1+i） =2 2i（ i 为虚数单位）， z= = = = 2i， |z|=| 2i|=2 【方法二】复数 z 满足 z（ 1+i） =2 2i（ i 为虚数单位）， 则 |z（ 1+i） |=|（ 2 2i） |， 即 |z|1+i|=|2 2i|， |z| =2 ， |z|=2 故选： D 【点评】 本题考查了复数求模以及代数形式的混合运算问题，对于复数直接求模长能够简化运算，是基础题目 2已知集合 M=x| 1 x 1， N=x| 0，则 MN=（ ） A x|0 x 1 B x|0 x 1 C x| 1 x 1 D x| 1 x 1 【分析】 求出 N 中不等式的解集确定出 N，找出 M 与 N 的交集即可 【解答】 解：由 N 中不等式变形得： x（ x 1） 0，且 x 1 0， 解得： 0 x 1，即 N=x|0 x 1， M=x| 1 x 1， MN=x|0 x 1 故选： A 【点评】 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 3各项均为正数的等比数列 ， a4+于（ ） A 16 B 27 C 36 D 27 【分析】 由 a1+， a3+，由等比数列的性质可得， a1+a2+a3，a3+a4+次构成等比数列，由 此能求出 a4+ 【解答】 解：由 得 a1+， a3+， 由等比数列的性质，得 a1+a2+a3+a4+次构成等比数列， 又等比数列 各项均为正数， 所以 a2+= =3， a4+7 故选 B 【点评】 本题考查等比数列的通项公式和前 n 项和公式的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答 4已知 a 0，且 a 0，下列函数中，在其定义域内是单调函数而且又是奇函数的是（ ） A y= y= y=a y=分析】 利用单调函数、函数奇偶性的定义，即可得出结论 【解答】 解： A y=奇函数，但在其定义域内不是单调函数，故不正确； B y=偶函数，故不正确； C f（ x） =a x， f（ x） =a x f（ x） = f（ x），函数是奇函数； f（ x） =a x=， a 1，函数单调递增， 0 a 1，函数单调递减，故 C 正确； D y=奇函数，但在其定义域内不是单调函数，故不正确 故选： C 【点评】 本题考查单调函数、函数奇偶性的定义，考查学生的计算能力，比较基础 5设实数 x， y 满足约束条件 ，则 z= 2x+3y 的取值范围是（ ） A 6， 17 B 5， 15 C 6， 15 D 5， 17 【分析】 首先由约束条件画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值 【解答】 解： 约束条件对应的平面区域如图： 目标函数变形为 ， 所以当目标函数过 B 时 z 最小，过 大； 由方程组得到 B（ 3， 0）， C（ 3， 3） 所以 z 的最小值为 2 3+0= 6；最大值为 2 （ 3） +3 3=15； 所以 z 的取值范围是 6， 15； 故选： C 【点评】 本题考查了简单线性规划问题；利用数形结合求目标函数的最值 6已知两个非零向量 ， 满足 （ ） =0，且 2| |=| |，则 ， =（ ） A 30 B 60 C 120 D 150 【分析】 根据题意， （ ） =0，则 = ，即 | |2= ，结合 2| |=| |，将其代入， = 中可得 ， 的值，进而可得 ， 的值，即可得答案 【解答】 解：根据题意， （ ） =0，则 = ，即 | |2= ， 又由 2| |=| |， 则 ， = = = ； 即 ， =60； 故选： B 【点评】 本题考查向量的数量积的运算，关键是 7执行如图所示的程序框图，如果输入 x=3，则输出 k 的 值为（ ） A 6 B 8 C 10 D 12 【分析】 根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件 x 100，跳出循环体，确定输出 k 的值 【解答】 解：模拟执行程序，可得 x=3， k=0 x=9， k=2 不满足条件 x 100， x=21， k=4 不满足条件 x 100， x=45， k=6 不满足条件 x 100， x=93， k=8 不满足条件 x 100， x=189， k=10 满足条件 x 100，退出循环，输出 k 的值为 10 故选： C 【点评】 本题考 查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法 8已知 别是椭圆 + =1（ a b 0）的左，右焦点， A， B 分别为椭圆的上，下顶点过椭圆的右焦点 直线交椭圆于 C， D 两点 周长为 8，且直线 C 的斜率之积为 则椭圆的方程为（ ） A + B + =1 C + D + =1 【分析】 由 周长为 8，可得 4a=8，解得 a=2设 C（ 可得 ，由于直线 斜率之积为 ，可得 = ，代入化简可得 可得出 【解答】 解： 周长为 8， 4a=8，解得 a=2 设 C（ 则 ， 直线 斜率之积为 ， = ， + =0， 化为： + =0，可得 椭圆的标准方程为： + 故选： C 【点评】 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 9一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 2 B 2 C 4 D 5 【分析】 由三视图可知：该几何体为一个三棱柱截去一个四棱锥 F 可得出 【解答】 解：由三视图 可知：该几何体为一个三棱柱截去一个四棱锥 F 图所示， 该几何体的体积 V= 3 =2 故选： B 【点评】 本题考查了三视图的有关计算、三棱柱与三棱锥的体积计算 公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 10命题 p： “|a|+|b| 1”；命题 q： “对任意的 x R，不等式 1 恒成立 ”，则p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 a=b=0 时，不等式 1 恒成立 a 与 b 不全为 0 时，不等式 1 化为： x+） ，由于对任意的 x R，不等式 1 恒成立 ”，可得 1，化简即可判断出结论 【解答】 解： a=b=0 时，不等式 1 恒成立 a 与 b 不全为 0 时，不等式 1 化为： x+） ， 对任意的 x R，不等式 1 恒成立 ”， 1， a2+1，画出图象：可知：（ a， b）表示的是以原点为圆心， 1 为半径的圆及其内部 而 |a|+|b| 1 可知：（ a， b）表示的是正方形 其内部 p 是 q 的充分不必要条件 故选： A 【点评】 本题考查了三角函数求值、不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题 11如图，已知直线 y=kx+m 与曲线 y=f（ x）相切于两点，则 F（ x） =f（ x） （ ） A 2 个零点 B 3 个极值点 C 2 个极大值点 D 3 个极大值 点 【分析】 对函数 F（ x） =f（ x） 导数，根据条件判断 f（ x）与 k 的关系进行判断即可 【解答】 解： 直线 y=kx+m 与曲线 y=f（ x）相切于两点， kx+m=f（ x）有两个根，且 f（ x） kx+m， 由图象知 m 0， 则 f（ x） 即则 F（ x） =f（ x） 0，则函数 F（ x） =f（ x） 有零点， 函数 f（ x）有 3 个极大值点， 2 个极小值点， 则 F（ x） =f（ x） k， 设 f（ x）的三个极大值点分别为 a， b， c， 则在 a， b， c 的左侧， f（ x） k， a， b， c 的右侧 f（ x） k，此时函数 F（ x） =f（ x） 3 个极大值， 在 d， e 的左侧， f（ x） k， d， e 的右侧 f（ x） k，此时函数 F（ x） =f（ x） 2个极小值， 故函数 F（ x） =f（ x） 5 个极值点， 3 个极大值， 2 个极小值， 故选： D 【点评】 本题主要考查函数零点的判断以及极值的判断，利用图象求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度 12 从 1， 2， 3， 4， 5 中挑出三个不同数字组成五位数，则其中有两个数字各用两次（例如，12332）的概率为（ ） A B C D 【分析】 其中，选哪几个数，结果都一样，其概率是一样的，分别假设所取的数为 1， 2， 3，第一种，有 1 个数字用了 3 次，第二种，其中有两个数字各用两次（即其中一 个数字只使用1 次），分别根据分类和分步计数原理求出每种情况，然后根据概率公式计算即可 【解答】 解：从 1， 2， 3， 4， 5 中挑出三个不同数字组成五位数，例如为 1， 2， 3， 则有 2 种情况，第一种，有 1 个数字用了 3 次，第二种，其中有两个数字各用两次（即其中一个数字只使用 1 次）， 假设 1 用了 3 次， 用分三类，当 3 个 1 都相邻时，有 种，当 3 个 1 有 2 个 1 相邻时，有 2 种，当 3 个 1 都不相邻时，有 种， 故共有 6+12+2=20 种， 假设 1 用了 1 次，（ 2 和 3 各用了 2 次），故有 =30 种， （其中，选哪几个数，结果都一样，其概率是一样的）， 故其中有两个数字各用两次（例如， 12332）的概率为 = 故选： B 【点评】 本题考查了排列组合的古典概率的问题，关键是掌握分类和分步计数原理，属于中档题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分 13已知双曲线 的渐近线方程为 ，则它的离心率为 2 【分析】 利用双曲线 的渐近线方程为 ，可得 ，结合离心率公式，即可求得结论 【解答】 解：由题意， 双曲线 的渐近线方程为 ， =4 e=2 故答案为： 2 【点评】 本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题 14在（ x+1） 11 的展开式中， 的系数是 275 【分析】 （ x+1） 11 的展开式中，通项公式 = （ 11 r（ 1 x） r（ r=0， 1， 2， ，11）令 11 r=0， 11 r=1，解得 r，再利用通项公式 即可得出 【解答】 解：（ x+1） 11 的展开式中，通项公式 = （ 11 r（ 1 x） r（ r=0， 1，2， ， 11） 令 11 r=0，解得 r=11，则 （ 1 x） 11，（ 1 x） 11 的通项公式 = ，令 k=3，则可得： 的系数是 1= 165 令 11 r=1，解得 r=10，则 1 x） 10，（ 1 x） 10 的通项公式 = ，令 k=1，则可得： 的系数是 = 110 综上可得： 的系数是 165 110= 275 故答案为： 275 【点评】 本题考查了二项式定理的应用、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 15在四面体 ， D=3， C=3， D=4，则该四面体的外接球的表面积为 17 【分析】 由题意可采用割补法，考虑到四面体 四个面为全等的三角形，所以四面体扩充为一个长、宽、高分别为 x， y， z 的长方体，且面上的对角线分别为 3， 3， 4，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积 【解答】 解：由题意可采用割补法，考虑到四面体 四个面为全等的三角形， 所以四面体扩充为一个长、宽、高分别为 x， y， z 的长方体，且面上的对角线分别为 3， 3，4， 并且 x2+， x2+， y2+6， 设球半径为 R，则有（ 2R） 2=x2+y2+7， 47， 球的表面积为 S=47 故答案为： 17 【点评】 本题考查几何体的外接球的表面积的求法，割补法的应用，判断外接球的直径是长方体的对角线的长是解题的关键之一 16设 等差数列 前 n 项和，且满足条件 ，则 的值为 【分析】 设 An=n+5）， Bn=2n+2），求出通项，即可求出 的值 【解答】 解： 等差数列 前 n 项和，且满足条件 ， 设 An=n+5）， Bn=2n+2）， n 1=2k（ n+2）， n 1=4 = = 故答案是： 【点评】 本题考查等差数列的通项与求和，考查学生的计算能力，正确求出等差数列的通项是关键 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分 明过程和演算步骤 . 17设锐角三角形 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， a=2 ）求 B 的大小； （ ）求 取值范围 【分析】 （ 1）先利用正弦定 理求得 值，进而求得 B （ 2）把（ 1）中求得 B 代入 利用两角和公式化简整理，进而根据 A 的范围和正弦函数的性质求得 取值范围 【解答】 解：（ ）由 a=2据正弦定理得 所以 ， 由 锐角三角形得 （ ） = = 由 锐角三角形知， 0 A ， 0 A ， A ， ， 所以 由此有 ， 所以， 取值范围为（ ， ） 【点评】 本题主要考查了正弦定理得应用和三角函数中两角和公式的运用涉及了正弦函数的性质，考查了学生对三角函数知识的把握 18从某企业生产 的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间 55， 65）， 65， 75）， 75， 85内的频率之比为 4： 2： 1 （ I）求这些产品质量指标值落在区间 75， 85内的频率； （ ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取 3 件，记这 3 件产品中质量指标值位于区间 45， 75）内的产品件数为 X，求 X 的分布列与数学期望 【分析】 （ I）由题意，质量指标值落在区间 55， 65）， 65， 75）， 75， 85内的频率之和，利用之比为 4： 2： 1，即可求出这些产品质量指标值落在区间 75， 85内的频率； （ ）求出每件产品质量指标值落在区间 45， 75）内的概率为 用题意可得： X B（ 3， 根据概率分布知识求解即可 【解答】 解：（ I）由题意，质量指标值落在区间 55， 65）， 65， 75）， 75， 85内的频率之和为 1 质量指标值落在区间 55， 65）， 65， 75）， 75， 85内的频率之比为 4： 2： 1， 这 些产品质量指标值落在区间 75， 85内的频率为 （ ）根据样本频率分布直方图，每件产品质量指标值落在区间 45， 75）内的概率为 由题意可得： X B（ 3， X 的概率分布列为 X 0 1 2 3 P 点评】 本题考查概率分布在实际问题中的应用，结合了统计的知识，综合性较强，属于中档题 19在四棱锥 P ， 面 平面 20，且 B= （ ）求证： 平面 （ ）求二面角 B D 的余弦值 【分析】 （ ）作 E，推出 平面 后证明 平面 （ ）连 出 到 平面 G， H，连求的二面角为 90+ 解即可 【解答】 解：（ ）证明：作 E 20， 相交， 又 平面 平面 平面 平面 （ 5 分） （ ）连 由已知得 ， 0， 从而 ， 平面 从而平面 平面 G， H，连 设则所求的二面角为 90+ ， ， ，所以 （ 12 分） 【点评】 本题考查直线与平面垂直，二面角的平面镜的求法，考查空间想象能力以及计算能力 20过抛物线 E： p 0）的准线上的动作 E 的两条切线，斜率分别 点为A， B （ 1）求 （ 2） C 在 的射影 H 是否为定点，若是，请求出其坐标 ，若不是，请说明理由 【分析】 （ 1）设 C（ ， t），过 C 的切线 l 的方程为： y t=k（ x+ ），联立抛物线 E：去 x，利用 =0，结合韦达定理求 （ 2）确定直线 过焦点 F，直线 一个方向向量为 =（ 1 2k），证明 =0，即可得出结论 【解答】 解：（ 1）设 C（ ， t），过 C 的切线 l 的方程为： y t=k（ x+ ）， 联立抛物线 E： 去 x 得： 2py+p（ 2t+=0 l 与 E 相切时，方程 由两个相等的实根，则 =0，即 p=0 方程 的两根 切线 斜率，由根与系数的关系知： 1； （ 2）设 A（ B（ 斜率为 k，则 方程 的相等实根， 由根与系数的 关系得 ，则 由题意， 斜率为 ， 同理 = 直线 方程为 y+（ x ） 令 y=0，得 x= ， 直线 过焦点 F 由方程 得 t= ，则直线 一个方向向量为 =（ 1 2k）， =（ p， ） = （ 2k， 1 =0， C 在 的射影为定点 F（ ， 0） 【点评】 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查根与系数的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 21设函数 f（ x） =x 1） + （ a R） （ ）求函数 f（ x）的单调区间； （ ）当 x 2， x 1） a（ x 2）恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （ ）求得函数的定义域，求导，根据二次函数图象及性质，利用 0，再对 f（ x）的单调区间； （ ） x 1） a（ x 2）恒成立，等价于 f（ x） a 0，构造辅助函数，根据（ ）讨论 a 的取值，判断 f（ x）的单调区间，即可求得实数 a 的取值范围 【解答】 解：（ ）由题易知函数 f（ x）的定义域为（ 1， +）， ， （ 2 分） 设 g（ x） =2a， =48a=4a（ a 2）， 当 0，即 0 a 2 时， g（ x） 0， f（ x） 0， f（ x）在（ 1， +）上是增函数， （ 3 分） 当 a 0 时， g（ x）的对称轴 x=a，当 x 1 时， g（ x） g（ 1） 0， g（ x） 0，函数 f（ x）在（ 1， +）上是增函数， 当 a 2 时，设 方程 2a=0 的两个根， 则 x1=a 1， x2=a+ ， 当 1 x x ， f（ x） 0， f（ x）在（ 1， （ +）上增函数， （ 4 分） 当 x ， f（ x） 0， f（ x）在（ 是减函数； （ 5 分） 综合以上可知：当 a 2 时， f（ x）的单调递增区间为（ 1， +），无单调减区间； 当 a 2 时， f（ x）的单调递增区间为 ， 单调减区间为 ； （ 6 分） （ ）当 x 2 时， ， （ 7 分） 令 h（ x） =f（ x） a，由（ ）知： 当 a 2 时， f（ x）在（ 1， +）上是增函数， h（ x）在（ 2， +）上增函数， 当 x 2 时， h（ x） h（ 2） =0，上式成立； 当 a 2 时， f（ x）在（ a ， a+ ）是减函数， h（ x）在（ 2， a+ ）是减函数， x （ 2， a+ ）时， h（ x） h（ 2） =0，上式不成立， 综上， a 的取值范 围是（ ， 2 （ 12 分） 【点评】 本题考查利用函数的导数求函数的单调性及恒成立问题综合应用，关键是通过分类讨论得到函数的单调区间及会转化利用已证的结论解决问题，属于难题 选修 4何证明选讲 22如图，在 ， 0， O 是以 直径的圆， 延长