2016年26省联考高考数学文科模拟试卷（乙卷）含答案解析

第 1 页（共 24 页） 2016 年 “超级全能生 ”26 省联考高考数学模拟试卷（乙卷）（文科） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1复平面内表示复数 的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知 ，则 AB=（ ） A B C D 3根据如下的样本数据： x 1 2 3 4 5 6 7 y 到的回归方程为 y=bx+a，则（ ） A a 0， b 0 B a 0， b 0 C a 0， b 0 D a 0， b 0 4点 A 是 O 上的动点，点 B 是 O 内的定点（不与点 O 重合） 直平分 Q，交 点 P，则点 P 的轨迹是（ ） A直线 B圆 C椭圆 D双曲线 5若函数 f（ x）同时满足以下三个性质： f（ x）的最小正周期为 ； 对任意的 x R，都有 f（ x ） +f（ x） =0； f（ x）在（ ， ）上是减函数，则 f（ x）的解析式可能是（ ） A f（ x） = f（ x） = f（ x） =x+ ） D f（ x） =已知点 A（ 1， 1）， B（ 2， 1）， C（ 1， 2），若 1 2， 2 3，则 的取值范围是（ ） A 1， 10 B C 1， 5 D 7执行如图所示的程序框图，则输出的 k 的值为（ ） 第 2 页（共 24 页） A 4 B 5 C 6 D 7 8设 x， y 满足约束条件 ，且 z=ax+y 的最大值为 4，则 a=（ ） A 2 B C 2 D 4 9如图所示，某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A B 4 C 3 D 2 10定义在（ 0， +）上的函数 f（ x）满足： f（ x） x），且 f（ 2） =4，则不等式 f（ x） 2x 0 的解集为（ ） A（ 2， +） B（ 0， 2） C（ 0， 4） D（ 4， +） 11已知抛物线 C： x 的焦点为 F， P， Q 是抛物线 C 的两点，且 ，弦 中点 E 在准线上的射影为 H，则 的最大值为（ ） A 1 B C D 2 12如图， M 是正方 体 角线 的动点，过点 M 作垂直于面 、 Q 两点，设 AM=x， PQ=y，则函数 y=f（ x）的图象大致为（ ） 第 3 页（共 24 页） A B C D 二、填空题：本大题共 4 小 题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上 . 13已知 p： x m， q： |x 2| 1，若 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是 14某校从五月开始，要求高三学生下午 2： 30 前到校，加班班主任李老师下午每天到校，假设李老师和小红同学在下午 2： 00 到 2： 30 之间到校，且每人在该段时间到校都是等可能的，则小红同学比李老师至少早 5 分钟到校的概率为 15已知点 O 为 一点，满足 ，若，则 16直线 l 平面 ，垂足是点 P，正四面体 棱长为 2，点 O 在平面 上运动，点A 在直线 l 上运动，则点 P 到直线 距离的最大值为 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17数列 前 n 项和为 2Sn+an=n+2， n N* （ 1）求数列 通项公式 （ 2）求数列 n（ n） 的前 n 项和 18某校高安文科 600 名学生参加了 12 月的模拟考试，学校为 了了解高三文科学生的数学、外语请客，利用随机数表法从抽取 100 名学生的成绩进行统计分析，将学生编号为 000， 001，002， 599 （ 1）若从第 6 行第 7 列的数开始右读，请你一次写出最先抽出的 5 个人的编号（下面是摘自随机数表的第 4 恒值第 7 行）； 12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76 55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 （ 2）抽出的 100 名学生的数学、外语成绩如下表： 外语 优 良 及格 数学 优 8 m 9 良 9 n 11 及格 8 9 11 若数学成绩优秀率为 35%，求 m， n 的值； （ 3）在外语成绩为良的学生中，已知 m 12， n 10，求数学成绩优比良的人数少的概率 第 4 页（共 24 页） 19已知三棱锥 P 平面 C= 0， D、 E 分别是 C 的中点， 边长为 2 的等边三角形， O 为它的中心， ， C 的中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求 平面 成角的正弦值 20已知 为椭圆 C 的左右焦点，点 在椭圆C 上 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过 直线交椭圆 C 与 A、 B 两点，圆 M 为 内切圆，求圆 M 的面积的最大值 21已知函数 f（ x） = 1）当 x 1 时，若 f（ x） a（ x 1）恒成立，求 a 的取值范围； （ 2）求证：当 n 2 且 n N*时， 请考生在第（ 22）、（ 23）（ 24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上【选修 4何证明选讲】 22已知 圆 O 的直径， N， N 为 中点， 交于点 M，切线 延长线交于点 F （ 1）求证： M； （ 2）若圆 O 的半径为 1，求 长 【选修 4标系与参数方程】 第 5 页（共 24 页） 23在直角坐标系 ，曲线 为参数），以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，直线 （ 1）求曲线 C 与直线 l 的直角坐标方程； （ 2）若 P、 Q 分别为曲线 C 与直线 l 上的两动点，求 |最小值以及此时点 P 的坐标 【选修 4等式选讲】 24已知 （ 1）比较 f（ 3）与 的大小； （ 2）求证： 第 6 页（共 24 页） 2016 年 “超级全能生 ”26 省联考高考数学模拟试卷（乙卷）（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1复平面内表示复数 的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数的代数形式的混合运算化简求解即可 【解答】 解：复平面内表示复数 = =1 i，对应点为：（ 1， 1）在第四象限 故选： D 2已知 ，则 AB=（ ） A B C D 【考点】 交集及其运算 【分 析】 先分别求出集合 A 和集合 B，由此能求出 AB 【解答】 解： ， A=x|1 x 3， B=y| ， AB=x|1 =（ 1， ） 故选： C 3根据如下的样本数据： x 1 2 3 4 5 6 7 y 到 的回归方程为 y=bx+a，则（ ） A a 0， b 0 B a 0， b 0 C a 0， b 0 D a 0， b 0 【考点】 线性回归方程 【分析】 已知中的数据，可得变量 x 与变量 y 之间存在负相关关系，且 x=0 时， a 0，进而得到答案 【解答】 解：由已知中的数据，可得变量 x 与变量 y 之间存在负相关关系，故 b 0， 当 x=0 时， a 0， 故选： B 第 7 页（共 24 页） 4点 A 是 O 上的动点，点 B 是 O 内的定点（不与点 O 重合） 直平分 Q，交 点 P，则点 P 的轨迹是（ ） A直线 B圆 C椭 圆 D双曲线 【考点】 轨迹方程 【分析】 由题意可得， 线段 中垂线， O=O=半径 R（ R 由椭圆的定义可得，点 P 的轨迹为椭圆 【解答】 解：由题意可得， 线段 中垂线， B， O=O=半径 R， 即点 P 到两个定点 O、 B 的距离之和等于定长 R（ R 由椭圆的定义可得，点 P 的轨迹为椭圆， 故选： C 5若函数 f（ x）同时满足以下三个性质： f（ x）的最小正周期为 ； 对任意的 x R，都有 f（ x ） +f（ x） =0； f（ x）在（ ， ）上是减函数，则 f（ x）的解析式可能是（ ） A f（ x） = f（ x） = f（ x） =x+ ） D f（ x） =考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 由三角函数的图象和性质，结合题意的三个性质逐个排除可得 【解答】 解：四个选项的函数均满足： f（ x）的最小正周期为 ； f（ x）在（ ， ）上是减函数，可排除 C； 对任意的 x R，都有 f（ x ） +f（ x） =0， 用 x+ 替换式中的 x 可得 f（ x ） +f（ x ） =0， 即函数的图象关于点（ ， 0）对称，可排除 验证可得 A 符合题意 故选： A 6已知点 A（ 1， 1）， B（ 2， 1）， C（ 1， 2），若 1 2， 2 3，则 的取值范围是（ ） A 1， 10 B C 1， 5 D 【考点】 向量的 模 【分析】 用坐标表示出 + 以及模长，根据 、 的取值范围，转化为不等式组表示的平面区域内的点到原点的距离最值问题，即可求出答案 【解答】 解： =（ 1， 0）， =（ 0， 1）， + =（ ， ）， | + |= ； 又 1 2， 2 3， 第 8 页（共 24 页） 、 满足不等式组 ， 作出不等式组对应的平面区域，得到如图所示的矩形 其内部区域， 其中 C（ 2， 2）， D（ 2， 3）， E（ 1， 3）， F（ 1， 2）， 则区域内的点到原点的距离最小值为 |2， 最 大值为 | = ； 的取值范围是 2， 故选： D 7执行如图所示的程序框图，则输出的 k 的值为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考点】 程序框图 【 分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出输出不满足条件 S=0+1+2+8+ 100 时， k+1 的值 【解答】 解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序， 可知：该程序的作用是： 输出不满足条件 S=0+1+2+8+ 100 时， k+1 的值 第 9 页（共 24 页） 第一次运行：满足条件， s=1， k=1； 第二次运行：满足条件， s=3， k=2； 第三次运行：满足条件， s=11 100， k=3；满足判断框的条件，继续运行， 第四次运行： s=1+2+8+211 100， k=4，不满足判断框的条件，退出循环 故最后输出 k 的值为 4 故选： A 8设 x， y 满足约束条件 ，且 z=ax+y 的最大值为 4，则 a=（ ） A 2 B C 2 D 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 由题意可得最值只能在两直线的交点取到，解方程组代点可得 a 的方程，解方程结合图象验证可得 【解答】 解：由题意可得约束条件 所对应的区域 为 两直线 3x+2y=7 和 4x y=a 所夹的角形的无限区域， 故最值只能在交点取到，解方程组可得 ， 代入计算可得 a + =4，解得 a=2 或 a= 4， 经验证当 a=2 时， z=ax+y 取最大值 4，当 a= 4 时， z=ax+y 取最小值 4， 故选： A 9如图所示，某几何体的三视图，则该几何 体的体积为（ ） 第 10 页（共 24 页） A B 4 C 3 D 2 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体为： 平面 平面 接几何体的体积 V=E 可得出 【解答】 解：由三视图可知：该几何体为： 平面 平面 连接 该几何体的体积 V=E + = + =2 10定义在（ 0， +）上的函数 f（ x）满足： f（ x） x），且 f（ 2） =4，则不等式 f（ x） 2x 0 的解集为（ ） A（ 2， +） B（ 0， 2） C（ 0， 4） D（ 4， +） 【考点】 函数的单调性与导数 的关系 【分析】 构造函数 g（ x） = ，求函数的导数，利用函数的单调性即可求不等式 【解答】 解：设 g（ x） = ， 则 g（ x） = ， f（ x） x）， g（ x） 0 即当 x 0 时，函数 g（ x）单调递减， f（ 2） =4， 第 11 页（共 24 页） g（ 2） = =2， 则不等式 f（ x） 2x 0 等价为 g（ x） g（ 2）， 即 0 x 2， 则不等式 f（ x） 2x 0 的解集为（ 0， 2） 故选： B 11已知抛物线 C： x 的焦点为 F， P， Q 是抛物线 C 的两点，且 ，弦 中点 E 在准线上的射影为 H，则 的最大值为（ ） A 1 B C D 2 【考点】 直线与圆锥曲线的关系 【分 析】 由题意可知， P， Q 到抛物线： x 的准线的距离为 据中点坐标公式，求得丨 = （丨 +丨 ），在 ，根据余弦定理丨 2 丨 2+丨 2丨 丨 ， =+ ，由基本不等式的性质可知 1，即可求得 1，求得 的最大值 【解答】 解：根据题意，设点 P 到抛物线 C： x 的准线的距离为 Q 到该抛物线的准线的距离为 则丨 = （ d1+= （丨 +丨 ）， 在 ，根据余弦定理得：丨 2=丨 2+丨 2 2 丨 丨 =丨 2+丨 2丨 丨 ， = =+ ， 由均值不等式，丨 2+丨 2 2 丨 丨 ， 则 1，那么 1，当且仅当丨 =丨 时等号成立 故答案为： A 第 12 页（共 24 页） 12如图， M 是正方体 角线 的动点，过点 M 作垂直于面 、 Q 两点，设 AM=x， PQ=y，则函数 y=f（ x）的图象大致为（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 根据题意和正方体的特征，分析点 P 动的过程中， x 随着 y 变化情况以及变化速度，结合正方体的对称性质可求 【解答】 解：设正方体的棱长为 1， AM=x 0， ， PQ=y 0， ， 底面上的射影平行于 最大值为 从而当 P 在 时， O 为 中点，分别过 M、 Q、 P 作底面的 垂线，垂足分别为 1、 则 y=1x = x 而当 P 在 时，然后 x 变大 y 变小，直到 y 变为 0，根据对称性可知此时 y=2 x， 故函数 y= ， 结合所给的答案， 第 13 页（共 24 页） 故选： C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上 . 13已知 p： x m， q： |x 2| 1，若 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是 3， +） 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义，建立不等式关系进行求解即可 【解答】 解：由 |x 2| 1 得 1 x 2 1 得 1 x 3， 若 p 是 q 的必要不充分条件， 则 m 3， 故答案为： 3， +） 14某校从五月开始，要求高三学生下午 2： 30 前到校，加班班主任李老师下午每天到校，假设李老师和小红同学在下午 2： 00 到 2： 30 之间到校，且每人在该段时间到校都是等可能的，则小红同学比李老师至少早 5 分钟到校的概率为 【考点】 几何概型 【分析】 设小红和老师到校的时刻分别为 x 和 y，由题意可得 0 x 30， 0 y 30，小红同学比李老师至少早 5 分钟到校可得 0 x 30， 0 y 30 且 y x 5，作出平面区域，由几何概型概率公式可得 【解答】 解：设小红和老师到校的时刻分别为 x 和 y， 则由题意可 得 0 x 30， 0 y 30， 小红同学比李老师至少早 5 分钟到校， 则 0 x 30， 0 y 30 且 y x 5， 数形结合可得 P= = ， 故答案为： 第 14 页（共 24 页） 15已知点 O 为 一点，满足 ，若，则 2 【考点】 向量在几何中的应用 【分析】 以 O 为原点，建立平面直角坐标系，设 OB=x， OC=y，求出 ， 的坐标，代入 列出方程组解出 【解答】 解：以 x 轴， O 为原点建立平面直角坐标系，如图，则 ，设OB=x， OC=y，则 B（ x， ）， C（ ， ）， A（ 4， 0） =（ 4， 0）， =（ x， ）， =（ ， ） ， ，解得 x=2 故答案为： 2 16直线 l 平面 ，垂足是点 P，正四面体 棱长为 2，点 O 在平面 上运动，点A 在直线 l 上运动，则点 P 到直线 距离的最大值为 【考点】 点、线、面间的距离计算 【分析】 P 到 距离为四面体上以 直径的球面上的点到 距离，最大距离为球心的距离（即 公垂线） +半径 【解答】 解：由题意，直线 动点 P 的空间关系： 点 P 是以 直径的球面上的点， P 到 距离为四面体上以 直径的球面上的点到 距离， 最大距离为 球心的距离（即 公垂线） +半径， 正四面体 棱长为 2， 公垂线长为： = ， 以 直径的球的半径 r=1， 第 15 页（共 24 页） 点 P 到直线 距离的最大值为 故答案为： 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17数列 前 n 项和为 2Sn+an=n+2， n N* （ 1）求数列 通项公式 （ 2）求数列 n（ n） 的前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）由 2Sn+an=n+2， n N*，可得 2a1+2+2，解得 n 2 时，可得：2an+1=2n+1，变形为 n= ，再 利用等比数列的通项公式即可得出 （ 2）利用 “错位相减法 ”与等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：（ 1） 2Sn+an=n+2， n N*， 2a1+2+2，解得 当 n 2 时， 21+1=（ n 1） 2+2（ n 1） +2，可得： 2an+1=2n+1， 化为 n= ， 数列 n是等比数列，首项为 ，公比为 n= ， 可得 an=n+2 （ 2） n（ n） = 数列 n（ n） 的前 n 项和 ， =2 ， = ， 第 16 页（共 24 页） + + + n = n = 18某校高安文科 600 名学生参加了 12 月的模拟考试，学校为了了解高三文科学生的数学、外语请客，利用随机数表法从抽取 100 名学生的成绩进行统计分析，将学生编号为 000， 001，002， 599 （ 1）若从第 6 行第 7 列的数开始右读，请你一次写出最先抽出的 5 个人的编号（下面是摘自随机数表的第 4 恒值第 7 行）； 12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76 55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 （ 2）抽出的 100 名学生的数学、外语成绩如下表： 外语 优 良 及格 数学 优 8 m 9 良 9 n 11 及格 8 9 11 若数学成绩优秀率为 35%，求 m， n 的值； （ 3）在外语成绩为良的学生中，已知 m 12， n 10，求数学成绩优比良的人数少的概率 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 （ 1）利用随机数表法能求出最先抽出的 5 人的编号 （ 2）由频率 = ，能求出 m， n （ 3）由题意 m+n=35，且 m 12， n 10，由此利用列举法能求出数学成绩优比良的人数少的概率 【解答】 解：（ 1）从第 6 行第 7 列的数开始右读，最先抽出的 5 人的编号依次为： 544， 354， 378， 520， 384 （ 2）由 ，解得 m=18， 8+9+8+18+n+9+9+11+11=100，解得 n=17 （ 3）由题意 m+n=35，且 m 12， n 10， 满足条件的（ m， n）有： （ 12， 23），（ 13， 22），（ 14， 21），（ 15， 20），（ 16， 19），（ 17， 18），（ 18， 17）， （ 19， 16），（ 20， 15），（ 21， 14），（ 22， 13），（ 23， 12），（ 24， 11），（ 25， 10），共 14 种， 且每种出现都是等可能的， 记 “数学成绩优比良的人数少 ”为事件 M， 则事件 M 包含的基本事件有：（ 12， 23），（ 13， 22），（ 14， 21），（ 15， 20），（ 16， 19），（ 17，18），共 6 种， 第 17 页（共 24 页） P（ M） = 19已知 三棱锥 P 平面 C= 0， D、 E 分别是 C 的中点， 边长为 2 的等边三角形， O 为它的中心， ， C 的中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求 平面 成角的正弦值 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）取 中点 G，连结 而平面 平面此能证明 平面 （ 2）取 中点 H，连结 平面 H 作 M，连结 H 作 N，连结 平面 成的角，由此能求出 成角的正弦值 【解答】 证明：（ 1）取 中点 G，连结 D 是 中点， F 为 中点， 又 E 为 中点， 又 F=F， 平面 平面 平面 解：（ 2）取 中点 H，连结 平面 过 H 作 M，连结 平面 平面 平面 过 H 作 N，即 平面 连结 平面 成的角， 在等腰 ，设 ，则 ， ， ， 即 在 ， H 在 ， ， = ，即 ， 在 ， = ， 平面 成角的正弦值为 第 18 页（共 24 页） 20已知 为椭圆 C 的左右焦点，点 在椭圆C 上 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过 直线交椭圆 C 与 A、 B 两点，圆 M 为 内切圆，求圆 M 的面积的最大值 【考点】 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 【分析】 （ 1）由题意可知椭圆的焦点在 x 轴上， c= ， + 在椭圆 入椭圆方程即可求得 a 和 b 的值，求得椭圆方程； （ 2）过 直线斜率不为 0，设 l： x=，并代入椭圆方程，由韦达定理求得 y1+y1用弦长公式求得丨 ，点到直线的距离公式求得 l 的距离，利用三角形的面积公式及基本不等式的性质求得 S 大值，即可求得切圆 M 的面积最大值 【解答】 解：（ 1）设椭圆的标准方程为： （ a b 0）， 由 c= ， +点 在椭圆 C 上， ，即 ， ， ； （ 2）过 直线斜率不为 0，设 l： x=，与 A（ B（ 将直线代入椭圆 得： （ ） 1=0， 第 19 页（共 24 页） y1+， y1， 丨 = = = ， 点 ， 0）到 l： x=，的距离为 d= ， S = =4 ， =4 4 =2， 当且仅当 = ，即 m= 时取等， 设内切圆 M 的半径为 r，则 S 4a=4r=2，即 ， 即内切圆 M 的面积最大值为： S 圆 21已知函数 f（ x） = 1）当 x 1 时，若 f（ x） a（ x 1）恒成立，求 a 的取值范围； （ 2）求证：当 n 2 且 n N*时， 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】 （ 1）原不等式可化为 a（ x 1），从而讨论 x=1 与 x 1 时不等式成立的条件即可； （ 2）根据 （ x 1），令 x= （ n 2 且 n N*），即 ，通 过赋值叠加即可 【解答】 解：（ 1） f（ x） a（ x 1）（ x 1）可化为 a（ x 1）， 当 x=1 时， 0 0，显然成立； 当 x 1 时，不等式可化为 a ， 令 g（ x） = ， g（ x） = = ， 令 h（ x） =x 1， h（ x） =1 ， 故 h（ x） =x 1 在（ 1， +）上是增函数， 故 x 1 1 0 1=0， 第 20 页（共 24 页） 故 g（ x） = 0； 故 g（ x） = 在（ 1， +）上是增函数，且 =1， 故 a 1； （ 2）当 a=1 时： （ x 1）， 令 x= （ n 2 且 n N*），即 ， 得： n 1） ， n 1） n 2） ， n 2） n 3） ， ， ， 上述各式相加得： + + + ， 即当 n 2 且 n N*