天津市和平区2016年高考数学一模试卷（理科）含答案解析

天津市和平区 2016 年高考数学一模试卷（理科） （解析版） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求 . 1已知集合 A=x|x a| 1， B=x|1 x 4，则 A B=B，则实数 a 的取值范围是（ ） A 2， 3 B（ 2， 3） C 0， 5 D（ 0， 5） 2设变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值为（ ） A B 5 C D 12 3阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的 S 值是（ ） A B C D 4已知 a， b， c R，则 “a 0 且 40”是 “ x R，都有 bx+c 0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5如图，圆 O 的直径 弦 于点 E，且 E 为 中点，若 ， 0，则线段 长为（ ） A 1 B C D 6己知双曲线 =1（ a 0， b 0）离心率为 2，有一个焦点与抛物线 x 的焦点重合，则 值为（ ） A B C D 7若方程 1 k） x 2（ k+1） =0 的一个根在区间（ 2， 3）内，则实数 k 的取值范围是（ ） A C 8已知函数 f（ x） = ，若函数 g（ x） = x a，其中 a R，若函数 y=f（ x） g（ x）恰有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 0， ） B（ ， 1） C（ 1， ） D （ 1， ） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9复数 z 满足条件： z 3i= ，其中 i 是虚数单位，则 z= 10一个几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的体积为 11曲线 y= x ）与 x 轴所围成的封闭图形的面积等于 12已知（ ） 8 的展开式中 x 项的系数为 14，则 a 的值为 13在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 a=2， A= ， B= ，则c 的值为 14如图，在矩形 ， ， ，点 E 在边 ，点 F 在边 ，若 = ，=2 ，则 的最大值为 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15已知 f（ x） =2x ） （ ）求 f（ x）的单调递减区间； （ ）若 （ ， ）， f（ + ） = + ） 16盒子中共有 8 个球，其中 4 个红球， 3 个绿球， 1 个黄球，这些球除颜色外其他完全相同 （ ）从盒子中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率； （ ）从盒子中一次随机抽取 3 个球，每取得 1 个红球记 1 分，取得 1 个绿球记 2 分，取得1 个黄球记 3 分，设 X 为取出 3 个球所得的分数之和，求 X 的分布列和数学期望 17如图，在三棱锥 S ， 平面 ， ， ，D （ ）求证： 平面 （ ）求二面角 A C 的余弦值； （ ）求点 A 到平面 距离 18若数列 足 ， n 1 （ ）求 通项公式； （ ）若数列 足 ， n+3，且 ，求数列 通项公及前 n 19已知函数 f（ x） =（ x2+中 e 为自然对数的底数） （ ）当 m= 2 时，求函数 f（ x）的单调递增区间； （ ）若函数 f（ x）在区间 1， 3上单调递减，求 m 的取值范围； （ ）是否存在实数 m，使得 f（ x）为 R 上的单调函数？请说明理由 20设椭圆 C： + =1（ a b 0）的右焦点为 F，过 F 点的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 ， |2| （ ）求椭圆 C 的离心率； （ ）若 | ，求椭圆 C 的方程； （ ）在（ ）的条件下， D 为椭圆 C 上一点，当 积取得最大值时，求 D 点的坐标 2016 年天津市和平区高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求 . 1已知集合 A=x|x a| 1， B=x|1 x 4，则 A B=B，则实数 a 的取值范围是（ ） A 2， 3 B（ 2， 3） C 0， 5 D（ 0， 5） 【分析】 解不等式求出集合 A，结合 A B=B，可得 A B，进而得到实数 a 的取值范围 【解答】 解： 集合 A=x|x a| 1=（ a 1， a+1）， B=x|1 x 4=（ 1， 4）， 若 A B=B，则 A B， 则 a 1 1，且 a+1 4， 解得： a 2， 3， 故选： A 【点评】 本题考查的知识点是集合的包含关系的判断与应用，集合的并集运算，绝对值不等式的解法，难度中档 2设变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值为（ ） A B 5 C D 12 【分析】 画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合图象得到直线过 A 时 z 的值最大，代入求出即可 【解答】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： ， 由 ，解得： A（ ， ）， 由 z=2x+y 得： y= 2x+z， 显然直线过 A 时 z 的值最大， z 的最大值是 z=2 + = ， 故选： C 【点评】 本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题 3阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的 S 值是（ ） A B C D 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：第一次执行循环体后： S=1，不满足退出循环的条件， c=2， a=1， b=2， 第二次执行循环体后： S= ，不满足退出循环的条件， c=3， a=2， b=3， 第三次执行循环体后： S= ，不满足退出循环的条件， c=5， a=3， b=5， 第四次执行循环体后： S= ，不满足退出循环的条件， c=8， a=5， b=8， 第五次执行循环体后： S= ，满足退出循环的条件， 故输出 的 S 值为： ， 故选： B 【点评】 本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答 4已知 a， b， c R，则 “a 0 且 40”是 “ x R，都有 bx+c 0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 根据一元二次不等式解法及充要条件的定义 【解答】 解： “a 0 且 40”能推出 “ x R，都有 bx+c 0”， 但是 “ x R，都有 bx+c 0”，则 a 0， 40， 故 “a 0 且 40”是 “ x R，都有 bx+c 0”的充分不必要条件， 故选： A 【点评】 本题通过 与一元二次不等式 bx+c 0 情况考查充分条件、必要条件的含义 5如图，圆 O 的直径 弦 于点 E，且 E 为 中点，若 ， 0，则线段 长为（ ） A 1 B C D 【分析】 由正弦定理可得 ， ，由余弦定理求出可求出线段 长 【解答】 解：连接 圆 O 的直径， 0， 0， 0 由正弦定理可得 ， ，由余弦定理可得 1=（ 42+（ 62 2 46， ， 故选： D 【点评】 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，正确求出 解题的关键所在 6己知双曲线 =1（ a 0， b 0）离心率为 2，有一个焦点与抛物线 x 的焦点重合，则 值为（ ） A B C D 【分析】 根据抛物线的方程算出其焦点为（ 1， 0），从而得出双曲线的右 焦点为 F（ 1， 0），利用离心率的公式和 a、 b、 c 的平方关系建立方程组，解出 a、 b 的值，即可得出结论 【解答】 解： 抛物线方程为 x， 2p=4，得抛物线的焦点为（ 1， 0） 双曲线的一个焦点与抛物 x 的焦点重合， 双曲线的右焦点为 F（ 1， 0） 双曲线 =1（ a 0， b 0）离心率为 2， a= ， b= ， 故选： D 【点评】 本题给出抛物线的焦点为双曲线右焦点，求双曲线的方程着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题 7若方程 1 k） x 2（ k+1） =0 的一个根在区间（ 2， 3）内，则实数 k 的取值范围是（ ） A C 【分析】 若方程 1 k） x 2（ k+1） =0 有两相等的实根，则 x= 2，不在区间（ 2， 3）内， 令 f（ x） = 1 k） x 2（ k+1），若方程 1 k） x 2（ k+1） =0 有两不相等的实根，且一个根在区间（ 2， 3）内，则 f（ 2） f（ 3） 0，进而得到答案 【解答】 解：若方程 1 k） x 2（ k+1） =0 有两相等的实根， 则 =（ 1 k） 2+8（ k+1） =0，解得： k= 3， 此时 x= 2，不在区间（ 2， 3）内， 令 f（ x） = 1 k） x 2（ k+1）， 若方程 1 k） x 2（ k+1） =0 有两不相等的实根，且一个根在区间（ 2， 3）内， 则 f（ 2） f（ 3） 0，即（ 4 4k）（ 10 5k） 0， 解得： k （ 1， 2）， 故选： D 【点评】 本题考查的知识点是一元二次方程根的分布与系数的关系，函数的零点与对应方程根的关系，难度中档 8已知函数 f（ x） = ，若函数 g（ x） = x a，其中 a R，若函数 y=f（ x） g（ x）恰有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 0， ） B（ ， 1） C（ 1， ） D（ 1， ） 【分析】 由 y=f（ x） g（ x） =0 得 f（ x） =g（ x），作出两个函数 f（ x）和 g（ x）的图象，利用数形结合进行求解即可 【解答】 解：由 y=f（ x） g（ x） =0 得 f（ x） =g（ x），作出两个函数 f（ x）和 g（ x）的图象， 则 A（ 1， ）， 当 g（ x）经过点 A 时， f（ x）与 g（ x）有 2 个交点，此时 g（ 1） = a= ，此时 a=1， 当 g（ x）与 f（ x）在 x 1 相切时，此时 f（ x）与 g（ x）有 2 个交点 由 x = x a， 即 x+ a=0， 由判别式 =0 得（ ） 2 4（ a） =0， 得 a= ， 要使 f（ x）与 g（ x）有 3 个交点，则 g（ x）位于这两条线之间， 则 a 满足 a （ ， 1）， 故选： B 【点评】 本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数的交点问题，利用数形结合作出两个函数的图象是解决本题的关键 综合性较强 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9复数 z 满足条件： z 3i= ，其中 i 是虚数单位，则 z= 2+2i 【分析】 根据复数的定义与运算法则，进行化简、计算即可 【解答】 解： 复数 z 满足条件： z 3i= ， i 是虚数单位， 则 z=3i+ =3i+ =3i+（ 2 i） =2+2i 故答案为： 2+2i 【点评】 本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题目 10一个几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的体积为 【分析】 该几何体由上下两部分组成，上面是一个圆台，下面是一个圆柱利用体积计算公式即可得出 【解答】 解：该几何体由上下两部分组成，上面是一个圆台，下面是一个圆柱 该几何体的体积 = 22 2+ （ 22+2 1+12） 2= 故答案为： 【点评】 本题考查了三视图的有关计算、圆柱与圆台的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 11曲线 y= x ）与 x 轴所围成的封闭图形的面积等于 2 【分析】 为了求得 与 x 轴所围成的不规则的封闭图形的面积，可利用定积分求解积分的上下限分别为区间的两个端点， 为被积函数 【解答】 解：由定积分可求得阴影部分的面积为： S= 1（ 1） =2， 所以围成的封闭图形的面积是 2 故答案为： 2 【点评】 本小题主要考查定积分的简单应用、导数的应用、定积等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题 12 已知（ ） 8 的展开式中 x 项的系数为 14，则 a 的值为 2 【分析】 （ ） 8 的展开式的通项公式 = = （a） r r，令 4 r=1，解得 r=3可得 x，利用已知即可得出 【解答】 解：（ ） 8 的展开式的通项公式 = =（ a） r r， 令 4 r=1，解得 r=3 x （ ） 8 的展开式中 x 项的系数为 14， = 14， 解得 a=2 故答案为： 2 【点评】 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 13在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 a=2， A= ， B= ，则c 的值为 【分析】 根据正弦定理以及两角和差的正弦公式进行求解即可 【解答】 解： 在 ， A= ， B= ， a=2 由正弦定理得 ， 即 c= = =22 =2+2 = ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键 14如图，在矩形 ， ， ， 点 E 在边 ，点 F 在边 ，若 = ，=2 ，则 的最大值为 【分析】 以 A 为坐标原点， 在直线为 x 轴， 在直线为 y 轴，建立直角坐标系，可得 A（ 0， 0）， B（ ， 0）， C（ ， 2）， D（ 0， 2），设 E（ ， n）， F（ m， 2），运用向量共线的坐标表示，解得 m， n，再由向量的数量积的坐标表示，结合二次函数的最值的求法，即可得到最大值 【解答】 解：以 A 为坐标原点， 在直线为 x 轴， 在直线为 y 轴，建立直角坐标系， 可得 A（ 0， 0）， B（ ， 0）， C（ ， 2）， D（ 0， 2）， 设 E（ ， n）， F（ m， 2）， 由 = ，可得 m= ，即 F（ ， 2）， 由 =2 ，可得 n=2 22，即 E（ ， 2 22）， 则 =（ ， 2）（ ， 22） =2（ 1 ） 42= 62+2= 6（ ） 2+ ， 当 = 时，则 取得最大值 故答案为： 【点评】 本题考查向量的数量积的最值的求法，注意运用坐标法，考查二次函数的最值的求法，以及化简运算能力，属于中档题 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15已知 f（ x） =2x ） （ ）求 f（ x）的单调递减区间； （ ）若 （ ， ）， f（ + ） = + ） 【分析】 （ ）由条件利用正弦函数的单调性，求得 f（ x）的单调递减区间 （ ）由题意可得 或（ 2= ，再根据 （ ， ），可得 =或 ，由此求得 【解答】 解：（ ）对于 f（ x） =2x ），令 2 2x 2， 求得 x ，可得 f（ x）的单调递减区间为 ， ， k Z （ ）若 （ ， ）， f（ + ） = + ） 则 + ） = + ） （ = （ 或（ 2= （ ， ）， = 或 ， 或 【点评】 本题主要考查正弦函数的单调性，两角和差的三角公式，属于基础题 16盒子中共有 8 个球，其中 4 个红球， 3 个绿球， 1 个黄球，这些球除颜色外其他完全相同 （ ）从盒子中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率； （ ）从盒子中一次随机抽取 3 个球，每取得 1 个红球记 1 分，取得 1 个绿球记 2 分，取得1 个黄球记 3 分，设 X 为取出 3 个球所得的分数之和，求 X 的分布列和数学期望 【分析】 （ ）设 A 表示事件事件 “从盒子中一次随机取出 2 个球的颜色相同 ”，利用互斥事件加法公式能求出从盒子中一次随机取出 2 个球，取出的 2 个球颜色相同的概率 （ ）依题意， X 的所有可能取值为 3， 4， 5， 6， 7，分别求出相应的概率，由此能求出 【解答】 解：（ ）设 A 表示事件事件 “从盒子中一次随机取出 2 个球的颜色相同 ”， 则 P（ A） = = ， 从盒子中一次随机取出 2 个球，取出的 2 个球颜色相同的概率为 （ ）依题意， X 的所有可能取值为 3， 4， 5， 6， 7， P（ X=3） = = ， P（ X=4） = = ， P（ X=5） = = ， P（ X=6） = = ， P（ X=7） = = ， X 的分布列为： X 3 4 5 6 7 P + = 【点评】 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用 17如图，在三棱锥 S ， 平面 ， ， ，D （ ）求证： 平面 （ ）求二面角 A C 的余弦值； （ ）求点 A 到平面 距离 【分析】 （ ）建立坐标系，求出向量的坐标，得到 出线面垂直即可； （ ）设平面 法向量为 =（ x， y， z），求出一个法向量，代入余弦公式即可求出余弦值； （ ）作 平面 足为 H，求出 的坐标，从而求出点 A 到平面 距离 【解答】 解：如图示： ， 以 C 为原点建立空间直角坐标系， 由题意得： A（ ， 0， 0）， C（ 0， 0， 0）， D（ 1， 1， 0）， E（ 0， 2， 0）， S（ 0， 0， 3）， （ ）证明： =（ 1， 1， 0）， =（ 1， 1， 0）， =（ 0， 0， 3）， = 1+1+0=0， =0+0+0=0， 即 S=C， 平面 （ ）解：由（ ）可得 =（ 1， 1， 0）为平面 一个法向量， 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， 而 =（ ， 1， 0）， =（ ， 0， 3）， 则 ，即 ， 不妨设 x=2，可得 =（ 2， 1， 1）， 易知二面角 A C 为锐角， 因此有 |， |= = ， 即二面角 A C 的余弦值是 ； （ ）解： =（ ， 0， 0）， =（ ， 1， 0）， =（ ， 0， 3）， 作 平面 足为 H， 设 =x +y +z =（ x y z， y， 3z），且 x+y+z=1， 由 ， ，得： ，解得 ， =（ ， ， 0）， | |= ， 即点 A 到平面 距离是 【点评】 本题考查了线面垂直，考查平面的法向量，点到平面的距离，是一道中档题 18若数列 足 ， n 1 （ ）求 通项公式； （ ）若数列 足 ， n+3，且 ，求数列 通项公及前 n 【分析】 （ 1）采用累加法求得 ，求得 通项公式， （ 2）采用累加法求得数列 通项公式，整理写出数列 通项公式， n+2） 2n1，数列 由等差数列和等比数列乘积的形式，采用乘以公比错位相减法，求得 【解答】 解：（ ） ， ， ， ， ， 以上各式相加，得： ， ， ， （ ） n+3， ， ， ， 1=2n+1， 以上各式相加得： +7+9+2n+1， =n 3， ， ， = ， n+2） 2n 1， 20+4 21+5 22+（ n+2） 2n 1， 2 21+4 22+5 23+（ n+1） 2n 1+（ n+2） 2n， 两式相减，得： 20+（ 21+22+2n 1）（ n+2） 2n， =3+（ 2n 2）（ n+2） 2n=（ n+1） 2n+1， n+1） 2n 1 【点评】 本题考查采用累加法求数列的通项公式及采用错位相减法求数列的前 n 项和，过程复杂，属于中档题 19已知函数 f（ x） =（ x2+中 e 为自然对数的底数） （ ）当 m= 2 时，求函数 f（ x）的单调递增区间； （ ）若函数 f（ x）在区间 1， 3上单调递减，求 m 的取值范围； （ ）是否存在实数 m，使得 f（ x）为 R 上的单调函数？请说明理由 【分析】 （ ）将 m= 2 代入 f（ x）的表达式，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （ ）求出函数 f（ x）的导数，得到 g（ x） =（ x+1） + ，求出函数 g（ x）的导数，从而求出 m 的范围即可； （ ）假设 f（ x）单调，求出 f（ x）的 导数，结合二次函数的性质判断即可 【解答】 解：（ ）当 m= 2 时， f（ x） =（ 2x） f（ x） =（ 2） 令 f（ x） 0，解得： x 或 x ， f（ x）在（ ， ），（ ， +）递增； （ ） f（ x） = m+2） x+m 由题意得 f（ x） 0 对于 x 1， 3恒成立， m+2） x+m 0，即 m =（ x+1） + ， 令 g（ x） =（ x+1） + ，则 g（ x） = 1 0 恒成立， g（ x）在区间 1， 3递减， g（ x） g（ 1） = ， m 的范围是（ ， ； （ ）假设 f（ x）为 R 上的单调函数， 若 f（ x）在 R 递增，则 f（ x） 0 对 x R 恒成立， 即 m+2） x+m0 对 x R 恒成立， 0， m+2） x+m 0 对 x R 恒成立， 而 =（ m+2） 2 4m=