2016年山西省高考考前质检文科数学试卷（三）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年山西省高考考前质检数学试卷（文科）（三） 一、选择题 1设 U=R， A=x|y=x ， B=y|y= 则 A（ =（ ） A B R C x|x 0 D 0 2用 0， 1， ， 199 给 200 个零件编号，并用系统抽样的方法从中抽取 10 件作为样本进行质量检测，若第一段中编号为 5 的零件被取出，则第二段被取出的零件编号是（ ） A 25 B 10 C 15 D 20 3下列函数中，在其定义域上为增函数的是（ ） A y= y=e x C y=x y= 4已知 a， b 0，若圆 x2+y2=双曲线 =1 有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ， +） B（ 1， C（ 1， ） D（ ， 2） 5若实数 x， y 满足 则 z=x 2y 的最小值是（ ） A 2 B 1 C 0 D 2 6如图所示，将图（ 1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（ 2）中的几何体，则该几何体的侧视图是（ ） A B C D 7已知 ， 为同一平面内两个不共线的向量，且 =（ 1， 2）， =（ x， 6），若 | |=2 ，向量 =2 ，则 =（ ） A（ 1， 10）或（ 5， 10） B（ 1， 2）或（ 3， 2） C（ 5， 10） D（ 1， 10） 8执行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值是（ ） 第 2 页（共 20 页） A B C 3 D 9若 = ，且 （ ， ），则 值是（ ） A B C D 10在体积为 的三棱锥 S ， C=2， 0， C，且平面 平面 该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是（ ） A B C 12 D 11若函数 f（ x） = m 有零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ 0， 1 B（ 0， 1） C（ 1， 1） D（ 1， 1 12在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 B ，则最大值是（ ） A B C 1 D 二、填空题 13已知复数 z 满足 |z| =2 4i，则 z=_ 14在平面几何中，三角形的面积等于其周长的一半与其内切圆半径之积，类比之，在立体几何中，三棱锥的体积等于 _（用文字表 述） 15函数 f（ x） =（ x （ ， 的单调减区间是 _ 16已知 别为椭圆 C： =1（ a b 0）的左、右焦点， Q 为椭圆 C 上的一点，且 O 为坐标原点）为正三角形，若射线 椭圆交于点 P，则 面积的 比值是 _ 三、解答题 第 3 页（共 20 页） 17已知数列 足 ，且 =2（ n N+） （ 1）设 bn=（ n N+），求证 等比数列； （ 2）求数列 前 n 项和 18如图， 圆 O 的直径， 直圆 O 所在的平面，点 C 为圆 O 上的一点 （ 1）求证： 平面 （ 2）若 ， B，点 M 为 中点，求三棱锥 B 体积 19某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入 4 万元广告费，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从 0 开始计数的 （ 1）根据频率分布直方图计算各小长方形的宽度； （ 2）估计该公司投入 4 万元广告费之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值） （ 3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表： 广告投入 x（单位：万元） 1 2 3 4 5 销售收益 y（单位：万元） 2 3 2 7 表格中的数据显示， x 与 y 之间存在线性相关关系，请将（ 2）的结果填入空白栏，并计算 x 的回归方程 回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 = ， = 20已知圆 O： x2+ 及点 C（ 2， 1） （ 1）若线段 垂直平分线交圆 O 于 A， B 两点，试判断四边形 形状，并给予证明； （ 2）过点 C 的直线 l 与圆 O 交于 P， Q 两点，当 面积最大时，求直线 l 的方程 21设函数 f（ x） =（ 24a R （ 1）当 a=1 时，求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ 2）若对任意 x 1， +）， f（ x） +a 0 恒成立，求实数 a 的取值范围 第 4 页（共 20 页） 选修 4何证明选讲 22如图， O 的切线， O 的割线， B，连接 别与 ，点 G （ 1）求证： （ 2）求证： 选修 4标系与参数方程选讲 23在平面直角坐标系中，圆 C 的方程为 （ 为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线 l 的极坐标方程为 m（ m R） （ I）当 m=3 时，判断直线 l 与 C 的位置关系； （ ）当 C 上有且只有一点到直线 l 的距离等于 时，求 C 上到直线 l 距离为 2 的点的坐标 选修 4等式选讲 24已知 |x 1| 1， |y 2| 1 （ 1）求 y 的取值范围； （ 2）若对任意实数 x， y， |x 2y+2a 1| 3 成立，求实数 a 的值 第 5 页（共 20 页） 2016 年山西省高考考前质检数学试卷（文科）（三） 参考答案与试题 解析 一、选择题 1设 U=R， A=x|y=x ， B=y|y= 则 A（ =（ ） A B R C x|x 0 D 0 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 根据描述法表示集合的意义得集合 A 为函数 y=x 的定义域，集合 B 为函数 y= 值域，求出集合 B 的补集，然后与集合 A 进行交集运算可答案 【解答】 解： 函数 y=x 的定义域为 x|x 0， A=x|x 0； 函数 y= 值域为 y|y 0， B=y|y 0， y|y 0， A（ =x|x 0 故选： C 2用 0， 1， ， 199 给 200 个零件编号，并用系统抽样的方法从中抽取 10 件作为样本进行质量检测，若第一段中编号为 5 的零件被取出，则第二段被取出的零件编号是（ ） A 25 B 10 C 15 D 20 【考点】 系统抽样方法 【分析】 根据已知计算出组距，可得答案 【解答】 解：因为是从 200 个零件中抽取 10 个样本， 组距是 20， 第一段中编号为 5 的零件被取出， 则第二段被取出的零件编号是 5+20=25 故选： A 3下列函数中，在其定义域上为增函数的是（ ） A y= y=e x C y=x y= 【考点】 函数单调性的判断与证明 【分析】 根据基本函数的单调性逐项判断即可得到答案 【解答】 解： y=（ ， 0）单调递减，在 0， +）上单调递增，并不是在其定义域是增函数故 A 不符合题意； y=e x 在（ ， +）上单调递减，故 B 不符合题意， y=x 以 y=1 0 恒成立，所以 y=x R 上单调递增，故 C 符合， y= 在 0， +）上单调递减，故 D 不符合题意； 故选 C 4已知 a， b 0，若圆 x2+y2=双曲线 =1 有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ， +） B（ 1， C（ 1， ） D（ ， 2） 【考点】 双曲线的简单性质 第 6 页（共 20 页） 【分析】 由题意可得 b a，由 b2=离心率公式 e= ，解不等式即可得到所求范围 【解答】 解：由圆 x2+y2=双曲线 =1 有公共点，可得 b a，即有 即 有 2 由 e= ，可得 e 故选： A 5若实数 x， y 满足 则 z=x 2y 的最小值是（ ） A 2 B 1 C 0 D 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标， 结合函数的图象求出 z 的最小值即可 【解答】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： ， 由 ，解得 A（ 1， 1）， 由 z=x 2y 得： y= x ， 显然直线过 A（ 1， 1）时， z 最小， z 的最小值是 1， 故选： B 6如图所示，将图（ 1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（ 2）中的几何体，则 该几何体的侧视图是（ ） 第 7 页（共 20 页） A B C D 【考点】 简单空间图形的三视图 【分析】 根据三视图的定义判断棱 位置及是否被几何体遮挡住判断 【解答】 解：从几何体的左面看，对角线 视线范围内，故画为实线， 右侧面的棱 画为虚线，且上端点位于几何体上底面边的中点 故选 B 7已知 ， 为同一平面内两个不共线的向量，且 =（ 1， 2）， =（ x， 6），若 | |=2 ，向量 =2 ，则 =（ ） A（ 1， 10）或（ 5， 10） B（ 1， 2）或（ 3， 2） C（ 5， 10） D（ 1， 10） 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 计算 的坐标，根据 | |=2 列方程解出 x，利用向量不共线进行验证，再计算 的坐标 【解答】 解： =（ 1 x， 4）， | |= ，解得 x= 1 或 x=3 不共线， x 3即 x= 1 =（ 1， 6）， =（ 2， 4） +（ 1， 6） =（ 1， 10） 故选： D 8执行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值是（ ） A B C 3 D 【考点】 程序框图 第 8 页（共 20 页） 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 c， a， b， k 的值，由题意当 i=9 时，满足条件 i 8，退出循环，输出 S 的值为 ，从而得解 【解答】 解：模拟执行程序，可得 a=2， i=1， S=0 执行循环体， a= ， S= ， i=2 不满足条件 i 8，执行循环体， a= 1， S= ， i=3 不满足条件 i 8，执行循环体， a=2， S= ， i=4 不满足条件 i 8，执行循环体， a= ， S=2， i=5 不满足条件 i 8，执行循环体， a= 1， S=1， i=6 不满足条件 i 8，执行循环体， a=2， S=3， i=7 不满足条件 i 8，执行循环体， a= ， S= ， i=8 不满足条件 i 8，执行循环体， a= 1， S= ， i=9 满足条件 i 8，退出循环，输出 S 的值为 故选： B 9若 = ，且 （ ， ），则 值是（ ） A B C D 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，以及三角函数在各个象限中的符号求得 值，可得 值 【解答】 解： = = （ = ，且 （ ， ）， ， 平方可得 结合 2 （ ， ），可得 = ， 第 9 页（共 20 页） 则 = ， 故选： B 10在体积为 的三棱锥 S ， C=2， 0， C，且平面 平面 该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是（ ） A B C 12 D 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出 S 到底面的距离，求出底面三角形的所在平面圆的半径，通过勾股定理 求出球的半径，即可求解球的体积 【解答】 解： C=2， 0， 接圆半径 ， S 2 2=2，三棱锥 S 体积为 ， S 到底面 距离 h=2， 球心 O 到平面 距离为 |2 R|， 由平面 平面 用勾股定理可得球 的半径为： 2 R） 2+（ ） 2， R= 球的体积： 故选： A 11若函数 f（ x） = m 有零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ 0， 1 B（ 0， 1） C（ 1， 1） D（ 1， 1 【考点】 根的 存在性及根的个数判断；函数与方程的综合运用 【分析】 由题意可得，可得奇函数 y= = 的图象（图中红色曲线）和直线 y=m 有交点，数形结合可得实数 m 的取值范围 【解答】 解：根据函数 f（ x） = m 有零点， 可得奇函数 y= = 的图象和直线 y=m 有交点，如图所示： 数形结合可得， 1 m 1， 故选： C 第 10 页（共 20 页） 12在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 B ，则最大值是（ ） A B C 1 D 【考 点】 正弦定理 【分析】 利用正弦定理化简得出 A， B 的关系，用 A 表示出 C，利用三角函数恒等变换化简得出 于 函数，求出此函数的最大值即可 【解答】 解： ， 又由正弦定理得 ， ）， B ， B= B=A+ C= A B= 2= 2（ ） 2+ 0 ， ， 0 ， 0 当 时， 得最大值 第 11 页（共 20 页） 故选： B 二、填空题 13已知复数 z 满足 |z| =2 4i，则 z= 3 4i 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 设 z=a+a， b R），由于复数 z 满足 |z| =2 4i，可得 （ a 2 4i，利用复数相等即可得出 【解答】 解：设 z=a+a， b R）， 复数 z 满足 |z| =2 4i， （ a =2 4i， ，解得 b= 4， a=3 z=3 4i 故答案为： 3 4i 14在平面几何中，三角形的面积等于其周长的一半与其内切圆半径之积，类比之，在立体几何中，三棱锥的体积等于 其表面积的 与其内切球半径之积 （用文字表述） 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 由题意画出图形，把三棱锥的体积转化为四个三棱锥的体积，可得三棱锥的体积等于其表面积的 与其内切球半径之积 【解答】 解：如图， 设三棱锥 A 内切球球心为 O， 连接 则 O 到三棱锥四个面的距离为球的半径 r， = 故答案为：其表面积的 与其内切球半径之积 第 12 页（共 20 页） 15函数 f（ x） =（ x （ ， 的单调减区间是 ， 【考点】 正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 使用三角函数恒等变换化简 f（ x），根据余弦函数的单调性求出 f（ x）的单调减区间，与定义域取交集即可 【解答】 解： f（ x） = 2x+ ） + 令 22x+ +2得 +x + （ ， ， = ， 故答案为： ， 16已知 别为椭圆 C： =1（ a b 0）的左、右焦点， Q 为椭圆 C 上的一点 ，且 O 为坐标原点）为正三角形，若射线 椭圆交于点 P，则 面积的比值是 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 作图，结合图象可得 c+ =2a，从而可得椭圆 C 的方程为 + =1，再直线方程联立消元可得 2，从而可得点 Q 的纵坐标为 c，点 ，从而解得 【解答】 解：由题意作图如右图， O 为坐标原点）为正三角形， 直角三角形， c+ =2a， a= c， b2= 椭圆 C 的方程为 + =1， 设直线 方程为 y= （ x+c）， 故 x= y c， 代入消 x 化简可得， 第 13 页（共 20 页） 2， 即（ y c）（ y+ ） =0， 故点 Q 的纵坐标为 c，点 P 的纵坐标为 ， 故 面积的比值为 = ， 故答案为： 三、解答题 17已知数列 足 ，且 =2（ n N+） （ 1）设 bn=（ n N+），求证 等比数列； （ 2）求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；等比关系的确定 【分析】 （ 1）首先对数列的递推关系式进行恒等变换，进一步求出数列是等比数列 （ 2）利用等比数列进一步求出数列的通项公式，在求出数列的前 n 项和 【解 答】 解：（ 1）数列 足 ，且 =2（ n N+） 则： +3=2（ ）， 即： （常数）， 由于设 bn=（ n N+）， 所以： ， 第 14 页（共 20 页） 数列 等比数列； （ 2）由（ 1）得：数列 等比数列， 所以： ， 由于： ， 所以： 则： Sn=a1+22 3+23 3+2n+1 3 =22+23+2n+1（ 3+3+3） = =2n+2 3n 4 18如图， 圆 O 的直径， 直圆 O 所在的平面，点 C 为圆 O 上的一点 （ 1）求证： 平面 （ 2）若 ， B，点 M 为 中点，求三棱锥 B 体积 【考 点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）由直径所对圆周角为直角可得 由 直圆 O 所在的平面，得后结合线面垂直的判定得答案； （ 2）由点 M 到平面 距离等于点 P 到平面 距离的 ，把三棱锥 B 体积转化为三棱锥 M 体积求解 【解答】 （ 1）证明：如图， C 为圆 O 上的一点， 圆 O 的直径， 又 直圆 O 所在的平面， 则 平面 （ 2）解 ： ， 在 ，可得 ， 又 B=2，点 M 为 中点， 点 M 到平面 距离等于点 P 到平面 距离的 ， 第 15 页（共 20 页） 19某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入 4 万元广告 费，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从 0 开始计数的 （ 1）根据频率分布直方图计算各小长方形的宽度； （ 2）估计该公司投入 4 万元广告费之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值） （ 3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表： 广告投入 x（单位：万元） 1 2 3 4 5 销售收益 y（单位：万元） 2 3 2 7 表格中的数据显示， x 与 y 之间存在线性相关关系，请将（ 2）的结果填入 空白栏，并计算 x 的回归方程 回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 = ， = 【考点】 独立性检验的应 用；频率分布直方图 【分析】 （ 1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1，建立方程，即可求得结论； （ 2）利用组中值，求出对应销售收益的平均值； （ 3）利用公式求出 b， a，即可计算 y 关于 x 的回归方程 【解答】 解：（ 1）设长方形的宽度为 m，由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1， 可知（ m=1， m=2； （ 2）由（ 1）可知个小组依次是 0， 2）， 2， 4）， 4， 6）， 6， 8）， 8， 10）， 10， 12）， 其中点分别为 1， 3， 5， 7， 9， 11，对应的频率分别为 故可估计平均值为 1 1 ； （ 3）空白处填 5 第 16 页（共 20 页） 由题意， =3， = 9， =55， b= =a=3= y 关于 x 的回归方程为 y= 20已知圆 O： x2+ 及点 C（ 2， 1） （ 1）若线段 垂直平分线交圆 O 于 A， B 两点，试判断四边形 形状，并给予证明； （ 2）过点 C 的直线 l 与圆 O 交于 P， Q 两点，当 面积最大时，求直线 l 的方程 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 （ 1） 中点为（ 1， ），设 垂直平分线为 y= 2x+ ，代入圆 x2+，得 =0，由韦达定理及中点坐标公式得到 中点为（ 1， ），再由 导出四边形 菱形 （ 2）当直线 l 的斜率不存在时， S ，当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y 1=k（ x 2），（ k ），圆心到直线 距离为 d= ，由平面几何知识得|2 ，推导出当且仅当 时， S 得最大值 ，由此能求出直线 l 的方程 【解答】 解：（ 1）四边形 菱形，证明如下： 中点为（ 1， ），设 A（ B（ ， 设 垂直平分线为 y= 2x+ ，代入圆 x2+，得 =0， ， = 2 = ， 中点为（ 1， ）， 四边形 平行四边形， 又 四边形 菱形 （ 2）当直线 l 的斜率不存在时， l 的方程为 x=2，则 P、 Q 的坐标为（ 2， ），（ 2， ）， S =2 ， 当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y 1=k（ x 2），（ k ）， 则圆心到直线 距离为 d= ， 由平面几何知识得 |2 ， 第 17 页（共 20 页） S = d= = ， 当且仅当 9 d2= 时， S 得最大值 ， ， S 最大值为 ， 此时，由 = ，解得 k= 7 或 k= 1 此时，直线 l 的方程为 x+y 3=0 或 7x+y 15=0 21设函数 f（ x） =（ 24a R （ 1）当 a=1 时，求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ 2）若对任意 x 1， +）， f（ x） +a 0 恒成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求出函数的导数，计算 f（ 1）， f（ 1），代入切线方程即可； （ 2） g（ x） =f（ x） +a，求出函的导数，通过讨论 a 的范围，得到函数 g（ x）的单调性，求出 g（ x）的最小值，从而求出 a 的范围即可 【解答】 解：（ 1） a=1 时， f（ 1） =0， f（ x） =（ 4x 4） 2x 4）， f（ 1） = 2， 切线方程是： y= 2（ x 1）， 即 2x+y 2=0； （ 2）设 g（ x） =f（ x） +a=（ 24a， x 1， +）， 则 g（ x） =4（ x a）（ ），（ x 1）， a 1 时， g（ x）在 1， +）递增， 对 x 1，有 g（ x） g（ 1） =1 a 0， a 1； a 1 时， g（ x）在 1， a）递减，在（ a， +）递增， g（ x） g（ a） =1 2 a， 由 1 2 a，得： a（ 1 2 1 0， 设 h（ a） =a（ 1 2 1， a 1， 则 h（ a） = 1 20，（ a 1）， h（ a）在（ 1， +）递减， 又 h（ 1） =0， h（ a） h（ 1） =0 与条件矛盾， 综上： a 1 选修 4何证明选讲 22如图， O 的切线， O 的割线， B，连接 别与 ，点 G （ 1）求证： （ 2）求证： 第 18 页（共 20 页） 【考点】 相似三角形的判定；弦切角 【分析】 （ 1）根据已知和切割线定理可得 D = ，又 可证明 （ 2）由 F， G， E， D 四点共圆，可得 用三角形相似可得 过证明 可得解 【解答】 （本题满分为 10 分） 证明：（ 1）根据题意，可得： D B， D = ， 又 5 分 （ 2） F， G， E， D 四点共圆， 又 10 分 选修 4标系与参数方程选讲 23在平面直角坐标系中，圆 C 的方程为 （ 为参数），以坐标原点 O