工科数学分析-07数分试卷6学分答案

诚信应考,考试作弊将带来严重后果华南理工大学考试数学分析三参考答案及评分标准注意事项1考前请将密封线内填写清楚；2所有答案请直接答在试卷上；3考试形式闭卷；4本试卷共两大题，满分100分，考试时间120分钟。题号一计算二证明总分得分评卷人一计算题（共8题，每题9分，共72分）。1求函数在点0,0处的二次极限与二重极限331,SINSIFXYYX解，因此二重极限为43,Y0分因为与均不存在，3301LIMSINSIXYX3301LIMSINSIYX故二次极限均不存在。9分2设是由方程组所确定的隐函数,其中和分别,YXZ,0ZXFYFFF具有连续的导数和偏导数,求D解对两方程分别关于求偏导X，4分。解此方程组并整理得9分YYXYZFFXFXFDZ3取为新自变量及为新函数，变换方程,WV。2ZZXYX_学院专业学号姓名座位号密封线内不答题密封线线10XYDZYFFD设（假设出现的导数皆连续）,2YXYWZE解看成是的复合函数如下Z。4分,2YXYE代人原方程，并将变换为。整理得XYZ。9分2W4要做一个容积为的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省31M解设圆桶底面半径为,高为,则原问题即为求目标函数在约束条件下RH的最小值，其中目标函数,2S表约束条件。3分21RH构造LAGRANGE函数22,1FRHRH。令6分240,RHR解得，故有由题意知问题的最小值必存在，当底面3314,H半径为高为时，制作圆桶用料最省。93,2R分5设,计算32YXFEDFY解由含参积分的求导公式5分33222232YYXXYXYXYEEDEE32752YXYYYD。9分37521XYEE6求曲线所围的面积，其中常数2XYABC,0ABC解利用坐标变换由于，则图象在第一三象限，从而可OS,IN0XY以利用对称性，只需求第一象限内的面积。3分2,0,SINCO2AB则6分,2XYVD122SINCO0ABD20SINCOAB9分7计算曲线积分,其中是圆柱面与平面352LZDXYDZL21XY的交线（为一椭圆），从轴的正向看去，是逆时针方向3ZY解取平面上由曲线所围的部分作为STOKES公式中的曲面，定ZY向为上侧，则的法向量为。3分1COS,CS0,2由STOKES公式得352LZDXYDZOCOS352DSXYZ6分S21XYD9分8计算积分,为椭球的上半部分的下侧SYZDX221ZABC解椭球的参数方程为，其中SINO,SIN,COSYZ且02,。3分2SI,ZXAC积分方向向下，取负号，因此，6分YZDX22320SINOSIBD220IICACD9分4二证明题（共3题，共28分）。9（9分）讨论函数在原点0,0处的连续性、3224,00XYYF可偏导性和可微性解连续性当时，2XY，当，2440XYF,0,XY从而函数在原点处连续。3分0,可偏导性，,0,LIMXXFFFX，,Y0,0YY即函数在原点处可偏导。5分可微性不存在，2232422001LILIXYXYXYFFYXY从而函数在原点处不可微。9分,10（9分）（9分）设满足,FXY（1）在上连续，00,DXYAB（2），0F（3）当固定时，函数是的严格单减函数。,XY试证存在，使得在上通过定义了一个0X,0FXY函数，且在上连续。Y证明（I）先证隐函数的存在性。由条件（3）知，在上是的严格单减函数，而由条件0,FX0,YBY（2）知，从而由函数的连续性得0,0FX，。Y,现考虑一元连续函数。由于，则必存在使得0,X0,YB10，。0,FXB1,OX同理，则必存在使得2，。0,Y02,取，则在邻域内同时成立12MINX，。3分0,FXB0,FYB于是，对邻域内的任意一点，都成立,O，。0,Y0,X固定此，考虑一元连续函数。由上式和函数关于的连续性可X,FXY,FXY知，存在的零点使得,FY0B0。,而关于严格单减，从而使0的是唯一的。再由的任意性，,X,XYX证明了对内任意一点，总能从找到唯一确定的与相0,OX,FY对应，即存在函数关系或。此证明了隐函数的存在性。FF6分（II）下证隐函数的连续性。YFX设是内的任意一点，记。X0,YFX对任意给定的，作两平行线，。由上述证明知，。,0FXY,0FXY由的连续性，必存在的邻域使得,OX，。,X对任意的，固定此并考虑的函数，它关于严格单减且XOYFYY，。,0FY,0FX于是在内存在唯一的一个零点使，,X即对任意的，它对应的函数值满足。这证明了函数,XY是连续的。9分YF11（10分）判断积分在上是否一致收敛，并给出证明。10SINDX02证明此积分在上非一致收敛。证明如下2作变量替换，则XT。3分1201SINSINDTDT不论正整数多么大，当时，恒有。3,2,4AN2SINT5分因此，7分2211SINAATDDTT214TA，当时。2043N2因此原积分在上非一致收敛。10分0注不能用DIRICHLET判别