最新核物理分析答案

数学知识补习1、空间立体角2、TAYLOR级数3、梯度、散度、旋度4、波动方程（亥姆霍兹方程）5、BESSEL函数1、TAYLOR级数引入逼近（APPROXIMATION）在某点X0附近用简单函数近似地代替一般函数F（X）一阶逼近利用微分的性质，在XA,用切线代替F（X）当XXA很小时，AXAFAFXF（11）FX在XA处的一阶TAYLOR展开式Y5X2和Y在X1处一阶逼近函数Y10（X1）的图像二阶逼近用P（X）C0C1XC2X2逼近F（X）P2（0）F（0）P2（0）F（0）P2（0）F（0）C0F（0）C1F（0）C2（1/2）F（0）2000XFXFFXF初值相等斜率相同凹凸相同二阶TAYLOR级数展开式YCOSX，与它的二阶TAYLOR展开式Y11/2X2的图像N阶多项式逼近多项式函数PN（X）C0C1XC2X2C3X3CNXN满足PN（0）F（0）PN（0）F（0）PN（N）F（N）（0）NNNXNFXFXFFXP0201002N阶麦克劳林展开式EX与它的5阶TAYLOR展开式图像在0附近两个函数的差别已经很小2、梯度、散度、旋度引入21梯度22YXZ偏导数表示沿坐标轴的变化不沿坐标轴方向的变化如何表示多元函数上某点的偏导数构成了沿坐标轴的变化，能否将沿某一给定方向的变化率看成是沿各坐标轴变化率的迭加呢从图上看是可以的沿某一方向的方向导数可以这样计算偏导数确定的导数向量单位方向向量22YXZ的等高线图由等高线图可以看出1、梯度方向是变化率最大方向2、任意方向的方向导数可以表示为偏导数的矢量和方向导数梯度方向|,LLJYFIXFLF对于二元函数，方向导数可以如此计算当|LL与JYFIXF,方向相同时，方向导数有最大值。方向导数去最大值的方向称为梯度方向JYFIXFYXFGRAD,FZYXFGRAD,对于三维变量函数梯度是针对标量场而言的，梯度的正方向高低22散度散度描述的是从无限小体积元表面流出的净流量。GAUSS定理的引出DVJDIVDSJ物理上如何解释将封闭空间分成无数个小体积元，从面S流出的流量各个小体积元流出量之和DVSDSJDSJDVJDIVJDVDIVGAUSS定理交界面上JDS大小相等方向相反，抵消23旋度STOKES公式的引入DSJROTDLJSWHY意义何在计算在流速场J（X，Y）中，环路中的流量把以环路为边界的面分成无数个面元通过环路的流量微小面元环流之和WHY交界处环流相互抵消DLJDLJDSSJDSROT格林公式（斯托克斯的二维形式旋度作为无限小面积内的环流。3波动方程的引入设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，而且除受不随时间而变的张力作用及弦本身的重力外，不受外力影响。下面研究弦作微小横向振动的规律。（所谓“微小”是指振动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都很小，以致它们的高于一阶次方都可以忽略不计。）设弦上具有横坐标为X的点在T时刻的位置为M，位移NM记作U。显然，在振动过程中位移U是变量X与T的函数U（X，T）。弦的振动（古典问题）首先，选取弦上长度为DS的质量元，研究该质量元的运动情况，如果每小段质量元运动情况研究清楚了，那么，显然整个弦的运动也就清楚了。如何用数学描述弦振动一维弦振动在弦上任取一段弧MM，长度为DS，设是弦的密度，弧MM两端的张力分别为T，T。考虑无刚性（张力沿切线方向），现考虑MM的受力情况。X轴方向受力COSCOSTT水平方向弦并没有发生移动将COS和COS进行TAYLOR展开得421COS42421COS42（31）得1COS1COS代入（31），得TT在U方向受力（取Y方向为参考方向）GDSTTSINSIN因为很小，所以SINTAN；SINTANGDSTTTANTANTAN和TAN分别是X和XDX处弦曲线的导数GDSXTDXXUTXTXUT,GDSXTDXXUTXTXUT,TT考虑微小振动和值很小，可以忽略高阶项。U方向，由牛顿第二定律，得22,TTXUDXGDXXTXUXTDXXUT22,TTXUDSGDSXTDXXUTXTXUT由于DSDX，替换整理上式中括号内可以看成是，U的一阶导数的微分，可以用U的二阶导数来表示2222,TTXUDXGDXDXXTXUT2222,TTXUDXDXGXTXUT合并整理2222,TTXUDXDXGXTXUT进一步简化方程，考虑具有理想刚性的弦，弦上的力变化远远大于重力影响2222,TTXUDXDXXTXUT22222,TTXUXTXUATA2令（12）一维无限长弦波动方程如何求解波动方程（12）31一维波动方程的求解思想观察一维弦振动，各点的振动不光和位置有关，并且对于某一个位置上的点随时间的运动的遵循简谐振动的。因此，考虑时空分离。令,TTXXTXU代入波动方程22222TTTXXXXXTTA222221DTTTDTTDXXXDXXA变量分离一般地，要使上式成立，等式左右必须均等于一个常数，设为。分离出时间方程和空间方程221DTTTDTT222DXXXDXXA（33）（34）首先求解波动方程的空间部分（33）0222XXKDXXXD22AK令（34）亥姆霍兹方程通常（34）成为亥姆霍兹方程，但是又因为它是波动方程的空间部分，所以也称作波动方程。工作小结古典弦振动偏微分方程（波动方程）常微分方程物理模型变量分离剩下的工作如何求解（33）和（34）这两个方程（34）就目前的知识而言，可以猜想到（34）的解具有指数或者正弦余弦函数的性质。0222XXKDXXXD由于三角函数可以通过欧拉公式与指数函数联系，因此，只考虑解具有指数函数形式是合适的两个特解KXEX1KXEX2X1，X2称为（34）的基础解系，由线性叠加可知，X1，X2的线性组合应当也满足方程（34）KXKXBEAEXX普遍解（35）WHYKXKXBEAEXX（35）考察普遍解（35）的最基本约束，振动应该在无限远处有限KXAEXX（36）非增殖介质中子扩散方程022L（37）显然，（37）和（34）具有同样的形式因此非增殖介质中子扩散方程是一个典型的亥姆霍兹方程（波动方程）考虑最简单情况（一维平板面源）扩散方程0,0222XLXDXXD（38）扩散方程与亥姆霍兹方程（波动方程）形式相同，故它们具有相同的解由一维的亥姆霍兹方程的通解（35）和约束条件得到的具有物理意义的解（36）也是同样满足反应堆中子扩散理论的所以，从物理的意义和数学的解上都可以得知，无限平板源扩散的中子通量密度应该遵循指数衰减规律。（39）回顾前面我们只求解了一维波动方程的空间部分（亥姆霍兹方程），但是我们说解完了空间部分X（X）就足够了，因为在反应堆物理分析中，我们所求的稳态中子扩散方程是跟时间无关的。为什么认为中子通量密度跟时间无关反应堆在给定功率条件下，运行足够长的时间，若没有扰动，那么各点的中子通量密度应该是确定的，即平衡的。对于反射层这样的非增殖介质，用稳态非增殖扩散方程描述是合适的。如果要用稳态非增殖扩散方程描述净堆启动过程，显然是不合适的，对于未达平衡的状态除了空间函数外还要加上时间函数T（T）来描述反应堆的动力学特性。另外一种情况无限大非增殖介质内点源的情况0,02222RLRDRRDRDRRD球坐标下，扩散方程（17）演变为（310）0,02222RLRDRRDRDRRD（310）RU222LUDRUD（311）波动方程（311）式是前面所讲的波动方程，不再详述4BESSEL函数的引入热传导过程冷热不均的物体，热量要从温度高的地方向温度低的地方转移，形象的用热的流动来描述。将整个物理的温度看成温度场U（R，T）（标量场）由高等数学的初等场论可知，标量场的梯度函数对应于矢量。结合热传导过程，温度场的梯度函数应该对应于热流矢量。而在反应堆中，中子密度为一个标量场，中子密度N标量的梯度函数应该对应于中子流密度J，但是对于单速中子而言，我们是可以用中子通量密度标量NV来代替中子密度N标量的。当然，用来替代N是考虑到物理的意义和计算的方便，你也完全可以不进行替代回到热传导问题，单位时间某体积内的温度变化TTRU,是否应该等于从该体积内向外流出的净热量呢（41）DEFINITELYTRUE并且从场论初步我们知道从封闭曲面流出的净热流热流场散度封闭曲面所围的体积（GAUSS定理）JDS而，热流矢量GRADUAJ（42）（44）DIVJDIVJDVJDSDV（43）单位时间穿出无限小面S的净热流为UAGRADUDIVA2A为表征热传导性质的参数由温度随时间的变化与单位时间穿出面S的净热流相等的关系，我们建立热传导方程,2TXUATTXU（45）三维热传导方程,22TXUATTXU（46）2AA令联想在一维弦振动求解时的变量分离,RXTTTXU（47）（26）22RXTTADTTDTRX122RXRXADTTDTTT（48）变量分离一般地，要使（28）两边相等，这两边必须都等于一个不含变量的常数DTTDTTT122RXRXA（49）（410）中子扩散理论研究是稳态后的中子通量密度分布，鉴于这样的考虑，我们还是只关心方程的空间部分（410）现在考虑无限薄圆片的热传导方程在圆柱体反应堆的径向中子通量密度分布中，出现了BESSEL函数。WHY先对方程（410）进行化简02RKXRX（411）又是我们熟悉的亥姆霍兹方程2AK为了能在圆中更简单的求解方程，进行坐标变换0,1,1,22222KXXXX（412）这又是一个偏微分方程要对（212）求解，必须再次进行变量分离ITSSOBORING0,1,1,22222KXXXX（412）022DD变量分离（413）02222PKDDPDPD（414）又是一个亥姆霍兹方程前面已经求出亥姆霍兹方程的解CE（415）CE（415）由圆的对称性，温度分布应该具有周期性NNEEE22比较等式两端3,2,1,02222N（416）022222PNKDDPDPD（417）代入（414）N阶BESSEL方程思考对于圆柱体反应堆，求解中子通量密度分布时采用柱坐标0122L亥姆霍兹方程,ZHPZ变量分离与前面引入的热传导方程的空间部分相比，中子通量密度函数的径向角度分布应该是和热传导方程具有同样的形式P是满足热传导方程的空间方程（412）的而径向函数部分P（）又满足BESSEL方程（417）在圆柱形堆内，中子通量密度一定含有BESSEL函数的乘积项参看课本P907中子通量密度的表达式热传导方程与扩散方程的类比无限薄圆片热传导方程温度的径向分布满足BESSEL方程温度的空间分布空间变量分离时空变量分离圆柱堆稳态单速中子扩散方程满足波动方程的径向角分布满足热传导方程空间部分空间变量分离空间变量分离的径向分布满足BESSEL方程BESSEL函数起源于热传导方程的求解出现在圆柱体反应堆的中数理方程形式的类似022222PNKDDPDPD（417）N阶BESSEL方程如何求解思想当微分方程很复杂时，我们不可能通过观察或者猜想求得其特解。但是，一个连续函数可以展开为级数形式，并且选定了级数的形式后，展开式一定这也是解微分方程的一种通常考虑考虑一般BESSEL方程以上热传导方程的解法与一般BESSEL方程一样022222YNXDXDYXDSYDX解方程的详细过程此处不再赘述，有兴趣的请参看数学物理方程与特殊函数P103页，52节。BESSEL方程的解称为BESSEL函数第一类BESSEL函数JNX第二类BESSEL函数（NEUMAN函数）YNXBESSEL函数具体的函数形式请参看数理方程与特殊函数附录，或者数学手册，BESSEL函数具体表达式中牵涉到的函数同样。常用数学软件MATHEMATICA，MATLAB，MAPLE参看的书大学数学手册、剑桥物理公式手册、数理方程与特殊函数MAYYOUHAVEAWONDERFULEXPERIENCEINNUCLEARREACTORPHYSICALANALYSISSTUDYTHANKSAGAIN第一章、核反应堆的核物理基础1、某压水堆采用二氧化铀作燃料，其富集度为243（重量），密度为104公斤/米3，计算当中子能量为0025电子伏时，二氧化铀的宏观吸收截面和宏观裂变截面。宏观截面的物理含义一个中子与单位体积内原子核发生核反应的几率。NIIIN18855NNNAAOOAA55NFF8855NNNAAOOAA宏观吸收截面0N5N8N2UON求宏观截面单位体积内各原子核个数单位体积内各分子个数求分子量92622691621238235552CCMUOUO2分子量铀（URANIUM）元素包含U238与U235两种同位素，在计算分子量时需要考虑U235与U238的原子比例8555NNNC55851CCNN1621238235552CCMUOUO2分子量02460102430198740111987401115CMOLGMUO/92622692单位体积内UO2分子数目28234102302421002692622691010001000222AUOUOUONMN18555234321222MNNCNCOAUOAUOAUOAUO2宏观吸收截面与求宏观吸收截面类似的，有128285013210558310230242024602MNCFUOFUO2宏观裂变截面对于0025EV的中子，UO2的宏观裂变截面只与U235核有关，而U238核属于阈裂变核素，在中子能量达到11MEV以上时才有可能发生裂变。如果本题中的中子能量在11MEV以上，求宏观裂变截面就必须考虑U238了。U238裂变截面2、某反应堆堆芯由铀235、水和铝组成，各元素所占的体积比分别为0002，0600和0398，计算堆芯的总吸收截面A（0025电子伏）ALAALOHOAHAAALOAHAANNN222555与前一题类似地，9826103980016181060002351000206656522ALAALOHOAHAAN158M3、求热中子（0025电子伏）在轻水、重水、和镉中运动时，被吸收前平均遭受的散射碰撞次数。热中子在介质中的运动散射吸收路程每两次散射穿过的平均的平均路程从产生点到吸收点穿过吸收前的碰撞次数ASASASSANNN1566601032OHN1360000106132ODN31086224507CDN4、试比较将20MEV电子伏的中子束减弱到1/10所需的铝、钠和铅的厚度。0II窄束衰减规律DTEII0窄束衰减规律DEII01010IITD10LN在10MEV以内，铝、钠、铅的吸收截面都满足1/V定律EAA0253002530与吸收截面不同的是，在10MEV以内，散射截面基本不变02530SSEAA025300253002530SSTTD10LN分别求得MDAL2740MDNA2260MDPB06340如果不考虑散射导致的束流损失，只考虑吸收损失AD10LNMDAL410361MDNA4105751MDPB4104123这样的结果显然是低估了散射使得束流偏移而导致的束流损失，同时也说明窄射束衰减中散射效应对束流损失的较大贡献第一章、核反应堆的核物理基础7、有一座小型核电站，电功率为15万千瓦，设电站的效率为27，试估算该电站反应堆额定功率运行一小时所消耗的铀235数量。TPEEEETH22196341965102561061102002703600101015106110200TPNEF1965106110200THFEN解热能裂变U235核数补充第一章、核反应堆的核物理基础GMNNMA52823510026103072322555222255103075583968010256FAFNN俘获加裂变U235核数消耗U235总质量量8、某反应堆在额定功率500兆瓦下运行了31天后停堆，设每次裂变产生的裂变产物的放射性活度为1081016T12居里。此处T为裂变后的时间，单位为天，试估算停堆24小时堆内裂变产物的居里数。首先，裂变率JEDAY3600241050062419661961035110611020036002410500106110200DAYDAYENT0T0DTT0T时间T时间DTTDA2116241008110351T0T0DT的裂变对T时间后的放射性贡献为第0天第31天第32天CIDTTA832121162410623100811035112、设核燃料中铀235的浓缩度为32（重量），试求铀235与铀238的核子数之比。0324010320198740111987401115C033500324010324015585CCNN13、为了使铀的17，试求铀中铀235的富集度为多少（设中子能量为00253EV）。8855558555252AAFAAFNNN01524096807155835272715255885AFANN185858555119874011NNNNNNNC51代入（N5/N8001524得第一章、核反应堆的核物理基础14、为了得到1千瓦时的能量，需要使多少铀235裂变。JE610633600100017196619651012511061102001063106110200ENGMNNMA423196655510430235100261061102001063解设单次裂变产生能量200MEVU235裂变数U235质量第一章、核反应堆的核物理基础15、反应堆的电功率为1000兆瓦，设电站的效率为32。问每秒有多少个铀235发生裂变问运行一年共需消耗多少公斤易裂变物质一座相同功率煤电厂在同样时间需要多少燃料已知标准煤的燃烧热为Q29兆焦/公斤。WPPETH96101253320101000SPNTHF/109770106110200101253106110200201969196解热功率裂变U235数第一章、核反应堆的核物理基础TGMNNMAFAFYEAR403110140323510026360024365558396801097703600243653232055TPMTHYEARC6610431029360024365年U235消耗量年标煤消耗量16、某压水堆的电功率为990MW，设电站的效率为32，运行了三个月后停堆。试计算停堆后1分钟、1小时、10小时、1天、10天、1月后的衰变热。同样计算运行一年后停堆的情况。WPPETH9610133201099010121066/10142020820202202011WTWTPSMEVTPPTHTHD热功率衰变热功率分别代入1T13MONTHS778106S11MINUTES60S；2T23MONTHS778106S21HOUR3600S；3T33MONTHS778106S310HOURS36000S4T43MONTHS778106S41DAY864104S5T53MONTHS778106S510DAYS864105S6T63MONTHS778106S61MONTHS26106S得PD147107W47MWPD232107W32MWPD317107W17MWPD413107W13MWPD505107W5MWPD6003107W03MW衰变热功率随时间的关系核反应堆物理分析第二章习题1、有两束方向相反的平行热中子束射到U235的薄片上，设其上某点自左面入射的中子强度为1016中子/米2秒。自右面入射的中子束强度为21016中子/米2秒。计算（A）该点的中子通量密度；（B）该点的中子流密度。（C）设A192102米1，求该点的吸收率。解（A）中子通量密度为各方向中子束流强度值的总和10162101631016中子/米2秒（B）中子流强度为各方向中子束流强度的代数和（即中子净流量），取向右为正方向J1016210161016中子/米2秒（C）吸收反应率RAA310161921025761019中子/米3秒5、在某球形裸堆（R05米）内中子通量密度分布为秒米中子217/SIN105RRRR试求（A）（0）；（B）J（R）的表达式，设D08102米；（C）每秒从堆表面泄漏的总中子数（假设外推距离很小可略去不计）。解（A）由中子通量密度的物理意义可知，必须满足有限、连续的条件SIN105LIMLIM01700RRRRRRRRRR170105LIM秒米中子21817/10143105RB中子流密度DGRADRJERRD为径向单位矢量EERRRRRRRRJCOS105SIN1051080172172ERRRR2COS22SIN1104215（R）仅于R有关，是各向同性的24RRJL秒中子/1058150450104172215（C）泄漏中子量径向中子净流量球体表面积DSJL7、圆柱体裸堆内中子通量密度分布为秒米中子2016/4052COS10,RRJHZZR其中，H，R为反应堆的高度和半径（假设外推距离可略去不计）。试求（A）径向和轴向的平均中子通量密度和最大中子通量密度之比；（B）每秒从堆侧表面和两个断面泄漏的中子数；（C）设H7米，R3米，反应堆功率为10兆瓦，F5410靶，求反应堆内U235的装载量。解（A）1径向中子通量密度平均值与径向中子通量密度最大值之比,10MAXRDRZRRRRRR为（R）的极大值点由0,RZR求出R（2）（1）0阶第一类BESSEL函数02014KKKKXXJ由于题中RRX4052取R的最大值R，并且足够大，这里取X2代入BESSEL函数中，得到0阶BESSEL函数的前4项的图像BESSEL函数前4项图像在图中可以看出当K3时，函数值已经非常的小了，并且后面的项很快收敛到0，因此我们取前4项即可（误差计算此处并不给出）因此4664321624116420XXXXJ查表或者自行计算得到（1，2，3，4）的值为（1，1，2，6）代入上式，并且令X（2405R/R）得到66442202304519364453347851RRRRRRRJ将J0代入（R,Z）并利用（2）求出极大值点R038451931645332785,65432RRRRRRCRZRHZCCOS1016解以上方程得到舍去无意义根和大于R的根（0RR），得0R（1）,10MAXRDRZRRRRR2304519364453347851230451936445334785116644220664422RRRRRRCDRRRRRRRRCR时，取极大值242765,093931,0RRR代入R并计算出积分值得到611016110MAXRR（A）2HZHCZZRSIN,（3）RRJC405210016令（3）0，得ZNH，N为整数Z只能取0，（R，Z）有极大值从的形式可以看出，原点是建在柱体的中心的同理，可得COS12/2/MAXCDZHZCHZZHH63702该堆芯中子通量密度的分布图轴向中子通量密度分布径向中子通量密度分布（B）RZRDJ,侧侧面中子流密度6543238451931645332785RRRRRRDCRRRHZD38451931645332785COS1016单位时间从侧面泄漏的中子数为RDZJLH20侧侧秒中子/102516HD上下面中子流密度ZZRJZ,HZHDCSIN分别代入ZH/2,ZH/2得2SIN4052100162/RRHDJJHZRRHDJ405210016负号表示中子流密度指向Z方向RRHDJJHZ4052100162/2/2/HHZLLLRRDRDRRHDJ0200164052102秒中子/1058162RHD（C）堆内的裂变反应率为DZRDRDNZRRFF53532030,DZRDRDNRRRZF664422535320301632304519336445333478517COS10DZRDRDNMRRRZFA23532304519336445333478517COS106644225353203016裂变功率为FFRP196106110200710由以上两式可以算出U235的装载量9设某石墨介质内，热中子的微观吸收和散射截面分别为A45102靶和S48靶。试计算石墨的热中子扩散长度L和吸收自由程A，比较两者数值大小，并说明其差异的原因。解单位体积内石墨的核数目为ANMN23610026121061328/108米个AAN28228101054108米/360AA13601米821310SALSSN28281084108米/4389444043836031米160AL解释堆内热中子的平均行为是先扩散最后被吸收，因此扩散长度P2的方向核反应堆物理分析第三章1、证明当中子被自由质子散射时，散射中子和反冲质子的实验室系速度之间的夹角总是90度解能量守恒222212121N