第二章 控制系统的数学模型

1、第二章 控制系统的数学模型2-1 在图1-22的液位自动控制系统中，设容器横截面积为，希望液位为。若液体高度变化率与液体流量差成正比，试列写以液位为输出量的微分方程式。解 本题研究建立液位控制系统的微分方程数学模型。当时，液位的高度为；当时，液位的高度将发生变化。由于液体高度变化率与液体流量差成正比，所以有则以液位为输出量的微分方程式为2-2 设机械系统如图2-57所示，其中是输入位移，是输出位移。试分别写出各系统的微分方程。图2-57 机械系统解 本题研究建立机械系统的微分方程数学模型。(1) 对于2-57(a)所示系统，根据力平衡方程，在不计重力时，可得则系统的微分方程式为(2) 对于2-

2、57(b)所示系统，在上部分弹簧与阻尼器之间取辅助点，并设点位移为，方向向下。根据力平衡方程，在不计重力时，可得下列方程消去中间变量，由于， 故有则系统的微分方程式为(3) 对于2-57(c)所示系统，根据力平衡方程，在不计重力时，可得则系统的微分方程式为2-3 试证明图2-58(a)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。 (a) (b)图2-58 电网络与机械系统解 本题研究用拉氏变换法建立系统的传递函数数学模型。(1) 对于图2-58(a)，根据复数阻抗的方法可得电网络的传递函数为(2) 对于图2-58(b)，在弹簧和阻尼器之间引入辅助点，设其位移为，方向向下。根据力平衡方程，在不计

3、重力时，可得对上述两式进行拉氏变换，考虑初始条件为零，可得消去中间变量则机械系统的传递函数为 通过比较、可知：两传递函数的类型相同，即图2-58(a)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。2-4 试分别列写图2-59中各无源网络的微分方程式。 (a) (b)图2-59 无源网络解 本题研究网络数学模型的建立方法。(1) 对于图2-59(a)所示的无源网络，设通过电阻的电流为（方向自左向右），通过电容的电流为（方向自左向右），通过电阻的电流为（方向自上向下），根据电压平衡可得于是 从而 整理后可得2-59(a)所示的无源网络的微分方程为(2) 对于图2-59(b)所示的无源网络，设通过左侧

4、电阻的电流为（方向自左向右），通过右侧电阻的电流为（方向自右向左），通过电容的电流为（方向自左向右），通过电容的电流为（方向自上向下），根据电压平衡可得：于是从而 又因为，则即整理后可得2-59(b)所示的无源网络的微分方程2-5 设初始条件为零，试用拉氏变换法求解下列微分方程式，并概略绘制曲线，指出各方程式的模态。(1) (2) (3) 解 本题考察用拉氏变换法求解线性定常微分方程。(1) 由拉氏变换可得则由拉氏反变换可得由的表达式易得系统的特征根为，故该方程的运动模态为。因此，曲线如下图所示 (图中横坐标表示采样点数，采样间隔为)单位斜坡响应曲线(2) 由拉氏变换可得则由拉氏反变换可得由的

5、表达式易得系统的特征根为故该方程的运动模态为。因此，曲线如下图所示(图中横坐标表示采样点数，采样间隔为)单位脉冲响应曲线(3) 由拉氏变换可得则由拉氏反变换可得由的表达式易得系统的特征根为故该方程的运动模态为，。因此，曲线如下图所示(图中横坐标表示采样点数，采样间隔为)单位阶跃响应曲线2-6 在液压系统管道中，设通过阀门的流量满足如下流量方程式中，为比例系数；为阀门前后的压差。若流量与压差在其平衡点（，）附近作微小变化，试导出线性化流量方程。解 本题考察流量非线性微分方程的线性化，具体做法是对非线性微分方程在其平衡点附近用泰勒级数展开并取前面的线性项，得到等效的线性化方程。在平衡点（，）处对流

6、量泰勒展开并取一次项近似可得则线性化流量方程如下省去符号“”，上式可以简写为2-7 设弹簧特性由下式描述：其中，是弹簧力；是变形位移。若弹簧在变形位移附近作微小变化，试推导的线性化方程。解 本题考察弹簧元件非线性微分方程的线性化，具体做法是对非线性微分方程在其平衡点附近用泰勒级数展开并取前面的线性项，得到等效的线性化方程。在处对进行泰勒展开，并取一次项近似可得由上式可知，的线性化方程为上式亦可简化表示为2-8 设晶闸管三相桥式全控整流电路的输入量为控制角，输出量为空载整流电压，它们之间的关系为式中是整流电压的理想空载值，试推导其线性化方程式。解 本题考察电路非线性微分方程的线性化，具体做法是对

7、非线性微分方程在其平衡点附近用泰勒级数展开并取前面的线性项，得到等效的线性化方程。在处对进行泰勒展开，然后再取其一次项近似可得由上式可得全控整流电路的线性化方程为2-9 若系统在阶跃输入时，零初始条件下的输出响应，试求系统的传递函数和脉冲响应。解 本题用拉氏变换法研究系统输出响应与传递函数之间的关系。系统在阶跃输入，即时，系统的输出响应为，即则系统的传递函数为于是，系统脉冲响应为 2-10 设系统的传递函数为且初始条件，。试求单位阶跃输入时，系统的输出响应。解 本题用拉氏变换法研究系统传递函数与输出响应的相互关系。已知系统的传递函数，则对应的微分方程为对上式两边同时进行拉氏变换。可得输入为，即

8、代入初始条件，可得对上式进行拉氏反变换可得系统在阶跃输入时，输出响应为 2-11 在图2-60中，已知和两方框相对应的微分方程分别是且初始条件均为零，试求传递函数及。 图2-60 题2-11系统结构图解 本题研究系统微分方程与系统传递函数的转换方法。对题设所给的微分方程两边同时进行拉氏变换，由于初始条件均为零，所以有由上式可得由系统的方框图可得将和代入得又则所以传递函数和分别为2-12 求图2-61所示有源网络的传递函数。图2-61 有源网络解 本题研究用等效复数阻抗方法推导有源网络的传递函数的方法。(1) 对于图2-61(a)所示的有源网络可得(2) 对于图2-61(b)所示的有源网络可得(

9、3) 对于图2-61(c)所示的有源网络可得2-13 由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图2-62所示，试求闭环传递函数。图2-62 控制系统模拟电路解 本题研究用等效复数阻抗方法推导网络模拟系统的传递函数。在图2-62中，令第一级运算放大器输出为，第二级运算放大器输出为，则可得因为 ， 故有 又因 ， 故有 则所以整理后可得闭环传递函数为2-14 试参照例2-2给出的电枢控制直流电动机的三组微分方程式，画出直流电动机的结构图，并由结构图等效变换求出电动机的传递函数和。解 本题研究将系统的微分方程通过拉氏变换得到系统的传递函数，并根据传递函数画出系统的结构图。电枢控制直流电动机的三组微分方程

10、式为：电枢回路电压平衡方程 电磁转矩方程电动机轴上的转矩平衡方程对上述三式分别进行拉氏变换并设初始条件为零可得根据此三式可以画出直流电动机的结构图如下图所示直流伺服电机结构图则电动机的传递函数如下2-15 某位置随动系统原理方块图如图2-63所示。已知电位器最大工作角度，功率放大级放大系数为，要求：(1) 分别求出电位器传递系数，第一级和第二级放大器的比例系数和；(2) 画出系统结构图；(3) 简化结构图，求系统传递函数。图2-63 位置随动系统原理图解 本题研究通过系统的原理图得出结构图，并简化结构图求出系统闭环传递函数。(1) 求，和 (2) 系统结构图假设电动机的时间常数为，可得直流电动

11、机的传递函数为（忽略电枢电感的影响）其中为直流电动机的传递系数。假设测速发电机的斜率为，则其传递函数为由此可见，系统的结构图如下图所示位置随动系统结构图(3) 系统传递函数系统结构图的简化图如下 系统结构图简化由简化的结构图可得系统的传递函数2-16 设直流电动机双闭环调速系统的原理线路如图2-64所示，要求：图2-64 直流电动机调速系统原理图(1) 分别求速度调节器和电流调节器的传递函数；(2) 画出系统结构图（设可控硅电路传递函数为；电流互感器和测速发电机的传递系数分别为和；直流电动机的结构图用题2-14的结果）；(3) 简化结构图，求系统传递函数。解 本题研究通过调速系统的原理图得出结

12、构图，并简化结构图求出闭环传递函数。(1) 求调节器的传递函数速度调节器的传递函数为电流调节器的传递函数为(2) 画系统结构图由于直流电动机的结构图用题2-14的结果，同时由于引入了电流反馈，故在电动机的动态结构图中必须把电枢电流显露出来，于是直流电动机调速系统的结构图如下图所示 直流电动机调速系统结构图(3) 求系统传递函数为了推导方便，设， 则简化结构图可得电机调速系统结构图简化经过反馈连接等效，可得如下简化结构图电机调速系统结构图简化由简化的结构图可得系统的传递函数其中， ， ， ， 于是其中可用信号流图及梅森增益验证如下：电机调速系统信号流图由图可知，本系统有一条前向通道，三个单独回路

13、，无互不接触回路，即， ， 由梅森增益公式可得系统的传递函数为2-17 已知控制系统结构图如图2-65所示，试通过结构图等效变换求系统传递函数。图2-65 题2-17系统结构图解 本题研究结构图的等效变换。(1) 图2-65 (a)系统经过比较点后移，可得如下简化结构图简化结构图则系统传递函数为(2) 图2-65 (b)系统经过反馈连接等效，可得如下简化结构图简化结构图则系统传递函数为(3) 图2-65 (c)系统经过比较点后移，可得如下简化结构图简化结构图经过并联等效，可得如下简化结构图简化结构图则系统传递函数为(4) 图2-65 (d)系统经过比较点前移和引出点后移，可得如下简化结构图简化

14、结构图经过反馈连接等效，可得如下简化结构图简化结构图则系统传递函数为(5) 图2-65 (e)系统经过比较点后移和引出点前移，可得如下简化结构图简化结构图经过并联等效，可得如下简化结构图简化结构图经过反馈连接等效，可得如下简化结构图简化结构图则系统传递函数为(6) 图2-65 (f)系统经过比较点后移，可得如下简化结构图简化结构图经过并联等效和反馈连接等效，可得如下简化结构图简化结构图则系统传递函数为2-18 试简化图2-66中系统结构图，并求传递函数和。(a)(b)图2-66 题2-18系统结构图解 本题研究结构图的等效变换。(1) 图2-66 (a) 系统仅考虑输入作用于系统时，系统的结构

15、图为系统结构图经过反馈连接等效，可得如下简化结构图简化结构图则系统传递函数为仅考虑扰动作用于系统时，系统的结构图为系统结构图即等效系统结构图经过反馈连接等效，可得如下简化结构图简化结构图经过比较点的移动，可得如下简化结构图简化结构图则系统传递函数为(2) 图2-66 (b) 系统仅考虑输入作用于系统时，系统的结构图为系统结构图经过比较点后移，可得如下简化结构图简化结构图经过串联等效和并联等效，可得如下简化结构图简化结构图经过比较点后移，可得如下简化结构图简化结构图则系统传递函数为仅考虑扰动作用于系统时，系统的结构图为系统结构图则系统传递函数为2-19 试绘制图2-65中各系统结构图对应的信号流

16、图，并用梅森增益公式求各系统的传递函数。解 本题研究系统的信号流图，以及运用梅森增益公式求传递函数。(1) 图2-65 (a)系统系统信号流图如下图所示系统信号流图由图可知，本系统有两条前向通道，一个单独回路，即， ， ， 由梅森增益公式可得系统的传递函数为(2) 图2-65 (b)系统系统信号流图如下图所示系统信号流图由图可知，本系统有一条前向通道，两个单独回路，即由梅森增益公式可得系统的传递函数为(3) 图2-65 (c)系统系统信号流图如下图所示系统信号流图由图可知，本系统有两条前向通道，两个单独回路，即由梅森增益公式可得系统的传递函数为(4) 图2-65 (d)系统系统信号流图如下图所

17、示系统信号流图由图可知，本系统有一条前向通道，三个单独回路，其中一对回路互不接触，即； 与不接触，由梅森增益公式可得系统的传递函数为(5) 图2-65 (e)系统系统信号流图如下图所示系统信号流图由图可知，本系统有两条前向通道，三个回路，无不接触回路，即由梅森增益公式可得系统的传递函数为(6) 图2-65 (f)系统系统信号流图如下图所示系统信号流图由图可知，本系统有两条前向通道，一个单独回路，即， ， ， 由梅森增益公式可得系统的传递函数为2-20 画出图2-66中各系统结构图对应的信号流图，并用梅森增益公式求各系统的传递函数和。解 本题研究系统的信号流图，以及运用梅森增益公式求传递函数。(

18、1) 图2-66 (a)系统系统信号流图如下图所示系统信号流图仅考虑输入作用于系统时，本系统有一条前向通道，两个单独回路，即由梅森增益公式可得系统的传递函数为仅考虑扰动作用于系统时，本系统有两条前向通道，两个单独回路，即， 与不接触， ， 由梅森增益公式可得系统的传递函数为(2) 图2-66 (b)系统系统信号流图如下图所示系统信号流图仅考虑输入作用于系统时，本系统有三条前向通道，两个单独回路，即， ， ， 由梅森增益公式可得系统的传递函数为仅考虑扰动作用于系统时，本系统有一条前向通道，两个回路，即由梅森增益公式可得系统的传递函数为2-21 试绘制图2-67中系统结构图对应的信号流图，并用梅森

19、增益公式求传递函数和。 (a)(b)图2-67 题2-21系统结构图解 本题研究系统的信号流图，以及运用梅森增益公式求解系统传递函数。(1) 图2-67 (a)系统信号流图如下图所示系统信号流图用梅森增益公式求传递函数考察系统信号流图可知，本系统有两条前向通道，三个单独回路，其中一对回路互不接触，即， ， 与不接触， ， ， 与均不接触， 由梅森增益公式可得传递函数为用梅森增益公式求传递函数考察系统信号流图可知，本系统有两条前向通道，三个单独回路，其中一对回路互不接触，即， ， 与不接触， ， 与不接触， ， 由梅森增益公式可得传递函数为(2) 图2-67 (b)系统 信号流图如下图所示系统信

20、号流图用梅森增益公式求传递函数考察系统信号流图可知，本系统有四条前向通道，五个单独回路，无不接触回路，即， ， ， ， ， ； ， ；， ； ， ；由梅森增益公式可得传递函数为用梅森增益公式求传递函数考察系统信号流图可知，本系统有一条前向通道，五个单独回路，即， ， ， ， ， 与不接触， 由梅森增益公式可得传递函数为下面通过结构图等效变换法进行验证。(3) 图2-67 (a)系统简化结构图如下图所示简化结构图经过反馈连接等效，可得如下简化结构图简化结构图经过比较点后移，可得如下简化结构图简化结构图则系统传递函数为又由系统结构图可知即代入可得(4) 图2-67 (b)系统将与左边的比较点移位，

21、可得如下简化结构图简化结构图经过引出点与比较点的互相移位，可得如下简化结构图简化结构图经过比较点合并及并联等效，可得如下简化结构图简化结构图经过反馈等效和串联等效，可得如下简化结构图简化结构图则系统传递函数为又由系统结构图可知即代入可得2-22 试用梅森增益公式求图2-68中各系统信号流图的传递函数。(a)(b)(c)(d)(e)(f)图2-68 题2-22系统信号流图解 本题研究运用梅森增益公式求传递函数。(1) 图2-68 (a)系统考察信号流图2-68 (a)，其存在两条前向通道，三个单独回路，无不接触回路，即， 与均不接触， 由梅森增益公式可得系统的传递函数为(2) 图2-68 (b)

22、系统考察信号流图2-68 (b)，其存在四条前向通道，九个单独回路，其中六对回路互不接触，一组三回路互不接触，即九个单独回路：， ， ， ， ， ， ， 六对回路互不接触：， ， ，； ， 一组三回路互不接触：， ， ， ， 由梅森增益公式可得系统的传递函数为(3) 图2-68 (c)系统考察信号流图2-68 (c)，其存在两条前向通道，三个单独回路，二对互不接触回路，即与不接触，； 与不接触， 与不接触， ， 与不接触， 由梅森增益公式可得系统的传递函数为(4) 图2-68 (d)系统考察信号流图2-68 (d)，其存在两条前向通道，四个单独回路，一对互不接触回路，即； 与不接触，； ， ，

23、 与不接触， 由梅森增益公式可得系统的传递函数为(5) 图2-68 (e)系统考察信号流图2-68 (e)。仅考虑输入作用时，系统存在四条前向通道，四个单独回路，一对互不接触回路，即； 与不接触，； ， ， ， 与不接触， ， 与不接触， 由梅森增益公式可得此时系统的传递函数为仅考虑输入作用时，系统存在三条前向通道，四个单独回路，一对互不接触回路，即； 与不接触，；， 与不接触， ， ， 由梅森增益公式可得此时系统的传递函数为(6) 图2-68 (f)系统考察信号流图2-68 (f)。仅考虑输入作用时，系统存在九条前向通道，一个单独回路，即， ， ， ， ， ， ， ， 由梅森增益公式可得此时

24、系统的传递函数为仅考虑输入作用时，系统存在三条前向通道，一个单独回路，即， ， ， 由梅森增益公式可得此时系统的传递函数为仅考虑输入作用时，系统存在三条前向通道，一个单独回路，即， ， ， 由梅森增益公式可得此时系统的传递函数为2-23 图2-69所示为双摆系统，双摆悬挂在无摩擦的旋轴上，并且用弹簧把它们的中点连在一起。假定：摆的质量为；摆杆长度为；摆杆质量不计；弹簧置于摆杆的处，其弹性系数为；摆的角位移很小，均可进行线性近似处理；当时，位于杆中间的弹簧无变形，且外力输入只作用于左侧的杆。若令，要求：(1) 列写双摆系统的运动方程；(2) 确定传递函数；(3) 画出双摆系统的结构图和信号流图。

25、图2-69 双摆系统解 本题为系统数学模型建立的微分方程法、传递函数法、结构图法和信号流图法的综合运用，其结果可以相互转化与验证。(1) 运动方程弹簧所受到的压力为左边摆杆的受力方程为即右边摆杆的受力方程为即因与很小，故近似有将代入左右摆杆的受力方程，并对受力方程作线性化处理，得到如下两个方程将，代入以上两个方程，并令，得到双摆系统的运动方程如下(2) 传递函数设全部初始条件为零，对系统运动方程进行拉氏变换，有显然故求出(3) 结构图与信号流图依据信号的传递关系，画出系统结构图和信号流图如图(a)及图(b)所示。图(a) 双摆系统结构图图(b) 双摆系统信号流图(4) 信号流图与传递函数为了便

26、于观察，将信号流图改画为图(c)所示。由图知，有图(c) 双摆系统信号流图， ， ， ， 应用梅森增益公式，立即求得2-24 城市生态系统的多回路模型可能包括下列变量：城市人口数量（变量节点），现代化程度（变量节点），流入城市人数（变量节点），卫生设施（变量节点），疾病数量（变量节点），单位面积的细菌数（变量节点），单位面积的垃圾数（变量节点）等。假定各变量节点间遵循下列因果关系：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 。各变量节点间支路增益的符号待确定。例如，改变卫生设施后，将减少单位面积的细菌数，因此到传输的支路增益应该为负。试确定各支路增益的正负，用恰当的符号，如,等表示支路增益，画出这些

27、因果关系的信号流图，并回答在所给出的四个回路中，哪个是正反馈回路，哪个是负反馈回路？解 信号流图如图2-70所示。由图可见，在给出的四个回路中，第一个回路为负反馈回路，其余为正反馈回路。图2-70 生态系统的信号流图development in order to protect a host of attractions and historical sites, as well as to maintain the economic vitality of the downtown area. Figure 5.1-5 figure 5.1.4 Washington mass transit

28、 network to support implementation of effective transport demand management policies to reduce urban traffic congestion and public transport priority was in the early 1960 of the 20th century by the planners first proposed in Paris, France, and in Europe and other major cities to operate has been the formation of the rich content system. Public transport priority consists of