优选考研数三真题及解析

1、2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上(1)当x 0时，用o（x）表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是(A)x o(x2) o(x3)(B)2o(x) o(x ) o(x:3)(C)2 2o(x ) o(x ) c）（X2）(D)2o(x) o(x ) o(x2)函数f (x)1xx| 1的可去间断点的个数为（）x(x1)ln |x|(A)0(B)1(C)2(D)3设Dk是圆域D（ x, y） | x2 y21位于第k象限的部分，记k1(y x)d

2、xdy kDk123,4，则（）(A)I10(B)I2 0(C)I3 0(D)I4 0(4)设an为正项数列，下列选项正确的是（）(A)若anan 1,则(1)n 1an 收敛n 1B) 若 ( 1)n 1an 收敛，则 an an 1 n1C) 若 an 收敛，则存在常数 P n11,使lim nPan存在n(D)若存在常数P1 ，使 lim nPan 存在，则nan 收敛n1D(5)设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若AB C,则B可逆，贝V1a1206)矩阵 aba与0b1a100(A) 矩阵C的行向量组与矩阵(B) 矩阵C的列向量组与矩阵(C) 矩阵C的行向量组与矩阵(D) 矩阵C的行向量

3、组与矩阵A的行向量组等价A的列向量组等价B的行向量组等价B 的列向量组等价00 相似的充分必要条件为0A) a 0,b2(B) a 0,b为任意常数C) a 2,b 0(D) a 2,b为任意常数7)设 X1， X 2， X3 是随机变量，且 X1N(0,1) ， X2 N( 0,2 2)， X3 N (5,3 2 ) ,jP 2Xj2( j 1,2,3), 则()A)P1P2P3B)P2P1P3C)P3P1P2D)P1P3P28)设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为,则 P X Y 2 ()(A)12(B)(C)(D)、填空题:9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答

4、题纸 指定位置上(9)设曲线y f(x)和yx2 x在点(0,1)处有公共的切线，则 lim nfn(10)设函数z z(x, y)由方程(z y)x xy确定，则一(12)。x(11 )求 lnx 2dx。1(1 x)1(12) 微分方程y y丄y 0通解为y 。4(13) 设A (aj)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aj为aj的代数余子式，若aj Aj 0(i,j 1,2,3),则 A(14) 设随机变量X服从标准正态分布XN(0,1),则E(Xe2X)=。解答题:1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(15)(本题满分10分)

5、当x 0时，1 cosx cos2x cos3x与axn为等价无穷小，求 n与a的值。(16) (本题满分10分)设D是由曲线y x3，直线x a(a 0)及x轴所围成的平面图形，VV分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若 Vy 10VX，求a的值(17) (本题满分10分)设平面内区域D由直线x 3y, y 3x及x y 8围成.计算 x2dxdy(18) (本题满分10分)设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P 60 ，( P是单价，单位：元，Q是销量，单位：件)，已知产销平衡，求: 1000(1) 该商品的边际利润。(2) 当P=50时的边际利润

6、，并解释其经济意义。(3) 使得利润最大的定价P。(19) (本题满分10分)设函数f(x)在0,上可导，f(0) 0且 lim f(x) 2，证明x(1)存在a 0，使得f (a)对(1)中的a，存在1(0,a),使得 f()-(20)(本题满分11 分)0 1，当a,b为何值时,1 b存在矩阵C使得AC CA B，并求所有矩阵C。(21)(本题满分11 分)设二次型f2X1,X2,X32 a必 a?X2 83X3bix-ib?X23X3，?记aia2,a3d 。b3(I)证明二次型f对应的矩阵为2 T(II )若正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型23x , 0 x

7、 1,0, 其他.，在给定3y2r,0 y X,X0, 其他(23)(本题满分11分)设总体X的概率密度为f x0,x 0,其中 为未知参数且大于零, 其它.X!,X2,L Xn为来自总体X的简单随机样本(1) 求的矩估计量；(2) 求 的最大似然估计量.2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上(1)当x 0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是()23(A) x o(x ) o(x )(B) o(x) o(x2) o(x3)(C)

8、 o(x2) o(x2) o(x2)(D) o(x) o(x2) o(x2)【答案】D【解析】o(x) o(x2) o(x)，故D错误。(2)函数 f(x)|x|x 1x(x 1)ln |x |的可去间断点的个数为()(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3【答案】C【解析】由题意可知f(x)的间断点为0, 1。又故f (x)的可去间断点有2个（3）设Dk是圆域D2(X, y)|xy2 1位于第k象限的部分,记Ik (y x)dxdy kDk123,4 ,则（）(A)11(B)(C)(D)14【答案】【解析】令x r cos,y r sin,则有故当k 2时,2，此时有I230.故正确答案选B

9、o(4)设an为正项数列，下列选项正确的是（）(A)若 anan 1,则(1)n 1an 收敛n 1(B)若（1）n 1an收敛，则ann 1an 1(C)an收敛，则存在常数P 1,使 lim nPan存在n(D)若存在常数P 1，使lim nnPan存在，则an收敛【答案】D【解析】根据正项级数的比较判别法，当 P1时,2收敛n 1 np，且lim nPan存在，则 nann 1与丄同敛散，故an收敛.n 1 nn 1(5)(A)(B)(C)()设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若AB C，且C可逆，则 矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价矩阵C的行向量

10、组与矩阵B的行向量组等价（D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价【答案】（B）【解析】由C AB可知C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，又 B可逆，故有A CB 1，从而A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，故根据向量组等价 的定义可知正确选项为（1a 1200矩匸阵ab a与0b0相似的充分必要条件为1a 1000(A)a0,b2(B)a0,b为任意常数(C)a2,b0(D)a2,b为任意常数【答案】(B)1 a 1【解析】由于aba为1实对称矩阵，故一定可以相似对角化,B)0从而11a相似的充分必要条件为1a的特征值为2,b,01(b)(2) 2a2，从而 a0,b为任意常数(

11、7)设 X1,X2,X3是随机变量,且 X1N(0,1)，X2N(0,22),X3 N(5,32),Pj P 2 Xj 2( j 1,2,3),则()(A) P P2 R(B) P2 P R(C) P3 P 是(D) R P3 乌【答案】(A)【解析】由 X1 : N 0,1 ,X2 : N 0,22 ,X3： N 5,32 知，P!P2Xi2P Xi|2221 ,P2P2X22P |X22211，故piP2.由根据X3 : N 5,32及概率密度的对称性知，P1 P2 P3，故选(A)(8) 设随机变量X和丫相互独立，则X和丫的概率分布分别为，则 PX Y 2()(A)(B)(C)(D)11

12、2181612【答案】(C)1 ,又根据题11-，选6指定位置上.【解析】P X Y 2 P X 1,Y 1 P X 2,Y 0 P X 3,Y意X,Y独立，故P X Y 2 P X 1 P Y 1 P X 2 P Y 0 P X 3 P Y(C) .二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸(9) 设曲线y f(x)和y x2 x在点(0,1)处有公共的切线，则lim nf 。n n 2【答案】2【解析】y x2 x在(1,0)处的导数是y(1) 1，故f (1) 1,f (1) 0，(1,2)(10) 设函数z z(x,y)由方程(z y)x xy确定，则zx【答案

13、】2 2l n2【解析】原式为exln(z y)xy,左右两边求导得：xyln( zy)x zy,令 x 1,y 2z y得z 0,zx 2(1 ln2)(11)求In x , J2dx。1(1 x)2【答案】ln2【解析】ln x2dx(1 x)1ln xln xd()+1 x1 x1x(1 x)dxln xx+ln1 x1 x1(12) 微分方程y y - y 0通解为y 。41x【答案】e2 C-x C2-12 x【解析】特征方程为2 一 0,-(二重根)，所以通解为y e2 Gx C242(13) 设A (aj)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aj为aj的代数余子式，若aj Aj

14、0(i,j 1,2,3),则 A 【答案】1【解析】(14) 设随机变量X服从标准正态分布XN(0,1),则E(Xe2X)=。【答案】2e2【解析】由X : N 0,1及随机变量函数的期望公式知x2E Xe2Xxe2x le 九 Lxe22,2 24 dx 2e2.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分) 当x 0时，1 cosx cos2x cos3x与axn为等价无穷小，求 n与a的值。【解析】因为当x 0时，1 cosx cos2x cos3x与axn为等价无穷小绕x轴，y轴旋转一周所得旋转

15、体的体积，若 Vy 10Vx，求a的值【解析】由题意可得:因为：Vy 10VX所以6 a豪10 -5a3a7、775（17）（本题满分10 分)设平面内区域D由直线x3y, y3x及xy 8围成.计算 x2dxdyD所以lim 1x 0cosx cos2x cos3xnax又因为:即 lim 1x 0cosx cos2x cos3xnaxcosx cosx(1 cos2x) cosx cos2x(1 cos3x)nax所以n 2且1 a 72a 2a 2a（16）（本题满分10分）i设D是由曲线y x3 ,直线xa（a 0）及x轴所围成的平面图形,Vx，Vy分别是D【解析】x2dxdyx2dx

16、dyx2dxdyDDD 2（18）（本题满分10分） 设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P 60 ，（ P是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求:1000（1）该商品的边际利润。（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。（3）使得利润最大的定价P。【解析】（I ）设利润为I，则lPQ (20Q 6000)Q240Q 10006000边际利润l（II ）当 P经济意义为:4050050时，边际利润为20，当P 50时，销量每增加一个，利润增加20(III) 令l 0,得Q 20000，此时 P60（19）（本题满分10分）设函数f （x）

17、在0,上可导，f（0）0且 lim f（x） 2，证明x（1）存在a 0，使得f （a） 14010001(2)对(1)中的a，存在 (0,a),使得f()丄.a3【答案】(I )证明：lim f(x) 2, X,当x X时，有f (x)-,x2f(x)在0,X上连续，根据连续函数介值定理，存在 a 0,X，使得f(a) 1(II) f (x)在0, a上连续且可导，根据拉格朗日中值定理，f(a) f(0) f( )a 1,(0,a)，1故 (0,a)，使得 f()a(20) (本题满分11分)1 a0 1设A, B，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC CA B，并求所1 01 b有矩阵C。

18、【解析】由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设C x2，则由AC CA B可得线性方x3 x4程组：x2 ax30a为 X2 ax41/八(1)x1 x3 x41X2 ax3 b由于方程组(1)有解，故有1 a 0,b 1 a 0，即a 1,b 0,从而有0 1a0010111X1Kk2 1a 10a101100，故有X2k1,其中k2任意1 011100000X3k10 1a0b00000X4k从而有Ck1k21 k1k1k2(21)(本题满分11 分）设二次型f x1,X2,x-2a1x1a?X2a3x32b1x1 b2x24X32，记a1ba?,Ip2。a3b-(I)证明二次型f对应的矩阵为2 TT2yi2(II )若，正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型2 a；b22a1 a?bib22bib32a1a a2玄1玄3b2dddb3则f的矩阵为2aa2b|b22a；b；2a?a3b2bs2 3022a2玄2玄3bibb；b2b32 T2aa3Tdb32a?a3b2bs2afba2 a32a3ddb2b3(2)令 A=2TT,则 A 2TT2 ,A2TT，则1,2均