年湖北高考数学试卷理科+答案

1、2012 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北a卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 方程 x2 +6 x+13=0 的一个根是a -3+2i b3+2ic -2 + 3id 2 + 3i222i ，故选 ax2 +6x+13= x+3 +4=0x+3 =-4,x+3= 2i ，所以 x=-32. 命题“x0crq,x03q ”的否定是ax0crq,x03qcx0c rq,x0 3qbx0crq,x03qdx0c rq,x03q存在性命题的否定为“”改为“”，后面结论加以否定，故为x0c rq

2、,x03q ，选 d3. 已知二次函数 y=f x 的图像如图所示 ，则它与 x 轴所围图形的面积为a. 2b.4c.3d.5322由图像可知，二次函数解析式为fx =1-x2111 x11-x22 dx=2 x-3设面积为 s ，则 s=dx =2 1-x-1030= 4 ，故选3b4. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为a.8b. 3c.10d.633此几何体为一个圆柱切去了一部分，此圆柱底面半径为1 ，高为4 ，现在此几何体上方补上一个和此几何体完全一样的几何体，从而构成一个底面半径为 1，高为 6 的圆柱，这个圆柱的体积为v =6，要求几何体的体积为圆柱体积的一半，为 3

3、，故选 b5. 设 az ，且 0a13 ，若 512012+a能被13 整除，则 a=a.0b.1c.11d.122012+a= 52-12012020121201120112012+a，显然上式除了外，51+a=c201252 -c2012 52 +l + -c2012 52 +c2012a+1其余各个因式都能被13 整除，所以512012 +a 能被13 整除，只需a=12 ，故选 d6. 设 a,b,c,x,y,z 是正数，且 a2 +b2 +c2 =10,x2 +y2 +z2 =40,ax+by+cz=20 ，则 a+b+c =x+y+za.1b.1c.1d.34324由柯西不等式知

4、a2 +b2 +c2x2 +y2 +z22，而 此时ax+by+cz =40022+c2222=400 恰好满足取等条件a b c，令 a = b = c =, =,=, =zk代a+bx+y+z=x y zk akx byk cxy z入到 a2 + b2 +c2 =10 中得k2x2 +y2 +z2=10,k 2 = 1 ,k0k = 1，所以由合比定理得a+b+c = a = b = c =k=1 ，故选 c42x+y+ z x y z27. 定义在（ - ， 0）（ 0， +）上的函数fx，如果对于任意给定的等比数列an ，f an仍是等比数列，则称fx 为“保等比数列函数”。现有定义

5、在（- ， 0）（ 0， +）上的如下函数： f x=x2 ； fx =2 x ； fx =x ； fx =lnx 。则其中是“保等比数列函数”的fx 的序号为a. b.c.d.fan+1an+122令 等 比 数 列an的 公 比 为 q， fx =x2an +1=q2是 等 比 数 列 ； ，an=fan2anfx =2x ，fan+12an +1an +1 -an不 一 定 是常 数 ， 不 一 定 是 等 比 数 列 ； fx = x，fan= a=22nfan+1an+1=aq=n+1 =fananan是等比数列；fx=lnx ，举个特例，令 an =2n ,fan =ln 2n=l

6、n 2n =n ln 2 是等差数列不是等比数列，从而选 c8. 如图，在圆心角为直角的扇形oab中，分别以oa， ob为直径作两个半圆。在扇形oab内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是a.1- 2b.1 - 1c.2d.12设 大 圆 的 半 径 为 2 ， 则 小 圆 半 径 为 1 ， 扇 形 面 积 为 s扇 = 122 = ， 而 阴 影 部 分 的 面 积 为4- 21-24- 1+24- 1= -2 ，在扇形 oab内随机取一点， 此点取自阴影部分的概222率 p=-2 =1- 2，故 a9. 函数 f x =xcos x2 在区 0,4 上的零点个数 a.4b.5c.6d.

7、7当 x=0 ，f 0=0 ，当 0x 4,016 不22222 足条件， 上零点个数 6 个，故 c10.我国古代数学名着九章算 中“开立 ”曰：置 尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立 径，“开立 ”相当于 出了已知球的体 v ，求其直径 d 的一个近似公式d316v 。9人 用 一些 似的近似公式。根据=3.14159 .判断，下列近似公式中最精确的一个是a. d316b.d32v 5c.d3 300vd.d321v157v911由球的体 公式 v =4r3 得 r= 3 3v ，由此得 d =2 3 3v = 36v ， 最精确的 d344二、填空 ：本大 共6 小 ，考 共

8、需作答5 小 ，每小 5 分，共 25分。 将答案填在答 卡 号的位置上。答 位置， 写不清，模棱两可均不得分。（一）必考 （ 11-14 ）11. abc的内角 a，b，c，所 的 分 是a，b，c. 若 a+b-ca+b+c =ab ， 角 c=_ 。由a+b-c a+b+c =ab 得a+b -c2=ab22-c2，a2 +b2 -c2 =-ab ， 所 以 cosc = a+b=- 122ab2c =12012. 如 所示的程序框 ，运行相 的程序， 出的 果s=_.n=1,s=1； n=2, s=4 ，当 n=3 ， 出 s=913.回文数是指从左到右与从右到左 都一 的正整数。如

9、22，,11,3443,94249 等。 然 2位回文数有 9 个： 11,22,33 ， 99.3 位回文数有90 个： 101,111,121 ，191,202， 999 。 （）4 位回文数有 _个；（）2n 1（ n n+ ）位回文数有 _ 个。4 位回文数有1001,1111,1221,1331 ， 1991,2002,2112,2222,2332 ，2992， ,9009,9119 ， 9999 共 90 个2n 1（ n n+ ）位回文数有9 10 10l 10，共有 n 个 10 ，所以 9g10n 个2214. 如 ，双曲 x2 -y2 =1 ab0 的两 点 a1 ,a2

10、，虚 两端点ab为 b1,b2 ， 两 焦 点 为 f1 ,f2 。 若 以 a1 a2 为 直 径 的 圆 内 切 于 菱 形f1 b1 f2b2 ，切点分 a， b， c， d。 （ 1）双曲 的离心率e=_ ；（ 2 ） 菱 形 f1 b1f2 b2的 面 积 s1 与 矩 形 abcd 的 面 积 s2 的 比 值s1 = _ 。s2（ 1）由已知 bc=a b2 +c2b2c2 =a2b2 +c2c2 -a2 c2 =a2 2c2 -a2c4 -3a2 c2 +a4 =0e4 -3e2 +1=0 ，解得 e2 = 3+5e=5+122（ 2）由已知得s1 =2bc ，又直 b2 f2

11、的方程 y=- b x-c，而直 oa 的方程 y= c x 立解得cbx=bb2c2cbc22 +c2，所以b，2s2 =4 222+c2y=2bcbb +c2b +c2+c222c2-a2222s1 =2bc=b=2e -1=5+2s24b2c bc 22b2 c22 c2 -a2c22 e2 -1 e222+c222bb+c（二） 考 （ 考生在第15、16 两 中任 一 作答， 先在答 卡指定位置将你所 的 目序号后的方框用2b 笔涂黑，如果全 ， 按第15 作答 果 分。）15. （ 修 4-1 ：几何 明 ）如 ，点d 在 o 的弦 ab 上移 ， ab=4， 接od， 点d作 o

12、d的垂 交o于点 c， cd的最大 _ 。 的半径 r ，由已知 oc=r ，又 od dcdc =r 2 -od 2 ， 然od 最小 ， cd 有最大 ，而 od 取最小 ，odab ，此 od 2 =r 2 - 1 ab2 =r 2 -4 ，所以 cd4有最大 216. （ 修 4-4 ：坐 系与参数方程）在直角坐标系xoy中，以原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线=与曲线4x=t +1y= t -12 （ t 为参数）相较于a， b 来两点，则线段ab 的中点的直角坐标为_ 。射线 =的直角坐标方程为 y=xx 0 ，曲线x= t+122 的直角坐标方程为 y=x

13、-2 联立方程解4y= t -1得x=1x=45 , 5,，所以线段 ab的中点的直角坐标为y=1y=42 2三、解答题：本大题共6 小题，共75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. （本小题满分 12 分）rr已知向量 a= cos x-sinx,sin x ,b= -cos x-sin x,2 3 cos x ，设函数frrxr,1 ,1x =agb+的图像关于直线x=对称，其中为常数，且2（ 1）求函数fx的最小正周期；（ 2）若 y=f （ x）的图像经过点,0，求函数 f x在区间0, 3上的取值范围。45rr（1）函数gf x =a b+ x r的 图 像 关 于

14、直 线x= 对 称 ， 所 以2-=k+,kz=k1z+,k6223又1 ,1 ,= 5 ，所以 fx=2sin5 x-+的周期为 2626365 =53（ 2 ） 若 y=f（ x ） 的 图 像 经 过 点,0， 则 有 2sin 5-+ =0=- 2 ， 所 以4346fx=2sin5 x-6-23x35x-,5, 2sin5-1,2，函数fx在区间 0,30,66x-上的取值范536365围为 -1-2,2-218. （本小题满分 12 分）已知等差数列an 前三项的和为 -3 ，前三项的积为8.（ 1）求等差数列an 的通项公式；（ 2）若 a2 ,a3 ,a1 成等比数列，求数列a

15、n的前 n 项的和。19. （本小题满分 12 分）如图 1， acb=45， bc=3，过动点a 作 ad bc，垂足d 在线段bc 上且异于点b，连接ab，沿 ad 将 abd折起，使bdc=90（如图 2 所示），（ 1）当 bd的长为多少时，三棱锥a-bcd的体积最大；（ 2）当三棱锥 a-bcd的体积最大时，设点 e，m分别为棱 bc，ac的中点，试在棱cd上确定一点n，使得 en bm，并求 en 与平面bmn所成角的大小20（本小题满分12 分）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量x（单位： mm）对工期的影响如下表：降水量 xx300300 x700700 x0,且m1 . 当点 a 在圆上运动时，记点m 的轨迹为曲线c .（ 1）求曲线 c 的方程，判断曲线c 为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（ 2）过原点且斜率为k 的直线交曲线c 于 p,q 两点，其中 p 在第一象限，它在y 轴上的射影为点n，直线 qn 交曲线 c 于另一点 h ，是否存在 m ，使得对任意