专题15 几何最值之费马点知识精讲-冲刺2020年中考几何专项复习(1)_第1页
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1、几何最值之费马点知识精讲皮耶德费马，17世纪法国数学家，有业余数学家之王的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学.费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的费马小定理、费马大定理等.今天所讲的问题不是费马提出来的，而是他解决的，因此又叫费马点，问题如下：问题：如图，在abc内部找到一点p，使得papbpc的值最小.解答：若点p满足apbbpccpa120，则papbpc的值最小，p点称为三角形的费马点.1.如何作出费马点第一步：分别以ab、ac为边作等边abd与等边ace，如图所示：第二步：连接cd、be，即可得到adcab

2、e，如图所示：第三步：此时cd、be的交点即为点p（费马点），第四步：以bc为边，作等边bcf，连接af，af必过点p，且apbbpccpa120.注：上述结论成立有个前提条件，abc中，最大的角要小于120，若最大的角大于或等于120，对应的图如下所示：此时费马点就是最大角的顶点a，这种情况不会考，了解即可，接下来的研究，都是默认最大角小于120.接下来就是要证明，证明分两部分，一部分过三角形两条边向外作等边三角形，连接cd、be，这两条线的交点为什么就是费马点？另一部分就是为什么费马点到对应顶点的连线之和是最小的.如下图所示，在aeb与acd中，abad，aeac，baedacbac60，abeacd，abeadc，在bpm与dam中，bmpdma，bpmdam60，bpc120；在pd上截取pgpb，连接pa、bg，如下图所示：由题意可得bpg为等边三角形，则pbbg，易证abpdbg，pagd，apbdgb120，apc120，papbpcgdpgpccd.接下来只需证明cd为最短的线段，那么以上的问题都可以得证了！如下图所示，在abc中任取一个异于点p的点q，连接qa、qb、qc、qd，将abq绕着点a顺时针方向旋转60得到，则a

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