2019-2020学年江苏省常州市高二(上)期中数学试卷

1、2019-2020 学年江苏省常州市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14 小题，共 70.0分）1.复数 ?= (1 +?)+ (?-?)?是实数， ?0,2?则 ?= _2.+， ?(?)=322?+ 2在 ?= 1处有极值，则 ab 的最大值为若 a，?4?- ?-_3.232007= _?+ ?+ ?+ ? + ?4.把 5 本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本， 不同的分发种数为 _. (用数字作答 )3 25. 已知 ?(?)= -2? + 6? + ?(?为常数 ) 在-2,2 上有最小值 3，那么此函数在 -2,2 上的最大值为 _6. 来自高一、高二、高三的铅

2、球裁判员各两名，执行一号、二号和三号场地的铅球裁判工作， 每个场地由两名来自不同年级的裁判组成，则不同的安排方案共有_种7.33?+ ? = 0 在 0,2 上有根，则实数 m 的取值范围是 _若关于 x 的方程 ? -1?=?a值为_8.已知函数?(?)= ?2?-?3?(? )在3处取得极值， 则3为常数9.若函数 ?(?)= 4? 在区中 (?,2? +1) 上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是2? +1_10.质点运动的速度 ?=2(18?- 3?)?/?，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是 _11.从 6 台原装计算机和5台组装计算机中任意选5 台，其中至少有原装与组装计算

3、机各两台，则不同的取法有_种12.2104在(1 + ?+ ?)(1 -?)的展开式中，含 ?的系数为 _13.给出如图程序框图，那么，输出的数是_14. 观察下列几个三角恒等式： ?10 ?+?20 ?+?60 ?10=； 第1页，共 11页 ?5 ?100+ (-15)+；tan(-15 )?5=1 tan ?13 ?+?35 ?+?42 ?13= 一般地，若 ?，?，?都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为 _二、解答题（本大题共6 小题，共90.0 分）2 6?15. 已知复数 ?= (2 + ?)?- 1-?- 2(1 - ?)当.实数 m 取什么值时，复数 z 是：(1)

4、 零；(2) 虚数；(3) 纯虚数；(4) 复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数4132?3 项的系数为45，求：16. 已知(+ ?) 展开式中的倒数第?含 3的项；(1) ?(2) 系数最大的项17. 已知函数 ?(?)=122? + ?(1)求函数 ?(?)在区间 1, ?上的最小值及最大值(2)求证：在区间(1, +)上，函数 ?(?)的图象在函数 ?(?)=23的图象的下方3?3218. 设函数 ?(?)= 2?+ 3?+ 3?+ 8?在 ?= 1及 ?= 2时取得极值(1)求 a， b 的值；(2)2 成立，求 c 的取值范围若对于任意的 ?0,3 ，都有 ?(?) ?第2

5、页，共 11页19. 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量?(升) 关于行驶速度 ?(?/?)的函数133解析式可以表示为 ?= ? 120) ，已知甲、乙两地相距? -?+ 8(012800080100km(1) 当汽车以 40?/?的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2) 当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？132220. 设函数 ?(?)= 3? - ?- ?， ?(?)= 2? + 4?+ ?(1) 试问函数 ?(?)能否在 ?= -1 时取得极值？说明理由；(2) 若?= -1 ，当 ?-3,4 时，函数 ?(?)与 ?(?)的图象有两个公

6、共点，求 c 的取值范围第3页，共 11页答案和解析?5?1.【答案】 4 或4【解析】 解： ?= (1 + ?)+ (?-?)?是实数，?-?= 0，即 ?= 1，又 ?0,2?， ?=?5?或44故答案为： ?或 5?44由复数 z 的虚部为0 求得 ?，再由 ?的范围得答案本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查利用三角函数值求角，是基础题2.【答案】 9+32【解析】 解： a，?， ?(?)= 4?-?- 2?+ 2，2? (?)= 12? - 2?- 2?，函数 ?(?)在 ?= 1 处有极值，? (1)= 12 - 2?-2?= 0，化为： ?+ ?= 66 2 ?，化为：

7、? 9，当且仅当 ?= ?= 3 时取等号则 ab 的最大值为9故答案为： 9+32a，?，?(?)= 4?- ?- 2?+ 2，可得 ? ，(?)根据函数 ?(?)在 ?= 1处有极值，可得 ?(1)= 0，再利用基本不等式的性质即可得出本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3.【答案】 -1232007【解析】 解： ?+ ?+ ?+ ?+ ?20074 501+3)=?(1- ? )?(1- ?1- ?=?1 -2?(1+?)= (1-?)(1+?) = -1故答案为： -1 利用等比数列前n 项和变形，再由虚数单位i 的运算性质及

8、复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查虚数单位i 的运算性质，考查等比数列的前n 项和，是基础的计算题4.【答案】 240【解析】 【分析】排列组合问题在几何中的应用，在计算时要求做到，兼顾所有的条件，先排约束条件多的元素，做到不重不漏，注意实际问题本身的限制条件【解答】解：由题意知先把5 本书中的两本捆起来看做一个元素共有2，?45这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列共有，?424分法种数为 ?5 ?4 = 240 第4页，共 11页故答案为： 2405.【答案】 43【解析】解：?(?)= -2?32+ 6? + ?，? (?)= -6? 2 + 12?= -6?(?- 2) ；图

9、象如图所示；令 ?(?)= 0，解得 ?= 0或 ?= 2，当 -2 ? 0时， ?(?) 0，?(?)单调递减；当 0 ? 0 ，?(?)单调递增；当 ? 2时，? (?) 0 ，结合 ?0,2 ，解得 ?0,1) ，故此函数在数令 ? 0 ，结合 ?0,2 ，求得 1 ? 2 故函数 ?= 3?-3上是增函数，在1,2 上是减函数?在 0,1)故当 ?= 1时，m取得最大值为2；第5页，共 11页又当 ?= 0时， ? =0；当 ?= 2时， ?=-2，故 ? -2,2，故答案为： -2,2 3，?0,2 ，利用导数判断函数在0,1 上增，在 1,2 上减，由由题意可得 ? = 3?- ?

10、此求得函数 m 在0,2 上的值域，从而求得m 的范围本题考查学生对一元三次方程的图象的认识，以及对函数值正负与图象关系的利用，体现了转化的数学思想，属于基础题8.【答案】 1【解析】 解： ?(?)= 2?2-?3?，?=?根据函数 ?(?)在3处有极值，故应有?(3)=0，2?即 2?cos (33) =-?+ 1 = 0，3 -解得 ?= 1故答案为： 1?=?先对函数进行求导，根据函数?(?)在处有极值应有?(a 的值33) = 0，进而可解出本题主要考查函数在某点取得极值的条件属基础题9.【答案】 -1 ? 0【解析】 解： 函数 ?(?)=4?变形为 ?(?)=421 ，? +1?

11、+?设 ?(?)= ?+ 1，只要 ?(?)是单调减函数即可?画出 ?(?)的图象：? 2?+ 1?-12?+ 1 1解得 -1 ?0故填 -1012?(?)?= ?(?)= 2 ? + 1，?(?)?= ?(1) =1，2(2) 设 ?(?)=12232? + ?-?，3则?(?)= ?+12(1-?)(1+?+2? 2) ，?-2? =?当 ?1, +)时， ?(?) 0，且 ?(1) = -1 0 故 ?1, +)时 ?(?) 061223? + ?3?，得证2【解析】 (1) 先求导，由导数研究函数的单调、极值，计算端点函数值，比较极值与端点函数值，进而求出函数的最大值、最小值；(2)

12、 构造函数设 ?(?)=1223?(?)的单调性为递减，从而2? + ?-?，利用导数可知函数3可得 ?(?) 0，解得： ? 2 或 ? 1，令 ?(?) 0，解得： 1 ? 2 ，故函数 ?(?)在区间 0,1) ， (2,3 上单调递增；在区间(1,2) 上单调递减函数 ?(?)在 ?= 1 处取得极大值，且?(1) = 5 + 8?而 ?(3) = 9 + 8?，?(1) ?(3)，函数 ?(?)在区间 0,3 上的最大值为 ?(3) =9 + 8?对于任意的2?(?)2， ?0,3 ?0,3 ，都有 ?(?) ?成立 ? 0，解得 ? 9或 ? -1 由 ? - 8?-?的取值范围是

13、(- ,-1)(9, +)2，9 + 8? ?【解析】 (1) 方法一：根据已知条件可得关于a， b 的方程组，解出并验证即可；方法二：由题意可得：则122，是方程 6? + 6?+ 3?= 0 的两个根，根据韦达定理即可求得 a 和 b 的值；(2) 利用导数先求出函数 ?(?)在区间 0,3 上的极大值，再求出区间端点的函数值，进行比较，得出最大值又已知要求的问题：对于任意的2?0,3 ，都有 ?(?) ?成立 ?2， ?0,3. 进而解出即可?(?)? ?本题考查导数的运用，考查求函数单调区间和极值、最值，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题和易错题19.100=

14、2.5?40【答案】 解： (1) 当 ?= 40?/?时，汽车从甲地到乙地行驶了；13要耗油 (128000 40 3 -80 40 + 8)2.5 = 17.5( 升 )；答：从甲地到乙地要耗油17.5 升100(2) 当速度为 ?/?，汽车从甲地到乙地行驶了? ? ，耗油量为 ?(?)升；依题意得 ?(?)= (133100128001580 ?+8)?-128000 ? -= 1280 ? + ?4；?8003803? (?)=? -2 =2 (0 ? 120)640?640?令 ?(?)= 0，得 ?= 80；当 ?(0,80) 时， ?(?) 0 ， ?(?)是增函数；当 ?= 8

15、0 时，?(?)取得极小值： ?(80) = ( 180 3- 380 + 8) 5=45= 11.25(1280008044升 ) ；答：当汽车以80 ?/?的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 升【解析】 (1)把用的时间求出，再乘以每小时的耗油量y 即可；(2) 求出耗油量 ?(?)与速度 x 的关系式，再利用导函数求出 ?(?)的极小值即可本题考查了函数、导数及其应用，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力，属中档题22?- ?，20.【答案】 解： (1) 由题意 ? (?)= ? -第10 页，共 11页假设在 ?= -1 时 ?(?)取得极值，则有?(-1)

16、= 1 + 2?- ?= 0， ?=-1 ，而此时，21)2 0 ，函数 ?(?)在 R 上为增函数，无极值?(?)= ? + 2?+ 1 = (?+这与 ?(?)在 ?= -1 有极值矛盾，所以?(?)在 ?= -1处无极值；132132(2) 令 ?(?)= ?(?)，则有 3 ? -? - 3?-?= 0， ?= 3? -? - 3?，设 ?(?)=13222?-3 = 0，解得 ?1= -1 或?= 33?-? - 3?，?(?)= ?，令 ? (?)= ? -列表如下：x-3(-3, -1)-1(-1,3)3(3,4)4? (?)+0-0+?(?)-95-9203- 3由此可知： ?

17、(?)在 (-3, -1)、 (3,4) 上是增函数，在 (-1,3)上是减函数当 ?=-1时， ?(?)取得极大值 ?(-1)=5；当 ?= 3 时， ?(?)取得极小值320?(-3)=?(3) =-9 ，而 ?(4) = - 3如果函数 ?(?)与 ?(?)的图象有两个公共点，则函数?(?)与 ?(?)有两个公共点，所以 -20?5 或?= -9 33【解析】 (1) 利用反证法：根据 ?(?)的解析式求出?(?)的导函数，假设 ?= -1 时 ?(?)取得极值，则把 ?= -1 代入导函数，导函数值为 0得到 a 的值，把 a 的值代入导函数中得到导函数在 R 上为增函数， 没有极值与在 ?= -1时 ?(?)取得极值矛盾， 所以得到 ?(?)在?= -1 时无极值；(2) 把 ?= -1 代入 ?(?)确定出 ?(?)，