正弦函数和余弦函数的图像与性质[实用课资]

1、函 数 函数 函数 函数 正弦函数、余弦函数的图象和性质正弦函数、余弦函数的图象和性质 1 上课教育 2 利用正弦线作出利用正弦线作出 的图象的图象.20sin， xxy ox y - - -1 1 - - -1 - - 1 o A 作法作法: (1) 等分等分; 3 2 3 2 6 5 6 7 3 4 2 3 3 5 6 11 2 6 (2) 作正弦线作正弦线; (3) 平移平移; 6 1 P 1 M / 1 p (4) 连线连线. 一、正弦函数、余弦函数的图象一、正弦函数、余弦函数的图象(几何法几何法) 1、用几何法作正弦函数的图像、用几何法作正弦函数的图像 2 上课教育 l 1 M 1

2、Q 2 M (1) 等分等分作法：作法： (2) 作余弦线作余弦线 (3) 竖立、平移竖立、平移 (4) 连线连线 2 Q y x - - -1 - - ox y - - -1 1 2 1 oA 3 2 3 2 6 5 6 7 3 4 2 3 3 5 6 11 2 6 1 P 1 M / 1 p y o x y - - -1 1 - - -1 - - 1 o 3 2 3 2 6 5 6 7 3 4 2 3 3 5 6 11 2 6 2、用几何法作余弦函数的图像、用几何法作余弦函数的图像: 3 上课教育 正正 弦弦 曲曲 线线 x y - - - - - - - - - 1 -1 2 o 4 6

3、 2 4 6 由终边相同的角三角函数值相同，所以由终边相同的角三角函数值相同，所以 ysin x 的图象在的图象在 ，-4-4 ，- -2 ， - -2 ，0 ， 0，2 ， 2 ，4 ， 与与 ysin x，x 0，2 的图象相同的图象相同 ， 于是平移得正弦曲线于是平移得正弦曲线 . 4 上课教育 因为终边相同的角的三角函数值相同，所以因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在的图象在， 与与y=cosx,x0,2的图象相同的图象相同2,4 ,0 ,2,2 , 0,4 ,2 余余 弦弦 曲曲 线线 2 o462 4 6x y - - - - - - - - - 1 -1 返

4、回单击： 5 上课教育 与与 x 轴的轴的交点交点:， )00(， )0(；，) 02( 图象的图象的最高点最高点: 图象的图象的最低点最低点: ，) 1 2 3 ( 观察观察 y sin x ，x 0，2 图象的最高点、最低图象的最高点、最低 点和图象与点和图象与 x 轴的交点？坐标分别是什么？轴的交点？坐标分别是什么？ 2ox y - - -1 1 - 3 2 3 2 6 5 6 7 3 4 2 3 3 5 6 11 2 6 ；， )1 2 ( 五点五点 作图法作图法 6 上课教育 与与x轴的轴的交点交点 )0 ,0()0 ,( )0 ,2( 图象的图象的最高点最高点 图象的图象的最低点最

5、低点) 1,( 2 3 与与x轴的轴的交点交点 )0 ,( 2 ) 0 ,( 2 3 图象的图象的最高点最高点 )1 ,0() 1 ,2( 图象的图象的最低点最低点) 1,( (五点作图法五点作图法) 2ox y - - -1 1 - -1 3 2 3 2 6 5 6 7 3 4 2 3 3 5 6 11 2 6 - ox y - - -1 1 - -1 3 2 3 2 6 5 6 7 3 4 2 3 3 5 6 11 2 6 ) 1 , 2 ( 简图作法简图作法 (1) 列表列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (3) 连线连线(用光滑的曲线顺次连结五

6、个点用光滑的曲线顺次连结五个点) (2) 描点描点(定出五个关键点定出五个关键点) 7 上课教育 1.试画出正弦函数在区间试画出正弦函数在区间 上的图像上的图像.0,2 12 10 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -20-15-10-55101520 xO y 1 1 2 2 3 2 五个关键点：五个关键点： 3 (0,0),(,1),( ,0),(, 1),(2 ,0) 22 利用五个关键点作简图的方法称为利用五个关键点作简图的方法称为“五点法五点法” 课课 堂堂 练练 习习 8 上课教育 2.试画出余弦函数在区间试画出余弦函数在区间 上的图像上的图像.0,2 12

7、10 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -20-15-10-55101520 xO y 1 1 2 2 3 2 五个关键点：五个关键点： 3 (0,1),(,0),( , 1),(,0),(2 ,1) 22 并注意曲线的并注意曲线的“凹凸凹凸”变化变化. 课课 堂堂 练练 习习 9 上课教育 列表：列表：列出对图象形状起关键作用的五点坐标列出对图象形状起关键作用的五点坐标 连线：连线：用光滑的曲线顺次连结五个点用光滑的曲线顺次连结五个点 描点：描点：定出五个关键点定出五个关键点 五五 点点 作作 图图 法法 10 上课教育 x 6 y o- -1 2345-2-3-4 1

8、 定义域定义域 (1) 值域值域 x R 1, 1 二、二、正弦函数的性质正弦函数的性质 )(2 2 Zkkx 时，取最小值时，取最小值1； 时，取最大值时，取最大值1；)(2 2 Zkkx 观察正弦曲线，得出正弦函数的性质：观察正弦曲线，得出正弦函数的性质： 11 上课教育 周周 期期 的的 概概 念念 一般地，对于函数一般地，对于函数 f (x)，如果存在一个非零，如果存在一个非零 常数常数 T ，使得当，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都取定义域内的每一个值时，都 有有 f ( xT ) f (x)，那么函数，那么函数 f (x) 就叫做就叫做周期周期 函数函数，非零常数，非零常数

9、T 叫做这个函数的叫做这个函数的周期周期 对于一个周期函数，如果在它的所有周期中对于一个周期函数，如果在它的所有周期中 存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 它的它的最小正周期最小正周期 12 上课教育 由公式由公式 sin (xk 2 )sin x (k Z) 可知：可知： 正弦函数是一个周期函数，正弦函数是一个周期函数，2 ，4 ， ，2 ， 4 ， ， 2k (k Z 且且 k0)都是正弦函数的周期都是正弦函数的周期 2 是其最小正周期是其最小正周期 . (2) 正弦函数的周期性正弦函数的周期性 13 上课教育 (3) 正弦函数的奇偶性正弦

10、函数的奇偶性 由公式由公式 sin(x)sin x 图象关于原点成中心对称图象关于原点成中心对称 . 正弦函数是奇函数正弦函数是奇函数 x y o- -1 2 34 -2 -3 1 2 2 3 2 5 2 7 2 2 3 2 5 14 上课教育 在闭区间在闭区间 上上, 是增函数；是增函数； 2 2 ， (4) 正弦函数的单调性正弦函数的单调性 x y o- -1 2 34 -2-3 1 2 2 3 2 5 2 7 2 2 3 2 5 x sinx 2 2 2 3 0 -1 0 1 0 -1 在闭区间在闭区间 上，是减函数上，是减函数. 2 3 2 ， Zkkk ,2 2 ,2 2 观察正弦函

11、数图象观察正弦函数图象 Zkkk ,2 2 3 ,2 2 15 上课教育 余弦函数的单调性余弦函数的单调性 y=cosx (x R) x cox 2 2 - 0 -1 0 1 0 -1 增区间为增区间为 其值从其值从-1增至增至1 +2k , 2k ,k Z 减区间为减区间为 ， 其值从其值从 1减至减至-12k , 2k + , k Z y x o- -1 2 34 -2-3 1 2 2 3 2 5 2 7 2 2 3 2 5 16 上课教育 y=sinxy= cosx 图图 象象 R R 1,1 1,1 )( 2 2Zkkx 时时 ymax=1 )( 2 2Zkkx 时时 ymin= 1

12、)(2Zkkx 时时 ymax=1 )(2Zkkx 时时 ymin= 1 )(Zkkx )( 2 Zkkx x y o- -1 2 34 -2 1 定义域定义域 值值 域域 最最 值值 y= 0 x y o- -1 2 34 -2 1 17 上课教育 y=sinxy= cosx 图图 象象 周期性周期性 奇偶性奇偶性 单调性单调性 2 2 奇函数奇函数偶函数偶函数 )(2 2 ,2 2 Zkkk )(2 2 3 ,2 2 Zkkk )(2,2Zkkk )(22 ,2Zkkk 单调增区间单调增区间: 单调减区间单调减区间: 单调增区间单调增区间: 单调减区间单调减区间: x y o- -1 2

13、34 -2 1 x y o- -1 2 34 -2 1 18 上课教育 例例1.1. 用用“五点法五点法”画出下列函数在区间画出下列函数在区间00，2 2 的图的图 像。像。 （1)y=2+sin x; (2)y=sin x-11)y=2+sin x; (2)y=sin x-1； (3)y=3sin x.(3)y=3sin x. y=sin x -1 x0,2 y=sin 3x x0,2 y=2+sin x x0,2 2 3 2 x y 0 2 1 -1 x 2 3 19 上课教育 例例2.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值求下列函数的最大值与最小值，及取到最值 时的自变量时的自变量 的值

14、的值.x (1) 2 3 (sin)2 2 yx(2)2cosyx 解解:(1) max 2y当当 时，时， 2,xkkZ min 2y 当当 时，时， 2,xkkZ (2)视为视为 2 3 ()2,sin 2 yuux 当当 ，即，即 时，时，1u 2, 2 xkkZ max 17 4 y 当当 ，即，即 时，时，1u 2, 2 xkkZ min 7 4 y 20 上课教育 例例3. 3. 当当x0 x0，22时，求不等式时，求不等式 的解集的解集. . 1 cos 2 x 5 0,2 33 pp pU x y y O22 1 2 2 -1-1 1 2 y= 变式问题变式问题:如果如果xR呢

15、呢? 21 上课教育 例例4.下列函数的定义域：下列函数的定义域： 1 y= 2 y= xsin1 1 xcos2 22 上课教育 n例例5. 求下列函数的最值：求下列函数的最值： 1 y=sin(3x+ )-1 2 y=sin2x-4sinx+5 4 23 上课教育 例例6. 求下列函数的单调区间：求下列函数的单调区间： (1) y=2sin(-x ) 解：解： y=2sin(-x ) = -2sinx 函数在函数在 上单调递减上单调递减 +2k , +2k ,k Z 2 2 函数在函数在 上单调递增上单调递增 +2k , +2k ,k Z 2 2 3 (2) y=3sin(2x- ) 4

16、2 2 4 2 2 2 kxk 8 3 8 kxk 2 3 2 4 2 2 2 kxk 8 7 8 3 kxk 单调增区间为单调增区间为 8 3 , 8 kk所以：所以： 解：解： 单调减区间为单调减区间为 8 7 , 8 3 kk 24 上课教育 例例 7. 不通过求值，比较下列各对函数值的大小：不通过求值，比较下列各对函数值的大小： (1) sin( ) 和sin( )； 18 10 (2) sin 和 sin 3 2 4 3 解解 (1) 因为因为 ， 2 18 10 2 且且 y sin x 在在 上是增函数上是增函数 2 2 ， (2) 因为因为 ， 4 3 3 2 2 所以所以 s

17、in sin 4 3 3 2 且且 y sin x 在在 上是减函数，上是减函数， 2 ， ) 18 sin() 10 sin(所以所以 25 上课教育 例8.判断f(x)=xsin(+x)奇偶性 解函数的定义域解函数的定义域R关于原点对称关于原点对称 xxxxxfsin)sin()( )()sin()()(xfxxxf )()(xfxf 所以函数所以函数y=xsin( +x)为偶函数为偶函数 函数的奇偶性 定义域关于原点对称 )()(xfxf )()(xfxf 偶函数奇函数 26 上课教育 1 选择题选择题 函数函数y=4sinx,x -y=4sinx,x - , 的单调性（的单调性（ ）

18、A 在在- ，0上是增函数，上是增函数，0， 是减函数；是减函数； B 在在- /2， /2上是增函数，在上是增函数，在- ， /2上是减函数；上是减函数； C 在在0， 上是增函数，在上是增函数，在- ，0上是减函数；上是减函数； D 在在 /2， 及及- ，- /2上是增函数，在上是增函数，在- /2， /2上上 是减函数。是减函数。 函数函数y=cos(x+y=cos(x+ /2),x R ( ) A 是奇函数；是奇函数； B 是偶函数；是偶函数； C 既不是奇函数也不是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数； D 有无奇偶性不能确定。有无奇偶性不能确定。 B A 27 上课教育 2 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： 260sin_250sin 9/14cos_8/15cos 530cos_515cos)8/63sin(_)7/54sin( 3 判断下列函数的奇偶性：判断下列函