人口问题数学建模

1、计划生育政策调整对人口数量、结构的分析摘 要 本文讨论了计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的问题。针对问题一：在旧政策下预测中国人口数量。分析自然资源、环境等因素对人口增长起阻滞作用，建立了连续的Logistic模型。首先解出该变量可分离方程的解析解，定性分析后得到人口数量的平衡态为一定区域的最大容纳量，然后根据1990年2012年的人口数据，用matlab工具箱拟合，确定解析解中的参数，最后根据其表达式预测了近10年的人口数量。针对问题二：新、旧政策下人口数量和年结构的变化。为了确定人口数量和结构的变化，建立leslie模型。首先查找数据得到近几年各年龄段的出生率和死亡率，取平均值确定

2、旧政策下的出生率和死亡率，利用matlab求解lesile矩阵的特征值和特征向量，定性分析人口数量的变化趋势；接着用迭代法得到近二十年的人口数量和年龄组成。然后对计划生育新政策实施下人口数量的变化作出预测，将夫妻双方“是否为独生子女”看成性状来分析，表示为独生，表示为非独生，进行随机性的组合，利用孟德尔第一定律，建立中国人口发展的生物遗传学预测模型。又由计划生育政策对各年龄段的生育率影响不同，对各年龄的生育率加权，得到各年龄段的生育率，死亡率近似认为不变，最用迭代法求解得到近二十年内各年龄段的人口数量。针对问题三：预测西安市人口的变化并且讨论新政策对人口红利化和老龄化的影响。将年龄段重新分组，

3、利用问题二的思想和方法预测西安市人口数量和年龄结构的变化，利用matlab绘制出未来二十年劳动人口比重和人口老龄比重的图像；并且用数据拟合的方法得到旧政策下未来二十年劳动人口比重和人口老龄比重的图像；比较这两个图像，得出新政策对于持续人口红利化和延缓人口老龄化有重要的意义的结论。 Logistic模型和leslie 模型不仅适用于对人口进行预测，也适用于对其他单种群生物的数量和年龄结构进行预测。人口预测对社会经济发展起着重要的指导作用。关键词 Logistic模型；leslie模型；生物遗传预测模型；加权因子一、问题重述人口数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。20世纪70年代后期我国实施了

4、计划生育政策，有效地控制了人口过快增长的现象，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。但另一方面，在经历了迅速从高生育率到低生育率的转变之后，我国人口的主要矛盾已经不再是增长过快，而是人口红利消失、临近超低生育率水平、人口老龄化、出生性别比失调等现象。这些现象将对经济社会的健康、可持续发展产生一系列影响，引起了中央和社会各界的重视。党的十八届三中全会提出了开放“单独二孩”政策，通过提高生育率，补偿人口亏损，恢复人口的自然生态平衡和可持续发展能力，确保人口生机，继续人口实力。通过以下三个问题探讨生育政策对人口数量及结构的影响：问题一：预测若不实施“单独二孩”政策我国人口变化规律,并预测我国未

5、来十年内的人口数量；问题二：实施“单独二孩”政策后，预测十年后（即2023年）我国15-59岁劳动力数量较未实施这一政策时该年龄段劳动力数量有何变化。问题三：讨论实施“单独二孩”政策后（可综合考虑城镇化、延迟退休年龄、养老金统筹等政策因素，但只须选择某一方面作重点讨论），对西安市未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。2、 问题分析人口的变化受到众多方面因素的影响，因此对人口的预测与控制也就十分复杂，利用经典的理论和模型，如马尔萨斯模型、Logistic模型、leslie模型等均可对人口变化进行预测。这些理论和模型都依赖生育模式、生育率、死亡率和性别比等多个因素。因此

6、，在不同计划生育政策和社会经济水平下，随着这些因素的变化选择合适的模型加以改进来刻画人口数量及年龄结构等特征。针对问题一，为了研究计划生育政策改革前对中国人口数量的影响，并预测中国未来10年内的人口变化, 建立了Logistic模型来预测未来人口数量及结构的变化。在中国统计年鉴查得2013年前若干年每年的人口数量及自然增长率，用最小二乘法估算出模型中的参数，进而得到具体模型，通过MATLAB算出中国未来10年的人口数量。中国人口统计年鉴和，人口数量（见附录一表1）等运用线性拟合估计模型参数值。从而预测在十八届三中全会颁发“单独二孩”政策前的人口数量变化规律。针对问题二：建立可预测各年龄段人口变

7、化的Leslie模型。计划生育政策改革前即2013年前若干年各年龄段生育率在中国统计年鉴中可查出，通过求期望值法，得到各年龄段女性生育率，存活率可用“1-死亡率”得出，假定在一定时间段，社会经济水平及医学水平相对恒定，即死亡率可视为常数。各年龄段生育率及存活率确定后，得出Leslie模型的系数矩阵，代入初始年份2013年各年龄段人口数量，由迭代法就可算出2023年各年龄段人口数量。实施“单独二孩”政策后，仅生育率改变，建立孟德尔生物遗传模型预测生育率，由于计划生育政策对各年龄段生育率的影响程度是不同的，引入加权因子。把计划生育政策改革后的生育率代入Leslie模型的系数矩阵得到“单独二孩”政策

8、后人口数量预测模型，借助MATLAB工具，分别计算出计划生育政策改革前后各年龄段的人口数量，并进行对比。 针对问题三，在西安统计年鉴中查得2013年前若干年各年龄段生育率、死亡率等数据，建立预测各年龄段人口数量变化的Leslie模型，估算生育政策改革前后生育率的变化。生育率变化估算与问题二相同，得到具体的Leslie模型，代入西安市初始年份各年龄段人口数预测计划生育政策改革前后西安市未来人口数量变化，采用定量分析与定性分析相结合讨论实施“单独二孩”政策后对西安市未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。三、基本假设1.在预测人口模型中，假设不考虑与境外的迁入迁出问题；2

9、.假设所有表征和影响人口变化的因素都是在整个社会人口平均意义下确定的；3.假设在短期内没有外来物种对人类的生存造成影响；4.假设医疗水平，科学技术在未来相当长的时间内不会对人的死亡率造成影响；5.假设所有数据足够准确；6.假设在预测期内无战争或自然灾害等引起的大规模伤亡或迁移，即国内人口变化主要取决于生育率、死亡率；7.设人口增长率是的线性函数，即；8.不考虑港澳台的人口数量变化对总人口的影响；9.自然资源与环境条件能够容纳的最大人口数量为常数，即；10.假设生育率、死亡率和男女性别比例不随人口流动而变化；11.假设符合“单独二孩”政策的夫妇都会生二胎。四、符号表示符号表示意义单位人口增长的固

10、有增长率无年时人口数量亿人环境最大容纳量亿人第年年龄段各自的人口数量亿人第年第年龄段人口数量亿人Leslie模型的系数矩阵无第年龄段女性生育率（从1到）无第个年龄段女性的存活率（从1到）无“单独二胎”政策颁发后，各年龄段生育率（向量）无原计划政策下，各年龄段生育率（向量）无五、模型的建立和求解人口人口数量变化与生育率、生育模式、死亡率、性别比等因素有关，因此可以通过不同的人口增长模型来刻画人口数量及结构的变化。5.1旧政策下人口数量变化地球上的资源是有限的，它只能提供一定数量的使生命生存所需的条件，随着人口数量的增加，自然资源与环境污染的对人口增长的限制作用越来明显，故人口增长存在环境容纳量，

11、人口不能无限制增长。因此，建立logistic模型来预测人口数量变化。由假设（7）与（8）可知，则，故有 （1）其中，表示固有增长率，表示初始人口数，（1）式右端的因子在此体现人口自身的增长趋势，因子体现了自然资源与环境条件对人口增长所起的阻滞作用。解（1）这个微分方程，得 （2）由（1）和（2）式可知人口数量具有如下性质：1、2、 当时， ，即表明严格单调增加；当时， ，即表明严格单调减少。3、 因，则当时，即的图像为上凹；时，即的图像为上凸；时，的图像为上凹。4、 人口变化率在处取得极大值。由以上四点可知，的曲线如图1和2所示。MM/2时间人口数图1 人口与时间图变化率M/2人口数图2 人

12、口变化率与人口数关系图参数估计利用线性最小二乘法估计（1）式中的参数和（1）式可变换为其中，上式左端可从表1（见附录一）的数据用年增长率表示，右端对参数和是线性的。用MATLAB软件计算得到，。将参数值代入（1）式 (3)用（3）式预测中国未来十年内的人口数量表2 未来十年的人口数量年份（年）2014201520162017201820192020202120222023预测人口数量（亿人）13.652313.694913.735213.773313.809413.843413.875513.905913.934613.96165.2计划生育政策改革后，我国劳动力数量变化劳动力年龄规定为155

13、9岁时，建立Leslie预测按年龄段人口数量变化。实施“单独二孩”政策后，与计划生育政策改革前的Leslie模型相比，仅生育率发生了改变，对原模型稍作改变，即可得出“单独二孩”政策颁发后，按年龄人口模型。通过对比，计划生育政策改革后对劳动力人口数量的影响便一目了然。5.2.1计划生育政策改革前，我国人口按年龄人口数量变化把总人口分为个年龄段，则，其中指第一个年龄段人口数量，当按1岁分年龄段时，指婴儿数量；按5岁分年龄段时，指15岁小孩数量，故按新生人数来确定，等于上一年各年龄段女性生育胎儿总数，即第二个年龄段人口数是第一个年段存活下来的人口数，第三个年龄段人口数时第二个年龄段人口存活下来的，即

14、则 令 ， （4） 定性分析：先讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势，从而给出如下条件：1）2）。易见，对于人口模型，这两个条件是很容易满足的。在条件 1）、2）下，下面的结果是成立的：定理1L 矩阵有唯一的单重的正的特征根，且对应的一个特征向量为定理2若是矩阵L的任意一个特征根，则必有。定理3若L第一行中至少有两个顺次的，则1）若是矩阵 的任意一个特征根，则必有。2）其中是与有关的常数。定理1 至定理3 的证明这里省去。由定理3 的结论知道，当t 充分大时，有： （5）定理4 记则是的非零特征根的充要条件为： （6）所以当时间充分大时，女性人口的年龄结构向量趋于稳定状态，即年龄结构趋于稳定形态

15、，而各个年龄组的人口数近似地按的比例增长。由（5）式可得到如下结论：1） 当 时，人口数最终是递增的；2) 当 时，人口数最终是递减的；3) 当 时，人口数是稳定的。定量分析：按5岁一个年龄段把所有人分为岁；岁；岁；岁；岁；岁；岁；岁；岁；岁；岁；岁；岁；岁；岁；岁；岁；岁；岁；岁；岁各年龄段生育率的估计： 从中国统计年鉴中查找数据（见附录一表4），得到出生率变化的折线图图3 1980年2012年生育率的变化在计划生育政策未改革前，出生率在1988年达到峰值，自2005年起出生率开始稳定在1.2%左右并在不断减小，可以预见，如果不实施“单独二孩”政策，中国的人口数量会不断减小，生育率减小直接导

16、致青少年数量减少，从而劳动力数量减少，中国人口增长呈人口增长的衰退形模型。查找中国统计年鉴得到各年龄段女性生育率（见附录一表5）,通过求均值为出现的概率，得出各年龄段较准确的各年龄段的生育率见表5，死亡率在一定时间阶段，由于社会经济及医学水平相对稳定，死亡率总在一个水平轻微波动，查得各年龄段死亡率，则存活率即自然增长率=1-死亡率，从而得到各年龄段存活见表6表6 原计划生育政策下各年龄段生育率及存活率年龄段生育率存活率0400.998735900.99977101400.9997815190.005470.9997520240.089550.999725290.093590.999633034

17、0.047200.999535390.017240.9992940440.005940.9988945490.00380.99832505400.99719555900.99571606400.99251656900.98694707400.97564757900.95911808400.92602858900.88471909400.8197695+00.78054将6中的生育率及存活率数据代入，根据（4）式，代入预测初始值；，故 其中，利用迭代法即可计算出各年龄段人口总人数,2023年各年龄段人口数量计算表达式 （7）则2023年1559岁人口数量为表7 原计划生育政策下，2023年各年龄

18、段人口数量年龄段人口数04118405912329101429539151928024202428758252938301303453287353944243404440191454947239505452438555949197606430168656935037707425488757917323808413505858999629094544095+2133由表7可知：在新政策未实施的情况下，预计到2023年，15到59岁劳动力人口将达到11亿。5.2.2“单独二胎”政策颁发后，各年龄结构人口数量变化单独二胎政策：夫妻双方有一方是独生时，允许生二胎。“单独二胎”政策颁发后，各年龄段的生育

19、率发生改变。借助孟德尔遗传定律预模型预测测生育率的变化：据调查：目前，非独生子女所占比例为，记A为独生子女，a为非独生子女，利用孟德尔的自由组合定律：AA和Aa所占比例为，aa占的比例为，因此，二孩政策颁发后全国有的人可以生二孩，则生育率 （8）其中，为生育年龄的加权因子。“单独二胎”政策对各个年龄段生育率得到影响程度是不同的，故引入加权因子，加权因子越大则“单独二胎”政策对该年龄段的生育率的影响越大。根据（8）式结合表4及加权因子表达式得到，计划生育政策改革后各年龄段生育率及存活率表8 “单独二孩”政策下各年龄段生育率及存活率年龄段生育率存活率0400.998735900.999771014

20、00.9997815190.005470.9997520240.0910.999725290.098360.9996330340.047670.999535390.01730.9992940440.005950.9988945490.00380.99832505400.99719555900.99571606400.99251656900.98694707400.97564757900.95911808400.92602858900.88471909400.8197695+00.78054把计划生育政策改革后各年龄段的生育率及存活率代入，根据5.2.1中的（7）式便可计算出“单独二孩”政策后，

21、2023年各年龄结构人口数量变化。表9 “单独二孩”政策下2023年各年龄阶段人口数量变化年龄段人口数04121745912639101429539151928024202428758252938301303453287353944243404440191454947239505452438555949197606430168656935037707425488757917323808413505858999629094544095+2133由表可知；在“单独二孩”政策下到2023年预计劳动力人口数量将达到12亿。比较实施“单独二孩”政策前后预测2023年劳动力人口数量，明显，实施“单独二孩”

22、政策后，劳动力数量有很大增加，说明“单独二孩”政策对于改善我国劳动力数量下降的情况很有成效。5.3 实施“单独二孩”政策后，西安市人口数量变化查找资料，查得西安市2009年到2011年各年龄段的生育率见，对各年龄段生育率取期望值得到各年龄段生育率的估计值见表6表10 原计划生育政策下各年龄段的生育率年龄段（岁）15-1920-2425-2930-3435-3940-4445-49生育率%（旧）0.60874188600459617010.6010.390根据上表10，作出生育率随年龄段的变化图像图4 生育率随年龄段的变化图像根据问题二中（5）式结合表6数据计算各年龄段的生育率的加权因子：表11

23、 各年龄段生育率的加权因子年龄段（年）15-1920-2425-2930-3435-3940-4445-49加权因子0.0250.310.360.190.070.0250.002根据（5）式结合表6与表7中所得数据计算“单独二孩”政策颁发后各年龄段生育率。表 12“单独二孩”政策颁发后各年龄段生育率年龄段（年）15-1920-2425-2930-3435-3940-4445-49生育率%（新）0.60976198871496217100.6020.3901以15岁为一个年龄段，假设平均最高年龄为90岁，将全国人口分为0-15、15-30、30-45 45-60、60-75 75-90四个年龄阶

24、段，建立预测各年龄人口数量变化的Leslie模型，此时有（11）;代入数据,得到人口数量的预测值,见表13（单位：万人）表13 2028年西安市新旧计划生育政策下人口数量变化年龄段0-1515-3030-4545-6060-7575-90旧34.05373.771118.84196.5096.300.774新35.99473.771118.84196.4596.2990.7747 并根据上表用MATLAB工具箱拟合出新旧政策下2028年西安市人口数量变化图5 新旧计划生育政策下西安市人口数变化图6旧政策下人老龄人口比例的变化图7 人口红利比变化定量分析：由图10及表13可知在2028年新计划生

25、育政策下25岁-50岁的人较多，可以延长人口红利化，相对旧政策，新政策在一定程度上缓解了人口老龄化，劳动力人口数量下降等人口问题。定性分析：通过MATLAB编程计算(见附录二)出旧政策下的特征值；新政策下；由问题二中的定性分析，知当 时，人口数最终是递减的，所以，无论是新政策还是旧政策从长远来看人口数量都是无限减少的。但是新政策减缓的较旧政策慢，对社会冲击力交旧政策小，但在一定年过去后人口降到一定的数量可以放开二胎政策，单独二孩政策是由独生子女政策到二孩政策的过渡，具有长远深刻的意义.其二，抑制男女比例失衡在传统观念等原因促使下，“一胎政策”导致了许多父母“选择性生育”，因而最终出现男女比例失

26、调问题。如果开放“二胎政策”则能极大减少这个问题的出现。其三，有利于稳定适度低生育水平，促进人口长期均衡发展，促进人口与经济、社会、资源、环境的协调和可持续发展。新政策带来的弊端：国家财政支出将增加,开放二胎政策后，国家将面对一系列人口增长遇到的问题。环境承受能力、财政支出、公共福利体系等宏观层面将会随着人口的增加而面临压力。 六、结果分析从表14中可以看出，相对误差不超过1%,模型（4）拟合得比较准确。结果分析根据具体数据对模型结果进行分析与检验。6.1问题一的结果与分析“单独二孩”政策颁发前的人口数量用logistic模型预测，查找中国统计年鉴得到19902012人口数量，计算出模型中的参

27、数，以1990年人口数量为预测的初始年份，得到人口预测模型,通过与实际数据的对比，检验模型的准确性，对模型进行残差分析（实值数据来自中国统计年鉴）表14 残差分析年份199119952000200520102012实际人口（亿人）11,582312.112112.674313.075613.409113.5404计算人口（亿人）11.576312.095912.633413.059413.390913.5009残差0.01230.01620.04090.01620.01820.0395相对误差0.110.130.320.120.140.29其中，从表14中可以看出，相对误差不超过1%,模型（4

28、）拟合得比较准确。6.2问题二的结果分析 建立Leslie模型，结合计划生育政策改革前后的生育率建立具体模型，代入初始年份各年龄段人口数量，预测出2023年时，中国各年龄段人口数量，明显，计划生育政策改革后，1559岁劳动力人口数量有明显提高，并作出柱状图进行直观具体的对比。七、模型评价1.优点：（1）思路宽阔。在不同时期，建立起不同的模型，能够与实际紧密的联系，结合当前具体国情，对问题进行求解，使该模型具有很好的推广性和通用性。（2）数据精确可靠。题目涉及到的数据，均是从“中国统计局”官方网站下载，并且对论文中涉及到的众多影响因素进行了量化处理，使得论文的说服力强，实际性更高。模型采用专业软

29、件MATLAB求解。（3）通过残差分析检验模型的准确性，客观真实，具有一定科学性。2、缺点（1）人口增长的动态因素很多，而且不可能都波及到，所以模型与实际还是有一些距离的。（2）模型在相应的时间阶段具有很高的预测能力，但是一旦脱离了这个时间阶段，模型的预测能力就会回落。（3）数据虽然是从中国统计年鉴中查得，但原始数据本身就存在随机性和误差，故模型与真实值存在合理误差。（4）只考虑了生育率及死亡率对人口数量的影响，八、模型推广由于各年龄段女性的生育率和死亡率难以精确确定，利用宋建模型，引进死亡率函数和婴儿出生率来计算女性生育率。1.下面对做进一步分解：设女性性别函数为即时刻年龄在的女性人数为,将

30、这些女性在单位时间内平均每人的生育数记作设育龄区间为，则 再将定义为 （9） 其中满足 （10）于是得到 由上式可看出，的直接含义是时刻单位时间内平均每个育龄女性的生育数，假使所有女性在她育龄期所及的时刻均保持这个生育数，那么也表示平均每个女性一生的总和生育数，所以称为总和生育率或生育胎次。由（9）（10）两式及的含义可看出是年龄为的生育加权因子，称生育模式，在稳定环境下可以近似认为它与无关，即。由人口统计资料可以知道当前实际，借助概率论中的卡方分布可以确定: 由卡方分布的特殊情形知：其中为女性生育率最高的年龄，为女性的最低生育年龄（即15岁）因此生育模式为：其中2.时刻年龄段的死亡率与存活率

31、的确定死亡率为同一年龄区间的死亡人口与平均人口之比。假设各年龄段的死亡率只与年龄段有关，与时间无关，即则根据多年数据可对死亡率函数进行指数函数拟合，从而可得到各年龄段的存活率。3.女性性别函数的确定女性性别函数即女性人口所占的比例。有男女出生比例统计数据可知该比例与时间无关，因此只考虑年龄对女性人口比例的影响，根据不同年龄段的女性人口比例用最小二乘法进行拟合，从而得出女性性别函数4.人口分布密度函数与密度函数的确定人口密度分布函数指的是时刻年龄小于的人口，其中均为连续变量，设是连续、可微的。时刻的人口总数记作，最高年龄记作，理论推导时设，于是对非降函数有。人口密度函数定义为：其中为时刻年龄在内

32、的人数。 为了得到满足的方程，考察时刻到时刻时，年龄在内的人数情况。他们中活着的那一部分人的年龄变为，这里，而在这段时间内死亡的人数为。于是。其中为时刻年龄的人的死亡率。可得到上述式中，有两个具体定解条件： 初始密度函数记作；单位时间出生的婴儿数记作，称为婴儿出生率。可由人口调查资料得到。将偏导方程及定解条件写成在社会安定的局面下和不太长的时间内，可得到：从而可知人口分布函数为根据调查数据用最小二乘法对人口密度函数进行拟合，得出函数进而求出生育率。最后用Leslie模型求出人口数量和结构。参考文献1 2总人口数2012年8月9号3 姜启源谢金星叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，2003。4

33、曾大洪，考虑年龄结构的女性模型，韶关大学学报，第19 卷第3 期：72-79，1998。5 张金漫 段胜安 冯玉峰 中国人口增长预测模型论文 2007年9月6 王彦 马伯强，20世纪80年代以来我国人口发展的数学模型和展望，北京大学学报(自然科学版) ,第39 卷 增刊；2930页，2003。7 中华人民共和国国家统计局，中国统计年鉴2011，北京：中国统计出版社，2011。附录一年份/年1990199119921993199419951996199719981999200011.43311.582311.717111.851711.985011.112112.238912.362612.47

34、6112.578612.674314.3912.9811.6011.4511.2110.5510.4210.069.148.187.58年份/年2001200220032004200520062007200820092010201112.762712.845312.922712.998813.075613.144813.217213.280213.345013.409113.47356.956.456.015.875.895.285.175.084.874.794.79表4 1994至2002年出生率年份199419951996199719981999200020012002出生率17.701

35、7.1216.9816.5715.6414.6414.0313.3812.86年份200320042005200620072008200920102011出生率12.4112.2912.4012.0912.1012.1411.9511.9011.93表5 各年龄段女性的生育率年龄段15-1920-2425-2930-3435-3940-4445-4920056.34114.4692.0040.2210.982.060.7920064.59101.52100.0047.0016.234.442.2920073.8393.67103.7852.3420.416.705.1920085.2694.6

36、0101.4453.8521.939.936.6520096.1686.6196.5850.2919.847.575.7820105.9369.4784.0845.8418.717.514.6820116.1666.5177.2340.8512.563.401.25附录二未来人口比红利化作图程序popu=196517190502.9245185053.8543180108.46175612.1276171516.2225167777.4348164357.1959161221.1591158338.7371155682.6899153228.7588150955.3392148843.1914

37、6875.1748145036.0314143312.1663141691.4721140163.1644138717.6373137346.3342136041.6327134796.7422133605.6132132462.8558131363.6676130303.7691129279.3469128287.0022127323.7057126386.7571;636132637390.8212638082.5903638272.0246638016.7355637368.0075636371.4913635067.8211633493.1642631679.7107629656.1087627447.8