第三章直线与方程全章教案

1、第三章直线与方程本章教材分析直线与方程是平面解析几何初步的第一章,用坐标法研究平面上最简单的图形直线.本章首先在平面直角坐标系中,介绍直线的倾斜角、斜率等概念;然后建立直线的方程:点斜式、斜截式、 两点式、截距式等;通过直线的方程,研究直线间的位置关系:平行和垂直,以及两条直线的交点坐标、点到直 线的距离公式等.解析几何研究问题的主要方法是坐标法,它是解析几何中最基本的研究方法.坐标法的基本特点是,首先 用代数语言(坐标及其方程)描述几何元素及其关系,将几何问题代数化;解决代数问题,得到结果;分析代数结 果的几何含义,最终解决几何问题.本章自始至终贯穿数形结合的思想.在图形的研究过程中,注意代

2、数方法的使用;在代数方法的使用过程 中,加强与图形的联系.直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习做好知识上的必要准备，又能为今后灵活地 运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础 .只有学好本章才能为第四章的圆与方程做好准备和铺垫 . 教学中一定要注重由浅及深的学习规律，多采用变式教学，同时渗透常用的数学思想方法（数形结合、分 类讨论、类比、推广、特殊化、化归等）,体现由特殊到一般的研究方法，化难为易、化抽象为具体，深入 浅出的引导学生自己发现规律，大胆质疑、积极思考、合作探究、激发他们学习的兴趣，教师合理诱导并 且及时鼓励，使同学们能愉快的、轻松的学习，并且提高他们应用所学知识解

3、决问题（尤其是实际问题） 的能力，真正体现出“在用中学，在学中用，为用而学，学而能用”，这一点也正符合新课标的要求和精神.本章教学时间约 9 课时，具体分配如下（仅供参考）：3.1.13.1.23.2.13.2.23.2.33.3.13.3.23.3.3 及 3.3.4倾斜角与斜率两直线平行与垂直的判定直线的点斜式方程直线的两点式方程直线的一般式方程两条直线的交点坐标两点间的距离点到直线的距离及两条平行线间的距离本章复习约 1 课时约 1 课时约 1 课时约 1 课时约 1 课时约 1 课时约 1 课时约 1 课时约 1 课时3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率一、教材分析直线是

4、最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地 运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.事实上，只有透彻理解并熟练掌握直线的倾斜角和斜率这 两个基本概念，学生才能对直线及其位置进行定量的研究.对直线的倾斜角和斜率，必须要求学生理解它们 的准确涵义和作用，掌握它们的导出，并在运用上形成相应的技能和熟练的技巧.本小节从一个具体的一次函数与它的图象入手，引入直线的倾斜角概念，注重了由浅及深的学习规律， 并体现了由特殊到一般的研究方法 .引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率 概念，是进一步研究直线方程的需要.二、教学目标1知识与技能（1）

5、 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.（2） 理解直线倾斜角的唯一性.（3） 理解直线斜率的存在性.（4） 斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.2过程与方法引导帮助学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问 题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法.3情感、态度与价值观（1） 通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力， 运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力.（2） 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立 辩证统一的观点，培养学生形成严谨的

6、科学态度和求简的数学精神.三、教学重点与难点教学重点:直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式.教学难点:斜率公式的推导.四、课时安排1 课时五、教学设计（一）导入新课思路 1.如图 1 所示，在直角坐标系中，过点p 的一条直线绕 p 点旋转，不管旋转多少周，它对 x 轴的 相对位置有几种情形？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率.图 1思路 2.我们知道,经过两点有且只有(确定)一条直线.那么,经过一点 p 的直线 l 的位置能确定吗?这些直 线有什么联系和区别呢? 教师引入课题：倾斜角与斜率.（二）推进新课、新知探究、提出问题1 怎样描述直线的倾斜程度呢？2 图 2 中标出的直线的倾斜

7、角 对不对？如果不对，违背了定义中的哪一条？图 23 直线的倾斜角能不能是 0？能不能是锐角？能不能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否 大于平角？4 日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？5 正切函数的定义域是什么？6 任何直线都有斜率么？7 我们知道两点确定一条直线，那么已知直线上两点坐标，如何才能求出它的倾斜角和斜率呢？如： 已知 a(2，3)、b(1，4)，则直线 ab 的斜率是多少?活动:与交角有关.当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角.可见：平面上的任一直线都有唯一的一个倾斜角，并且倾斜角定了，直线

8、的方向也就定了.2 考虑正方向.3 动手在坐标系中作多条直线，可知倾斜角的取值范围是 0180.在此范围内，坐标平面上的任何 一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向.倾斜角直观地表示了直线对 x 轴正 方向的倾斜程度.规定：当直线和 x 轴平行或重合时，直线倾斜角为 0，所以倾斜角的范围是 0180.联想小时候玩的滑梯，结合坡度比给出斜率定义，直线斜率的概念.倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用 k 表示，即 k=tan.5 教师介绍正切函数的相关知识.6 说明：直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于 x 轴的直线没有斜率.（倾斜角是 90

9、的直线没有斜率）已知直线 l 上的两点 p (x ，y )，p (x ，y )，且直线 l 与 x 轴不垂直，如何求直线 l 的斜率？教学时1 1 1 2 2 2可与教材上的方法一样推出.讨论结果:用倾斜角.2 都不对.与定义中的 x 轴正方向、直线向上方向相违背.3 直线的倾斜角能是 0，能是锐角，能是直角，能是钝角，不能是平角，不能大于平角.4 有，常用的有坡度比.5 90的正切值不存在.6 倾斜角是 90的直线没有斜率.过两点 p (x ,y )、p (x ,y )的直线的斜率公式 k= 1 1 1 2 2 2（三）应用示例y -y2 1x -x2 1.思路 1例 1 已知 a(3,2)

10、,b(-4,1),c(0,-1),求直线 ab,bc,ca 的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角. 活动:引导学生明确已知两点坐标,由斜率公式代入即可求得 k 的值;而当 k=tan0 时,倾斜角 是钝角;而当 k=tan0 时,倾斜角 是锐角;而当 k=tan=0 时,倾斜角 是 0.解:直线 ab 的斜率 k =1170,所以它的倾斜角 是锐角;直线 bc 的斜率 k =-0.50,所以它的倾斜角 是钝角;2直线 ca 的斜率 k =10,所以它的倾斜角 是锐角.3变式训练已知 a(1,3 3 ),b(0,2 3 ),求直线 ab 的斜率及倾斜角.解:k =ab3 3 -2 3 1 -

11、0= 3,直线倾斜角的取值范围是 0180,直线 ab 的倾斜角为 60.例 2 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为 1,-1,2 及-3 的直线 a,b,c,l.活动:要画出经过原点的直线 a,只要再找出 a 上的另外一点 m.而 m 的坐标可以根据直线 a 的斜率确定.解:设直线 a 上的另外一点 m 的坐标为(x,y),根据斜率公式有：1=y -0x -0,所以 x=y.可令 x=1,则 y=1,于是点 m 的坐标为(1,1).此时过原点和点 m(1,1),可作直线 a. 同理,可作直线 b,c,l.变式训练1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)=0；（2）=60；(3)=

12、90.活动:指导学生根据定义直接求解.解：(1)tan0=0，倾斜角为 0的直线斜率为 0.(2) tan60= 3 ，倾斜角为 60的直线斜率为 3 .(3) tan90不存在，倾斜角为 90的直线斜率不存在.点评：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率.2.关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的( )a. 任一条直线都有倾斜角，也都有斜率b. 直线的倾斜角越大，它的斜率就越大c. 平行于 x 轴的直线的倾斜角是 0 或 ；两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等 d.直线斜率的范围是(，)答案：d思路 2例 1 求经过点 a(-2,0)，b(-5,3)的直线的斜率和倾斜角.解：k =a

13、b3 -0 -5 -( -2)=1，即 tan=-1，又0180，=135.该直线的斜率是-1，倾斜角是 135.点评：此题要求学生会通过斜率公式求斜率，并根据斜率求直线的倾斜角. 变式训练求过下列两点的直线的斜率 k 及倾斜角 .abacab ac（1）p (-2,3)，p (-2,8)；1 2（2）p (5,-2)，p (-2,-2).1 2解：（1）p p 与 x 轴垂直，直线斜率不存在，倾斜角 =90.1 2-2 -( -2)（2）k=tan= =0，直线斜率为 0，倾斜角 =0.-2 -5例 2 已知三点 a、b、c，且直线 ab、ac 的斜率相同，求证:这三点在同一条直线上.证明：

14、由直线的斜率相同，可知直线 ab 的倾斜角与 ac 的倾斜角相等，而两直线过公共点 a， 所以直线 ab 与 ac 重合，因此 a、b、c 三点共线.点评：此题反映了斜率公式的应用，即若有共同点的两直线斜率相同，则可以判断三点共线. 变式训练11.若三点 a(2,3)，b(3,2)，c( ,m)共线，求实数 m 的值.22 -3 m -3解：k = =-1，k = ，3 -2 1-22m -3 9a、b、c 三点共线，k =k . =-1.m= .1 2-222.若三点 a(2,2),b(a,0),c(0,b)(ab0)共线，则1 1+ 的值等于_. a b答案：12例 3 已知三角形的顶点

15、a(0,5)，b(1,-2)，c(-6,m)，bc 的中点为 d，当 ad 斜率为 1 时，求 m 的值及|ad| 的长.分析：应用斜率公式、中点坐标公式、两点间距离公式.解：d 点的坐标为(-5 m -2, )，2 2k =adm -2-525- -025 5=1.m=7.d 点坐标为(- , ).2 2|ad|=5( )225+(5 - )22=5 22.变式训练过点 p(1，1)的直线 l 与 x 轴和 y 轴分别交于 a、b 两点，若 p 恰为线段 a 的中心，求直线 l 的斜 率和倾斜角.答案：k=-1,倾斜角为 （四）知能训练3 p4.课本本节练习 1、. （五）拓展提升已知点 a

16、(-2,3)，b(3,2)，过点 p(0,-2)的直线 l 与线段 ab 有公共点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 分析：利用数形结合同时注意直线斜率不存在的特殊情形.4 5答案：(-, )(- ,+).3 2（六）课堂小结通过本节学习，要求大家：（1） 掌握已知直线的倾斜角求斜率;（2） 直线倾斜角的概念及直线倾斜角的范围；（3） 直线斜率的概念；（4） 已知直线的倾斜角（或斜率），求直线的斜率（或倾斜角）的方法.（七）作业习题 3.1 a 组 3、4、5.3.1.2 两条直线平行与垂直的判定一、教材分析直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定，又都是由相应的斜率之间的关系

17、来确定 的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联 系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值 得略加说明.二、教学目标1知识与技能理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.2过程与方法通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力. 3情感、态度与价值观通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生 的学习兴趣.三、教学重点与难点教学重点:掌握两条直线平行、垂直的充要条件，并会判断

18、两条直线是否平行、垂直.教学难点:是斜率不存在时两直线垂直情况的讨论（公式适用的前提条件）.四、课时安排1 课时五、教学设计（一）导入新课思路 1.设问（1)平面内不重合的两条直线的位置关系有哪几种？(2)两条直线的倾斜角相等，这两条直 线是否平行？反过来是否成立？(3)“=”是“tan=tan”的什么条件？根据倾斜角和斜率的关系,能否利用斜 率来判定两条直线平行呢?思路 2.上节课我们学习的是什么知识？想一想倾斜角具备什么条件时两条直线会平行、垂直呢? 你认 为能否用斜率来判断.这节课我们就来专门来研究这个问题.（二）推进新课、新知探究、提出问题1 平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？2

19、 两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？3 “=”是“tan=tan”的什么条件？4 两条直线的斜率相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？5 l l 时，k 与 k 满足什么关系？1 2 1 2l l 时，k 与 k 满足什么关系？1 2 1 2活动:教师引导得出平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例. 数形结合容易得出结论.3 注意到倾斜角是 90的直线没有斜率,即 tan90不存在.4 注意到倾斜角是 90的直线没有斜率.5 必要性：如果 l l ，如图 1 所示，它们的倾斜角相等,即 = ，tan =tan ,即 k =k .1 2 1

20、 2 1 2 1 2图 12充分性：如果 k =k ,即 tan =tan ,1 2 1 20 180，0 180， = .于是 l l .1 2 1 2 1 2学生讨论，采取类比方法得出两条直线垂直的充要条件.讨论结果：平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.2 两条直线的倾斜角相等，这两条直线平行，反过来成立.3 “=”是“tan=tan”的充要条件.4 两条直线的斜率相等，这两条直线平行，反过来成立.5 l l k =k .1 2 1 2l l k k =-1.1 2 1 2（三）应用示例例 1 已知 a（2，3），b（4，0），p（3，），q（1，2），判断

21、直线 ba 与 p的位置关系，并证 明你的结论.解:直线 ba 的斜率 k =ba3 -0 2 -( -4)=0.5,直线 pq 的斜率 k =pq2 -1 -1 -( -3)=0.5,因为 k =k .所以直线 bapq.ba pq变式训练1若 a(-2,3),b(3,-2),c( ,m)三点共线，则 m 的值为( )2a.1 1b.-2 2c.-2 d.2分析：k =k , ab bc答案：a-2 -3 m +2 1 = ,m= .3 +2 1 2-32例 2 已知四边形 abcd 的四个顶点分别为 a（0，0），b（2，-1），c(4,2),d(2,3),试判断四边形 abcd 的 形状

22、，并给出证明.解：ab 边所在直线的斜率 k =-ab12,cd 边所在直线的斜率 k =-cd12,3bc 边所在直线的斜率 k = ,bcda 边所在直线的斜率 k =da32.因为 k =k ,k =k ,所以 abcd,bcda.ab cd bc da因此四边形 abcd 是平行四边形.变式训练直线 l ：ax+3y+1=0，l ：x+(a-2)y+a=0，它们的倾斜角及斜率依次分别为 ， ，k ，k . 1 2 1 2 1 2（1）a=_时， =150；1（2）a=_时，l x 轴；2pqaq ap13 3（3）a=_时，l l ；1 2（4）a=_时，l 、l 重合；1 2（5）a

23、=_时，l l .1 2答案：（1）（四）知能训练3（2）2 （3）3 （4）-1 （5）1.5习题 3.1 a 组 6、7.（五）拓展提升问题：已知 p（3，2），q（3，4）及直线 ax+y+3=0.若此直线分别与 pq 的延长线、qp 的延长线相交， 试分别求出 a 的取值范围.（图 2）图 2解：直线 l：ax+y+3=0 是过定点 a（0，-3）的直线系，斜率为参变数-a，易知 pq、aq、ap、l 的斜 1 7 5率分别为：k = ，k = ，k = ，k =-a.3 3 3若 l 与 pq 延长线相交，由图,可知 k k k ，解得-pq 1 aq7 1 a- ；3 37 5若

24、l 与 pq 相交，则 k k 或 k k ，解得 a- 或 a ；1 aq 1 ap若 l 与 qp 的延长线相交，则 k k k ，解得-pq 1 ap（六）课堂小结1 5a .3 3通过本节学习，要求大家：1. 掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行.2. 掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直.3. 注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力. 4.认识事物之间的相互联系，用联系的观点看问题.（七）作业习题 3.1 a 组 4、5.3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程一、教材分析直线方程的点斜式给出了根据已知

25、一个点和斜率求直线方程的方法和途径.在求直线的方程中，直线方 程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的.从一次函数 y=kxb(k0)引入，自 然地过渡到本节课想要解决的问题求直线的方程问题.在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一 对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手.在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条 件求出直线的方程.二、教学目标1知识与技能（1） 理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2） 能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；（3） 体会直线的斜截式方程与一次函数的关系

26、.2过程与方法在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生 探讨，得出直线的点斜式方程，学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别.3情态与价值观通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中 普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题.三、教学重点与难点教学重点:引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方 程.教学难点:在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围.四、课时安排1 课时五、教学设计（一）导入新课思路 1.方程 y=kxb 与直线 l 之

27、间存在着什么样的关系？让学生边回答，教师边适当板书.它们之间存在着一一对应关系,即（1）直线 l 上任意一点 p(x ,y )的坐标是方程 y=kxb 的解.1 1（2）(x ,y )是方程 y=kx+b 的解 1 1点 p(x ,y )在直线 l 上. 1 1这样好像直线能用方程表示,这节课我们就来学习、研究这个问题直线的方程(宣布课题).思路 2.在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾： 一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线，它是以满足 y=kx+b 的每一对 x、y 的值为坐标的点构成的.由于函数式 y=kx+b 也可以看作二元一次方程,所以

28、我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应 关系.这节课我们就来学习直线的方程(宣布课题).（二）推进新课、新知探究、提出问题如果把直线当做结论，那么确定一条直线需要几个条件？如何根据所给条件求出直线的方程？ 已知直线 l 的斜率 k 且 l 经过点 p (x ,y )，如何求直线 l 的方程?1 1 13 方程导出的条件是什么？4 若直线的斜率 k 不存在，则直线方程怎样表示？k=y -y1x -x1与 y-y =k(x-x )表示同一直线吗？ 1 1已知直线 l 的斜率 k 且 l 经过点（，），如何求直线 l 的方程？ 讨论结果:确定一条直线需要两个条件:a. 确定一条直线只需

29、知道 k、b 即可；b. 确定一条直线只需知道直线 l 上两个不同的已知点.设 p(x，y)为 l 上任意一点，由经过两点的直线的斜率公式,得 k= 方程导出的条件是直线 l 的斜率 k 存在.a.x=0；b.x=x .1y -y1x -x1,化简,得 yy =k(xx ).1 15 启发学生回答:方程 k= 才是整条直线.6 y=kx+b.（三）应用示例y -y1x -x1表示的直线 l 缺少一个点 p (x ,y ),而方程 yy =k(xx )表示的直线 l1 1 1 1 1思路 1例 1 一条直线经过点 p (-2,3),倾斜角 =45,求这条直线方程,并画出图形.1图 1解:这条直线

30、经过点 p (-2,3),斜率是 k=tan45=1.代入点斜式方程,得 y-3=x+2,即 x-y+5=0,1这就是所求的直线方程,图形如图 1 所示.点评:此例是点斜式方程的直接运用,要求学生熟练掌握,并具备一定的作图能力. 变式训练求直线 y=-3(x-2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转 30所得的直线方程.解：设直线 y=- 3 (x-2)的倾斜角为 ，则 tan=- 3 ，又0,180)，=120.所求的直线的倾斜角为 120-30=90.直线方程为 x=2.例 2 如果设两条直线 l 和 l 的方程分别是 l :y=k x+b ,l :y=k x+b ，试讨论:1 2 1 1 1

31、2 2 2（1）当 l l 时，两条直线在 y 轴上的截距明显不同，但哪些量是相等的？为什么？1 2（2）l l 的条件是什么？1 2活动:学生思考：如果 = ，则 tan =tan 一定成立吗？何时不成立？由此可知：如果 l l ，当其1 2 1 2 1 2中一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率必定不存在.反之，问：如果 b b 且 k =k ，则 l 与 l1 2 1 2 1 2的位置关系是怎样的？由学生回答，重点说明 = 得出 tan =tan 的依据.1 2 1 2解:（1）当直线 l 与 l 有斜截式方程 l :y=k x+b ,l :y=k x+b 时，直线 l l k =k

32、 且 b b .1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2(2)l l k k =-1.1 2 1 2变式训练21222322矩形 max判断下列直线的位置关系:(1)l :y=11 1x+3,l :y= x-2;2 25 3(2)l :y= x,l :y=- x.3 5答案：(1)平行；(2)垂直.思路 2例 1 已知直线 l ：y=4x 和点 p(6，4)，过点 p 引一直线 l 与 l 交于点 q，与 x 轴正半轴交于点 r，当 oqr1 1的面积最小时，求直线 l 的方程.活动:因为直线 l 过定点 p(6，4)，所以只要求出点 q 的坐标，就能由直线方程的两点式写出直线

33、l 的 方程.解：因为过点 p(6，4)的直线方程为 x=6 和 y4=k(x6),当 l 的方程为 x=6 时 oqr 的面积为 s=72；当 l 的方程为 y4=k(x6)时，有 r(6k -4 6 k -4 24k -16 ,0)，q（ , )，k k k -4此时 oqr 的面积为 s=1 6 k -4 24k -16 8(3k -2) =2 k k -4 k ( k -4)2.变形为(s72)k (964s)k32=0(s72).因为上述方程根的判别式 0，所以得 s40.当且仅当 k=1 时，s 有最小值 40.因此，直线 l 的方程为 y4=(x6)，即 xy10=0.点评：本例

34、是一道有关函数最值的综合题 .如何恰当选取自变量，建立面积函数是解答本题的关键 .怎 样求这个面积函数的最值，学生可能有困难，教师宜根据学生的实际情况进行启发和指导.变式训练如图 2，要在土地 abcde 上划出一块长方形地面（不改变方向），问如何设计才能使占地面积最大？ 并求出最大面积（精确到 1 m ）（单位：m）.图 2解：建立如图直角坐标系，在线段 ab 上任取一点 p 分别向 cd、de 作垂线，划得一矩形土地.ab 方程为x x 2 x+ =1,则设 p(x,20- )(0x30), 30 20 32x则 s =(100-x)80-(20- ) 矩形2 50=- (x-5) +6

35、000+ (0x30), 3 3当 x=5 时，y=50 50，即 p（5， ）时，(s ) =6 017(m 3 3).222 220例 2 设 abc 的顶点 a(1，3)，边 ab、ac 上的中线所在直线的方程分别为 x2y1=0，y=1，求 abc 中 ab、ac 各边所在直线的方程.活动:为了搞 abc 中各有关元素的位置状况，我们首先根据已知条件，画出简图 3,帮助思考问题. 解:如图 3,设 ac 的中点为 f，ac 边上的中线 bf：y=1.图 3ab 边的中点为 e，ab 边上中线 ce：x2y1=0.设 c 点坐标为(m，n),则 f(m +1 n +3,2 2).又 f

36、在 ac 中线上,则n +32=1,n=-1.又 c 点在中线 ce 上，应当满足 ce 的方程，则 m2n1=0. m=3.c 点为(3，1).设 b 点为(a,1),则 ab 中点 e(1 +a 3 +1 1 +a , ),即 e( ,2).2 2 2又 e 在 ab 中线上,则1 +a1-4+1=0.a=5.b 点为(5，1).由两点式,得到 ab，ac 所在直线的方程 ac：xy2=0,ab：x2y7=0.点评：此题思路较为复杂，应使同学们做完后从中领悟到两点：(1) 中点分式要灵活应用；(2) 如果一个点在直线上，则这点的坐标满足这条直线的方程，这一观念必须牢牢地树立起来. 变式训练

37、已知点 m（1，0），n（1，0）,点 p 为直线 2x-y-1=0 上的动点，则|pm| 解：p 点在直线 2x-y-1=0 上,设 p（x ,2x -1）.0 02 12 12|pm| +|pn| =10(x - ) + .5 5 5+|pn|的最小值为何？最小值为（四）知能训练125.课本本节练习 1、.（五）拓展提升已知直线 y=kxk2 与以 a(0，3)、b(3，0)为端点的线段相交，求实数 k 的取值范围.12图 4活动:此题要首先画出图形 4，帮助我们找寻思路，仔细研究直线y=kxk2，我们发现它可以变为 y 2=k(x1)，这就可以看出，这是过(1，2)点的一组直线.设这个定

38、点为 p(1，2).解：我们设 pa 的倾斜角为 ，pc 的倾斜角为 ，pb 的倾斜角为 ，且 .1 2 1 2则 k =tan kk =tan .1 1 2 22 +3 2 1又 k = =-5，k = =- ，-1 -1 -3 2则实数 k 的取值范围是-5k-（六）课堂小结12.通过本节学习，要求大家：1. 掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式 的特例.2. 引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.（七）作业习题 3.2 a 组 2、3、5.3.2.2 直线的两点式方程一、教材分析本节课的关键是

39、关于两点式的推导以及斜率k 不存在或斜率 k=0 时对两点式的讨论及变形.直线方程的 两点式可由点斜式导出.若已知两点恰好在坐标轴上(非原点)，则可用两点式的特例截距式写出直线的方程. 由于由截距式方程可直接确定直线与 x 轴和 y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便.在解决与截 距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式.但当直线与坐标轴平行时，有 一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式.二、教学目标1知识与技能（1） 掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围；（2） 了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。2过程与方法

40、让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知 识的特点.3情态与价值观（1） 认识事物之间的普通联系与相互转化；（2） 培养学生用联系的观点看问题。三、教学重点与难点教学重点:直线方程两点式和截距式.教学难点:关于两点式的推导以及斜率 k 不存在或斜率 k=0 时对两点式方程的讨论及变形.四、课时安排1 课时五、教学设计（一）导入新课思路 1.上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么？点斜式方程是怎样推导的？利 用点斜式解答如下问题：（1）已知直线 l 经过两点 p (1,2),p (3,5),求直线 l 的方程.1 2（2）已知两点 p

41、(x ,y ),p (x ,y )(其中 x x ,y y )，求通过这两点的直线方程.1 1 1 2 2 2 1 2 1 2思路 2.要学生求直线的方程，题目如下：1 a(8，-1)，b(-2，4)；2 a(6，-4)，b(-1，2)；3 a(x ，y )，b(x ，y )(x x ).1 1 2 2 1 2(分别找 3 个同学说上述题的求解过程和答案，并着重要求说求 k 及求解过程)这个答案对我们有何启示？求解过程可不可以简化？我们可不可以把这种直线方程取一个什么名字 呢?（二）推进新课、新知探究、提出问题已知两点 p (x ,y ),p (x ,y )(其中 x x ,y y )，求通过

42、这两点的直线方程.1 1 1 2 2 2 1 2 1 2若点 p (x ,y ),p (x ,y )中有 x =x 或 y =y ，此时这两点的直线方程是什么？1 1 1 2 2 2 1 2 1 23 两点式公式运用时应注意什么？4 已知直线 l 与 x 轴的交点为 a(a,0)，与 y 轴的交点为 b(0,b)，其中 a0,b0，求直线 l 的方程. a、b 表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？活动:教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经 解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否

43、存在斜率，然后求出直线的斜率，从 而可求出直线方程.师生共同归纳：已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：a.利用直线的斜率公式求出斜率 k; b.利用点斜式写出直线的方程.x x ,k=1 2y -y2 1x -x2 1,直线的方程为 y-y =1y -y2 1x -x2 1(x-x ).1l 的方程为 y-y =1y -y2 1x -x2 1(x-x ).1当 y y 时,方程可以写成 1 2y -y x -x 1 = 1y -y x -x 2 1 2 1.由于这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式.注意：式是由式导出的，它们表示的直线范围不同.式中只需 x x ，它不能表

44、示倾斜角为 901 2的直线的方程；式中 x x 且 y y ，它不能表示倾斜角为 0或 90的直线的方程，但式相对于式更1 2 1 2对称、形式更美观、更整齐，便于记忆.如果把两点式变成(y-y )(x -x )=(x-x )(y -y )，那么就可以用它来求1 2 1 1 2 1过平面上任意两已知点的直线方程.使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式 . 教师引导学生 通过画图、观察和分析，发现当 x =x 时，直线与 x 轴垂直，所以直线方程为 x=x ；当 y =y 时，直线与 y1 2 1 1 2轴垂直，直线方程为 y=y .13 引导学生注意分式的分

45、母需满足的条件.4 使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.教师引导学生分析 题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线 l 的方程？哪种方法更为简捷？然后求出直线方 程.因为直线 l 经过(a，0)和(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得y -0 x -a=b -0 0 -a.就是x y+a b=1.注意：这个方程形式对称、美观,其中 a 是直线与 x 轴交点的横坐标，称 a 为直线在 x 轴上的截距， 简称横截距；b 是直线与 y 轴交点的纵坐标，称 b 为直线在 y 轴上的截距，简称纵截距.因为方程是由直线在 x 轴和 y 轴上的截距确定的，

46、所以方程式叫做直线方程的截距式.5 注意到截距的定义，易知 a、b 表示的截距分别是直线与坐标轴 x 轴交点的横坐标，与 y 轴交点的 纵坐标，而不是距离.6 考虑到分母的原因，截距式不能表示平面坐标系下在 x 轴上或 y 轴上截距为 0 的直线的方程，即过 原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.讨论结果：若 x x 且 y y ,则直线 l 方程为1 2 1 2y -y x -x 1 = 1y -y x -x 2 1 2 1.2 当 x =x 时，直线与 x 轴垂直，直线方程为 x=x ；当 y =y 时，直线与 y 轴垂直，直线方程为 y=y . 1 2 1 1 2 13 倾斜角是 0或

47、90的直线不能用两点式公式表示(因为 x x ,y y ).1 2 1 2x y + =1.a ba、b 表示的截距分别是直线与坐标轴 x 轴交点的横坐标，与 y 轴交点的纵坐标，而不是距离. 截距式不能表示平面坐标系下在 x 轴上或 y 轴上截距为 0 的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.（三）应用示例思路 1例 1 求出下列直线的截距式方程：（1)横截距是 3，纵截距是 5；（2)横截距是 10，纵截距是-7；（3)横截距是-4，纵截距是-8.答案：（1）5x+3y-15=0；（2)7x-10y-70=0；（3）3x+4y+12=0.变式训练已知 abc 的两直角边 a

48、c=3，bc=4，直角顶点 c 在原点，直角边 ac 在 x 轴负方向上，bc 在 y 轴正方向上，求斜边 ab 所在的直线方程.答案：4x-3y+12=0.例 2 如图 1,已知三角形的顶点是 a(5，0)、b(3，3)、c(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程.图 1活动:根据 a、b、c 三点坐标的特征，求 ab 所在的直线的方程应选用两点式；求 bc 所在的直线的 方程应选用斜截式；求 ac 所在的直线的方程应选用截距式.解：ab 所在直线的方程，由两点式,得y -0 x -( -5)=,即 3x+8y+15=0.-3 -0 3 -( -5)bc 所在直线的方程，由斜截式,得 y=

49、-53x+2,即 5x+3y-6=0.ac 所在直线的方程，由截距式,得x y+-5 2=1,即 2x-5y+10=0.变式训练如图 2,已知正方形的边长是 4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直 线的方程.图 2活动 :由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程 .而正方形的对称 轴 pq，mn，x 轴，y 轴则不能用截距式，其中 pq，mn 应选用斜截式；x 轴，y 轴的方程可以直接写出.0解:因为|ab|=4，所以|oa|=|ob|=42=2 2.因此 a、b、c、d 的坐标分别为(22,0)、(0,22)、(-22,0)、(0,-22

50、).所以 ab 所在直线的方程是x2 2+y2 2=1,即 x+y-2 2 =0.bc 所在直线的方程是x-2 2+y2 2=1,即 x-y+22=0.cd 所在直线的方程是x-2 2+7-2 2=1,即 x+y+2 2 =0.da 所在直线的方程是x2 2+7-2 2=1,即 x-y-22=0.对称轴方程分别为 xy=0,x=0,y=0.思路 2例 1 已 abc 的顶点坐标为 a（-1，5）、b（-2，-1）、c（4，3），m 是 bc 边上的中点.（1）求 ab 边所在的直线方程；（2）求中线 am 的长;（3）求 ab 边的高所在直线方程.解：（1）由两点式写方程,得y -5 x +1=-1 -5 -2 +1，即 6x-y+11=0.（2）设 m 的坐标为（x ,y ），则由中点坐标公式,得 x =0 0 0-2 +4 -1 +3 =1,y = =1,2 2故 m（1，1）,am=(1