2021年秋人教版版九年级上册数学教学课件 22.3 实际问题与二次函数（第3课时）

1、2 22 2. .3 3 实际问题实际问题与二次函数与二次函数/ /人教版人教版 数学数学 九九年级年级 上册上册 2 22 2. .3 3 实际问题实际问题与二次函数与二次函数/ / 导入新知导入新知 2 22 2. .3 3 实际问题实际问题与二次函数与二次函数/ / 如如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出 的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型. . x y x y x y （1）y=ax2 （2）y=ax2+k （3）y=a(x-h)2+k （4）y=ax2+bx+c O OO 导入新知导入

2、新知 2 22 2. .3 3 实际问题实际问题与二次函数与二次函数/ / 3.能运用能运用二次函数二次函数的图象与性质进行的图象与性质进行决策决策 1.掌握掌握二次函数模型二次函数模型的建立，会把实际问题转的建立，会把实际问题转 化为二次函数问题化为二次函数问题 2.利用利用二次函数二次函数解决解决拱桥拱桥及运动中的有关问题及运动中的有关问题 素养目标素养目标 2 22 2. .3 3 实际问题实际问题与二次函数与二次函数/ / 如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是 4.9米，水面宽是米，水面宽是4米时，拱顶离水面米时，拱顶

3、离水面2米米.现在想了解水面宽度变化现在想了解水面宽度变化 时，拱顶离水面的高度怎样变化时，拱顶离水面的高度怎样变化你能想出办法来吗？你能想出办法来吗？ 探究新知探究新知 建立平面直角坐标系解答抛物线形问题建立平面直角坐标系解答抛物线形问题知识点 2 22 2. .3 3 实际问题实际问题与二次函数与二次函数/ / 建立函数模型建立函数模型. . 这是什么样的函数呢？这是什么样的函数呢？ 拱桥拱桥的纵截面是抛物线，的纵截面是抛物线， 所以应当是个二次函数所以应当是个二次函数. . 你能想出办法来吗？你能想出办法来吗？ 探究新知探究新知 【合作探究合作探究】 2 22 2. .3 3 实际问题实

4、际问题与二次函数与二次函数/ / 怎样建立直角坐标系比较简单呢？怎样建立直角坐标系比较简单呢？ 以拱顶为原点，抛物线的对称轴以拱顶为原点，抛物线的对称轴 为为y轴，建立直角坐标系，如图轴，建立直角坐标系，如图 从图看出，什么形式的二次函数，它从图看出，什么形式的二次函数，它 的图象是这条抛物线呢？的图象是这条抛物线呢？ 由于顶点坐标系是由于顶点坐标系是（0.0），），因此因此 这个二次函数的形式为这个二次函数的形式为 2 .ya x 探究新知探究新知 2 22 2. .3 3 实际问题实际问题与二次函数与二次函数/ / -2 -4 21 -2 -1 A 如何确定如何确定a是多少？是多少？ 已知

5、水面宽已知水面宽4米时，拱顶离水面米时，拱顶离水面 高高2米，因此点米，因此点A（2，-2）在抛在抛 物线上，由此物线上，由此得出得出 , 因此，因此， ，其中，其中 x是水面宽度的一半，是水面宽度的一半，y是拱顶是拱顶 离水面高度的相反数离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化，这样我们就可以了解到水面宽度变化 时，拱顶离水面高度怎样变化时，拱顶离水面高度怎样变化 2 1 2 yx 2 22a g 1 . 2 a解得解得 探究新知探究新知 x y o 2 22 2. .3 3 实际问题实际问题与二次函数与二次函数/ / 由于拱桥的跨度为由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量米，因此

6、自变量x的取值范围是：的取值范围是： 水面宽水面宽3m时时, 从而从而 因此拱顶离水面高因此拱顶离水面高1.125m. 3 , 2 x 2 139 1.125, 228 y 2.452.45x 现在你能求出水面宽现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？米时，拱顶离水面高多少米吗？ 探究新知探究新知 2 22 2. .3 3 实际问题实际问题与二次函数与二次函数/ / 建立建立二次函数模型解决实际问题的基本二次函数模型解决实际问题的基本步骤步骤 是什么是什么？ 实际 问题 建立二次 函数模型 利用二次函数的图 象和性质求解 实际问题的解 探究新知探究新知 建立二次函数模型解决实际问题建立

7、二次函数模型解决实际问题 2 22 2. .3 3 实际问题实际问题与二次函数与二次函数/ / 例例1 图中是抛物线形拱桥，当水面图中是抛物线形拱桥，当水面在在l 时时，拱顶离水，拱顶离水 面面2m，水面宽，水面宽4m，水面下降，水面下降1m时，水面宽度增加时，水面宽度增加 了多少？了多少？ 建立坐标系解答生活中的抛物线形问题建立坐标系解答生活中的抛物线形问题素养考点素养考点 1 探究新知探究新知 l=4m 2m l=4m 2m 2 22 2. .3 3 实际问题实际问题与二次函数与二次函数/ / 解法一解法一: 如图所示以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为如图所示以抛物线的顶点为原点，以

8、抛物线的对称轴为y轴，建轴，建 立平面直角坐标系立平面直角坐标系. 可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=ax2. 当拱桥离水面当拱桥离水面2m时时,水面宽水面宽4m. 即抛物线过点即抛物线过点(2,-2), 这条抛物线所表示的二次函数为这条抛物线所表示的二次函数为y=-0.5x2 . -2=a22, a=-0.5. 当水面下降当水面下降1m时时,水面的纵坐标为水面的纵坐标为y=-3,这时这时有有 探究新知探究新知 l=4m 2m 2 22 2. .3 3 实际问题实际问题与二次函数与二次函数/ / 解法二解法二: : 如图所示如图所示,以抛物线和

9、水面的两个交点的连线为以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物轴，以抛物 线的对称轴为线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系轴，建立平面直角坐标系. 因此可设这条抛物线所表示因此可设这条抛物线所表示的二次函数的二次函数的解析式为的解析式为:y=ax+2. 此时此时,抛物线的顶点为抛物线的顶点为(0,2) 当拱桥离水面当拱桥离水面2m时时,水面宽水面宽4m, 即即:抛物线过点抛物线过点(2,0), 因此这条抛物线所表示的二次函数为因此这条抛物线所表示的二次函数为:y=-0.5x+2. 当水面下降当水面下降1m时时,水面的纵坐标为水面的纵坐标为y=-1,这时有这时有: 0=a22+2，a=-0.

10、5. 探究新知探究新知 2m l=4m o 2 22 2. .3 3 实际问题实际问题与二次函数与二次函数/ / 解法三解法三: :如图所示如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交轴，以其中的一个交 点点(如左边的点如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系为原点，建立平面直角坐标系. 因此可设这条抛物线所表示的因此可设这条抛物线所表示的二次函数二次函数的解析式为的解析式为y=a(x-2)+2. 抛物线过点抛物线过点(0,0), 0=a(-2)+2. a=-0.5. 因此这条抛物线所表示的二次函数为因此这条抛物线所表示的二次函数为y=-0.5(

11、x-2) +2. 此时此时,抛物线的顶点为抛物线的顶点为(2,2). 探究新知探究新知 2m l=4m o 2 22 2. .3 3 实际问题实际问题与二次函数与二次函数/ / 1.理解问题理解问题; ; 回顾回顾 “ “最大利润最大利润”和和 “ “桥梁建筑桥梁建筑”解决问题的过程解决问题的过程， 你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流. . 2.分析问题中的分析问题中的变量变量和和常量常量, ,以及它们之间的关系；以及它们之间的关系； 3.用数学的方式表示出它们之间的关系用数学的方式表示出它们之间的关系; ; 4.做数学求解做数学求

12、解; ; 5.检验结果的检验结果的合理性合理性. . 【思考思考】“二次函数应用二次函数应用”的思路的思路 探究新知探究新知 2 22 2. .3 3 实际问题实际问题与二次函数与二次函数/ / 有有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20m，拱顶距离水面，拱顶距离水面 4 m如图所示的直角坐标系如图所示的直角坐标系 中，求出这条抛物线表示的函数的解析式中，求出这条抛物线表示的函数的解析式. O A CD B y x 20 m h 解：解：设该拱桥形成的抛物线的设该拱桥形成的抛物线的 解析式为解析式为y=ax2. 该抛物线过该抛物线过(10,-

13、4), -4=100a，a=-0.04. y=-0.04x2 . 巩固练习巩固练习 2 22 2. .3 3 实际问题实际问题与二次函数与二次函数/ / 利用二次函数解决运动中抛物线形问题利用二次函数解决运动中抛物线形问题素养考点素养考点 2 探究新知探究新知 2 22 2. .3 3 实际问题实际问题与二次函数与二次函数/ / 例例2 如如图，一名运动员在距离篮球圈中心图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平（水平 距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮 球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为 2

14、.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m， 如果篮圈中心距离地面如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员，那么篮球在该运动员 出手时的高度是多少米？出手时的高度是多少米？ 探究新知探究新知 2.5m 4m 3.5m 3.05m 2 22 2. .3 3 实际问题实际问题与二次函数与二次函数/ / 解：解：如图，建立直角坐标系如图，建立直角坐标系. 则点则点A的坐标是的坐标是（1.5，3.05），篮球在），篮球在最大高度最大高度 时时的位置为的位置为B（0，3.5）. 以点以点C表示运动员投篮球的出手处表示运动员投篮球的出手处. x y O 设

15、以设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k ， 即即y=ax2+k.而点而点A，B在这条抛物线上，所以有在这条抛物线上，所以有 2.25a+k=3.05， k=3.5， 探究新知探究新知 2 22 2. .3 3 实际问题实际问题与二次函数与二次函数/ / 巩固练习巩固练习 2 22 2. .3 3 实际问题实际问题与二次函数与二次函数/ / x y 巩固练习巩固练习 2 22 2. .3 3 实际问题实际问题与二次函数与二次函数/ / 某某游乐园有一个直径为游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水米的圆形喷水池，喷

16、水池的周边有一圈喷水头，喷出的水 柱为抛物线，在距水池中心柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好米，且各方向喷出的水柱恰好 在喷水池中心的装饰物处汇合如图所示，以水平方向为在喷水池中心的装饰物处汇合如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点轴，喷水池中心为原点 建立直角坐标系建立直角坐标系 （1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； （2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 米的

17、王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ （3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不 变的前提下，把水池的直径扩大到变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的 原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度 连接中考连接中考 2 22 2. .3 3 实际问题实际问题与二次函数与二次函数/ / 解解：（

18、1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x3）2+5 （a0），），将（将（8，0）代入）代入y=a（x3）2+5，得得25a+5=0，解，解得得a=0.2， 水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=0.2（x3）2+5（0 x8） （2）当）当y=1.8时，有时，有0.2（x3）2+5=1.8，解得：，解得：x1=1，x2=7， 因此为了不被淋湿，身高因此为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在米的王师傅站立时必须在离水池中心离水池中心7米以内米以内 （3）当）当x=0

19、时，时，y=0.2（x3）2+5=3.2 设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=0.2x2+bx+3.2， 该函数图象过点（该函数图象过点（16，0），）， 0=0.2162+16b+3.2，解，解得得b=3. 改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y=0.2x2+3x+3.2=0.2（x7.5）2+14.45 扩建改造后喷水池水柱的最大高度为扩建改造后喷水池水柱的最大高度为14.45米米 连接中考连接中考 2 22 2. .3 3 实际问题实际问题与二次函数与

20、二次函数/ / 1. 足球足球被从地面上踢起，它距地面的高度被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可可 用公式用公式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中来表示，其中t(s)表示足球表示足球 被踢出后经过的时间，则球在被踢出后经过的时间，则球在 s后落地后落地.4 2. 如如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面 的高度的高度y(米）关于水平距离米）关于水平距离x(米）的函数解析式米）的函数解析式 为为 ，那么铅球运动过程中那么铅球运动过程中 最高点离地面的距离为最高点离地面的距离为 米米. 2 113 822 yxx x y O 2 课堂检测课堂检测 基

21、础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2 22 2. .3 3 实际问题实际问题与二次函数与二次函数/ / 3. 某某公园草坪的防护栏是由公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成段形状相同的抛物线形组成 的，为了牢固起见，每段护栏需要间距的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢加设一根不锈钢 的支柱，防护栏的最高点距底部的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护（如图），则这条防护 栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ） A.50m B.100m C.160m D.200m C 课堂检测课堂检测 2 22 2. .3 3 实际问

22、题实际问题与二次函数与二次函数/ / 某某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房如图，板房一工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房如图，板房一 面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物，抛物 线拱高为线拱高为5.6m （1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式 课堂检测课堂检测 解解：（1）设抛物线的表达式为）设抛物线的表达式为y=ax2 . 点点B（6，5.6）在抛物线的图象上，）在抛物线的图象上， 5.6=36a， 抛物线的表达式为抛物线的表达式为 7 45 a. 2

23、7 45 yx . 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 2 22 2. .3 3 实际问题实际问题与二次函数与二次函数/ / （2）现需在抛物线）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底的区域内安装几扇窗户，窗户的底 边在边在AB上，每扇窗户宽上，每扇窗户宽1.5m，高，高1.6m，相邻窗户之间的间，相邻窗户之间的间 距均为距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平 距离至少为距离至少为0.8m请计算最多可安装几扇这样的窗户？请计算最多可安装几扇这样的窗户？ 课堂检测课堂检测 （2）设窗户上边所在直线交抛物线于）设窗户上边所在直

24、线交抛物线于C，D两点，两点，D点点 坐标为（坐标为（k，t），），已知窗户已知窗户高高1.6m， t=5.6（1.6）=4. ，解得，解得k= ， 即即k15.07，k25.07 . CD=5.07210.14（m） 设最多可安装设最多可安装n扇窗户，扇窗户， 1.5n+0.8（n1）+0.8210.14，解得，解得n4.06 则最大的正整数为则最大的正整数为4 答：答：最多可安装最多可安装4扇扇窗户窗户. 2 7 4 45 k 6 35 7 解解： 2 22 2. .3 3 实际问题实际问题与二次函数与二次函数/ / 悬索桥悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物两端主塔塔

25、顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物 线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之已知两端主塔之 间的水平距离为间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢主悬钢 索最低点离桥面的高度为索最低点离桥面的高度为0.5 m. (1)若以桥面所在直线为若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平轴，建立平 面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式； y x O -450450 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 2 22 2. .3 3 实际问题实际问题与二次函