1.6,三角函数模型的简单应用

1、1.6三角函数模型的简单应用三角函数模型的简单应用 问题提出问题提出 1.函数 中的参数 对图象有什么影响？三角函数的性质包 括哪些基本内容？ sin()yAx,A 2.我们已经学习了三角函数的概念、图 象与性质，其中周期性是三角函数的一 个显著性质.在现实生活中，如果某种 变化着的现象具有周期性，那么它就可 以借助三角函数来描述，并利用三角函 数的图象和性质解决相应的实际问题. 例例1 如图如图,某地一天从某地一天从614时的温度变化曲线近时的温度变化曲线近 似满足函数似满足函数y=Asin(x+)+b (1)求这一天求这一天614时时的最大温差的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式写

2、出这段曲线的函数解析式. 6 10 14 y T/ x t/h 10 20 30 O 探究一：根据图象建立三角函数关系探究一：根据图象建立三角函数关系 思考思考1 1：这一天614时的 最大温差是多少？ 如图，某地一天从614时 的温度变化曲线近似满足函数: sin()yAxb 思考思考2 2：函数式中A、b的值 分别是多少？ 30-10=20 A=10,b=20 T/ 10 20 30 ot/h6 10 14 sin()yAxb 思考思考3 3：如何确定函数式中 和 的值? 3 , 84 思考思考4 4：这段曲线对应的函数是什么？ 3 10sin()20,6,14. 84 yxx 思考思考5

3、 5：这一天12时的温度大概是多少 （）？ 27.07. T/ 10 20 30 ot/h6 10 14 解解:(1)最大温差是最大温差是20 (2)从从614时的图象是函数时的图象是函数y=Asin(x+)+b的的 半个周期的图象半个周期的图象 6 10 14 y T/ x t/h 10 20 30 O 1 30 1010 2 A 1 30 1020 2 b 12 146 2 8 将将x=6,y=10代入上式代入上式,解得解得 3 4 3 10sin20,6,14 84 yxx 所求出的函数模型只能所求出的函数模型只能 近似刻画这天某个时段近似刻画这天某个时段 温度变化温度变化,因此应当特别

4、因此应当特别 注意自变量的变化范围注意自变量的变化范围 所以所以 总结：已知函数图像总结：已知函数图像 mma ax xmmi in n 1 1 A A = =f f x x- -f f x x 2 2 maxminmaxmin 1 1 b=f x+f xb=f x+f x 2 2 利利用用求求得得 2 2 T T = =， 利利用用最最低低点点或或最最高高点点在在图图象象上上 该该点点的的坐坐标标满满足足函函数数解解析析式式可可求求得得 , , 也可以利用函数的零值点来求也可以利用函数的零值点来求 f求函数的方法：( (x x) )= = A As si in n( ( x x+ + ) )

5、+ +b b 例例2 画出函数画出函数y=|sinx|的图象并观察其周期的图象并观察其周期. x y -1 1 O 2 2 2 2 y=|sinx| 解解 周期为周期为 验证验证:|sin(x+)|=|-sinx|=|sinx| 探究二：根据解析式模型建立图象模型探究二：根据解析式模型建立图象模型 利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得 对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用 方法。显然，函数y=|sinx|与正弦函数有紧密的 联系，你能利用这种联系说说它的图象的作法 吗？ 正弦函数正弦函数y=sinx的图象保留的图象保留x轴上方部分，将轴上方部分，将x 轴下方部分翻折到轴下方部分翻折到x

6、轴上方，得到轴上方，得到y=|sinx|的图象的图象 总结：总结： - 太阳光太阳光 例例3 如图如图,设地球表面某地正午太阳高度角为设地球表面某地正午太阳高度角为,为此为此 时太阳直射纬度时太阳直射纬度,为该地的纬度值为该地的纬度值,那么这三个量之间那么这三个量之间 的关系是的关系是=90-|-|.当地夏半年当地夏半年取正值取正值,冬半年冬半年负负 值值. 如果在北京地区如果在北京地区(纬度数约为北纬纬度数约为北纬40)的一幢高的一幢高 为为h0的楼房北面盖一新楼的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全要使新楼一层正午的太阳全 年不被前面的楼房遮挡年不被前面的楼房遮挡,两两 楼的距离不应

7、小于多少楼的距离不应小于多少? 课件演示 探究三：建立三角函数模型求临界值探究三：建立三角函数模型求临界值 背景知识介绍 太阳直射角为： 太阳高度角为： |90 太阳光太阳光 90 90 |90 |90 地心地心 北半球北半球 南半球南半球 M 0北半球： (地球表面某地地球表面某地M处处) 纬度值为： 那么这三个量之间的那么这三个量之间的 关系是关系是: 太阳光直射南半球太阳光直射南半球 0 太阳光太阳光 90 |90 地心地心 分析：分析：太阳高度角太阳高度角 、楼高、楼高h0与此时楼房在地面的投影与此时楼房在地面的投影 长长h之间的有如下关系：之间的有如下关系：h0=htan 23 26

8、 23 26 0 40M h CBA 根据地理知识，在北京地区，太阳直身北回归线时物根据地理知识，在北京地区，太阳直身北回归线时物 体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长. 考虑考虑 太阳太阳 直射直射 南回南回 归线归线 解解: :取太阳直射南回归线的情况考虑取太阳直射南回归线的情况考虑, ,此时太阳直射纬此时太阳直射纬 度为度为-23-2326,26,依题意两楼的间距应不小于依题意两楼的间距应不小于MC.MC. 根据太阳高度角的定义根据太阳高度角的定义, ,有有 ,432662234090 C 0 00 000. 2 4326tantan h

9、h C h MC 所以 即在盖楼时即在盖楼时, ,为使后楼不被前楼遮挡为使后楼不被前楼遮挡, ,要留出相当要留出相当 于楼高两倍的间距于楼高两倍的间距 例例4 4 海水受日月的引力海水受日月的引力, ,在一定的时候发生涨落的现象在一定的时候发生涨落的现象 叫潮叫潮. .一般地一般地, ,早潮叫潮早潮叫潮, ,晚潮叫汐晚潮叫汐. .在通常情况下在通常情况下, ,船在船在 涨潮时驶进航道涨潮时驶进航道, ,靠近码头靠近码头; ;卸货后卸货后, ,在落潮时返回海洋在落潮时返回海洋. . 下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表: : 时刻水深/米时刻水深/

10、米时刻水深/米 0:005.09:002.518:005.0 3:007.512:005.021:002.5 6:005.015:007.524:005.0 探究四：探究四：根据相关数据进行三角函数拟合根据相关数据进行三角函数拟合 (1)(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的 函数关系函数关系, ,给出整点时的水深的近似数值给出整点时的水深的近似数值( (精确到精确到0.001).0.001). (2)(2)一条货船的吃水深度一条货船的吃水深度( (船底与水面的距离船底与水面的距离) )为为4 4米米, ,安安 全条例规定至少要有全条例规

11、定至少要有1.51.5米的安全间隙米的安全间隙 ( (船底与洋底的船底与洋底的 距离距离),),该船何时能进入港口该船何时能进入港口? ?在港口能呆多久在港口能呆多久? ? (3)(3)若某船的吃水深度为若某船的吃水深度为4 4米米. .安全间隙为安全间隙为1.51.5米米, ,该船在该船在 2:002:00开始卸货开始卸货, ,吃水深度以每小时吃水深度以每小时0.30.3米的速度减少米的速度减少, ,那那 么该船在什么时间必须停止卸货么该船在什么时间必须停止卸货, ,将船驶向较深的水域将船驶向较深的水域? ? 课件演示 问题问题1：观察上表的数据，你发现了：观察上表的数据，你发现了 什么规律

12、？什么规律？ 问题问题3：能根据函数模型求整点时的水深：能根据函数模型求整点时的水深 吗？吗？ 问题问题2：根据数据作出散点图：根据数据作出散点图. 观察图形，观察图形， 你认为可以用怎样的函数模型刻你认为可以用怎样的函数模型刻 画其中的规律？画其中的规律？ 从数据列表描点可以得图像为：从数据列表描点可以得图像为： 时刻时刻 0.001：002： 00 3：004：005：006：007：008：009：00 10：0011：00 水深水深 5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754 时刻时刻 12.00 13：00

13、14：0015：0016：0017：0018：0019：0020：0021：0022：0023：00 水深水深 5.000 6.2507.165 7.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754 3 6 9 12 15 18 21 24Ox y 6 4 2 x y O36912151821 24 2 4 6 解：以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在直角坐标系中解：以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在直角坐标系中 描出各点，并用平滑的曲线连接。根据图象，可以考虑用描出各点，并用平滑的曲线连接。根据图象，可以考虑用 函数函数 刻画水深与时间的关系。刻画水深与时

14、间的关系。 hxAy)sin( 解解:(1):(1)以时间为横坐标以时间为横坐标, ,水深为纵坐标水深为纵坐标, ,在直角在直角 坐标系中画出散点图坐标系中画出散点图 3 6 9 12 15 18 21 24Ox y 6 4 2 根据图象根据图象,可以考虑用函数可以考虑用函数y=Asin( x+ )+h刻画水深与题意之间的对刻画水深与题意之间的对 应关系应关系. A=2.5,h=5,T=12, =0 . 6 12, 2 T 得由 所以所以,港口的水深与时间的关系可用港口的水深与时间的关系可用 近似描述近似描述. 5 6 sin5 . 2xy （2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为一条货

15、船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，米， 安全条例规定至少要有安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距米的安全间隙（船底与洋底的距 离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ x y O36 912 151821 24 2 4 6 5 . 5y 时刻时刻0:001:002:003:004:005:006:007:008:009:00 10:00 11:00 水深水深 5.000 6.250 7.1657.57.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 时刻时刻 12:00 13:00

16、14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 水深水深 5.000 6.250 7.1657.57.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 5 6 sin5 . 2xy 由由得到港口在整点时水深的近似值得到港口在整点时水深的近似值: : 货船需要的安全水深为4+1.5=5.5(米),所以当y5.5时就可以进港 . 5 . 55 6 sin5 . 2x 2 . 0 6 sinx 由计算器可得 SHIFTsin-1 MODEMODE 2 0.2 = 0.201357920.

17、2014 A BCD y=5.5 y Ox 51015 2 4 6 8 2.5sin5 6 yx 因此 有两个交点的图象与直线函数内在区间 B,A, 5 . 55 6 sin5 . 2,0,12yxy 2014. 0 6 -,2014. 0 6 或x 6152. 5,3848. 0 BA xx 6152.176152. 512 ,3848.123848. 012 : D C x x 由函数的周期性易得 因此因此, ,货船可以在货船可以在0 0时时3030分左右进港分左右进港, ,早晨早晨5 5时时3030分左右出港分左右出港; ;或或 在中午在中午1212时时3030分左右进港分左右进港, ,

18、下午下午1717时时3030分左右出港分左右出港. .每次可以每次可以 在港口停留在港口停留5 5小时左右小时左右. . （3）若某船的吃水深度为若某船的吃水深度为4米，安全间隙为米，安全间隙为1.5米，该船在米，该船在 2：00开始卸货，吃水深度以每小时开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么米的速度减少，那么 该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域。该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域。 x y O 3 691215 2 4 6 2 )2( 3 . 05 . 5xy O 2 4 6 8 10 x y 8 6 4 2 2.5sin5 6 yx 5.50.32yx P (3)设在时刻设在时刻x货船的安全水深为货船的安全水深为y,那么那么y=5.5-0.3(x-2)(x2).在同在同 一坐标系内作出这两个函数一坐标系内作出这两个函