12-1常数项级数的概念与性质

1、1 无穷级数 无穷级数无穷级数 无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具 表示函数表示函数 研究性质研究性质 数值计算数值计算 数项级数数项级数 幂级数幂级数 傅氏级数傅氏级数 第十二章 无穷级数2 常数项级数常数项级数 的概念与性质的概念与性质 3 一、问题的提出 1. 1. 计算圆的面积计算圆的面积 R 正六边形的面积正六边形的面积 正十二边形的面积正十二边形的面积 1 a 21 aa 正正 形的面积形的面积 n 23 n aaa 21 n aaaA 21 即即 n 10 3 1000 3 100 3 10 3 3 1 . 2 4 二、级数的概念 1. 1. 级数的定义级数的定义:

2、 : n n n uuuuu 321 1 (常数项常数项)无穷级数无穷级数 一般项一般项 部分和数列部分和数列 n i inn uuuus 1 21 级数的部分和级数的部分和 , 11 us , 212 uus , 3213 uuus , 21nn uuus 5 2. 2. 级数的收敛与发散级数的收敛与发散: : 如果如果 n s没有极限没有极限, ,则称无穷级数则称无穷级数 1n n u发散发散. . 6 即即 常常数数项项级级数数收收敛敛( (发发散散) ) n n s lim存存在在( (不不存存在在) ) 余项余项 nn ssr 21nn uu 1i in u 即即 ssn 误误差差为

3、为 n r)0lim( n n r 无穷级数收敛性举例：无穷级数收敛性举例：KochKoch雪花雪花. . 做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的称的产生边长为原边长的1/31/3的小正三角形如此的小正三角形如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形了面积有限而周长无限的图形“Koch“Koch雪花雪花” 7 观察雪花分形过程观察雪花分形过程 第一次分叉：第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 112 12 AAA PP 面积为面积为 周长为周长为

4、 依次类推依次类推 ; 4 3 , 3 1 1 A P 面积为面积为 周长为周长为 设三角形设三角形 8 观察雪花分形过程观察雪花分形过程 第一次分叉：第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 112 12 AAA PP 面积为面积为 周长为周长为 依次类推依次类推 ; 4 3 , 3 1 1 A P 面积为面积为 周长为周长为 设三角形设三角形 9 观察雪花分形过程观察雪花分形过程 第一次分叉：第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 112 12 AAA PP 面积为面积为 周长为周长为 依次类推依次类推 ; 4 3 , 3 1 1 A P 面积为面积为 周长为周长为 设三角形设三角形 1

5、0 观察雪花分形过程观察雪花分形过程 第一次分叉：第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 112 12 AAA PP 面积为面积为 周长为周长为 依次类推依次类推 ; 4 3 , 3 1 1 A P 面积为面积为 周长为周长为 设三角形设三角形 11 观察雪花分形过程观察雪花分形过程 第一次分叉：第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 112 12 AAA PP 面积为面积为 周长为周长为 依次类推依次类推 ; 4 3 , 3 1 1 A P 面积为面积为 周长为周长为 设三角形设三角形 12 观察雪花分形过程观察雪花分形过程 第一次分叉：第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 112

6、12 AAA PP 面积为面积为 周长为周长为 依次类推依次类推 ; 4 3 , 3 1 1 A P 面积为面积为 周长为周长为 设三角形设三角形 13 , 2 , 1) 3 4 ( 1 1 nPP n n ) 9 1 (43 1 12 1 AAA nn nn 1 12 1 2 11 ) 9 1 (43) 9 1 (43 9 1 3AAAA nn , 3 , 2 n 周长为周长为 面积为面积为 ) 9 4 ( 3 1 ) 9 4 ( 3 1 ) 9 4 ( 3 1 3 1 1 22 1 n A 第第 次分叉：次分叉：n 14 于是有于是有 n n Plim ) 9 4 1 3 1 1(lim

7、1 AAn n . 5 32 ) 5 3 1( 1 A 结论：雪花的周长是无界的，而面积有界结论：雪花的周长是无界的，而面积有界 雪花的面积存在极限（收敛）雪花的面积存在极限（收敛） 15 例例 1 1 讨讨论论等等比比级级数数( (几几何何级级数数) ) n n n aqaqaqaaq 2 0 )0( a 的的收收敛敛性性. . 解解 时时如如果果1 q 12 n n aqaqaqas q aqa n 1 , 11q aq q a n 16 ,1时时当当 q0lim n n q q a sn n 1 lim ,1时时当当 q n n qlim n n slim 收敛收敛 发散发散 时时如如果

8、果1 q ,1时时当当 q ,1时时当当 q nasn 发散发散 aaaa级级数数变变为为 不不存存在在 n n s lim 发散发散 综上综上 发发散散时时当当 收收敛敛时时当当 ,1 ,1 0 q q aq n n 17 例例 2 2 判判别别无无穷穷级级数数 )12()12( 1 53 1 31 1 nn 的的收收敛敛性性. . 解解 )12)(12( 1 nn un), 12 1 12 1 ( 2 1 nn )12()12( 1 53 1 31 1 nn sn ) 12 1 12 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 3 1 1( 2 1 nn 18 ) 12 1 1(

9、2 1 limlim n s n n n ), 12 1 1( 2 1 n , 2 1 . 2 1 , 和和为为级级数数收收敛敛 技巧技巧: 利用 “拆项相消拆项相消” 求 和 19 三、基本性质 性质性质 1 1 如果级数如果级数 1n n u收敛收敛, ,则则 1n n ku亦收敛亦收敛. . 结论结论: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, , 敛散性不变敛散性不变. . 结论结论: : 收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. . 20 性性质质 3 3 若若级级数数 1n n u收收敛敛, ,则则 1kn n u也也收收敛敛 )

10、1( k. .且且其其逆逆亦亦真真. . 证明证明 nkkk uuu 21 nkkkn uuu 21 , kkn ss k n kn n n n ss limlimlim 则则 . k ss 类似地可以证明在级数前面加上有限项不类似地可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性影响级数的敛散性. 21 性性质质 4 4 收收敛敛级级数数加加括括弧弧后后所所成成的的级级数数仍仍然然收收敛敛 于于原原来来的的和和. . 证明证明 )()( 54321 uuuuu , 21 s .limlimssn n m m 则则 , 52 s , 93 s , nm s 22 注意注意 收敛级数去括弧后所成

11、的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. )11()11(例例如如 1111 推论推论 如果加括弧后所成的级数发散如果加括弧后所成的级数发散, ,则原来级则原来级 数也发散数也发散. . 收敛收敛 发散发散 23 四、收敛的必要条件 级级数数收收敛敛. 0lim n n u 证明证明 1n n us, 1 nnn ssu则则 1 limlimlim n n n n n n ssu ss . 0 即即趋趋于于零零它它的的一一般般项项无无限限增增大大时时当当, n un 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件: : 24 注意注意 1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于

12、零, ,则级数发散则级数发散; ; 1 )1( 4 3 3 2 2 1 1 n n n 例例如如 发散发散 2.2.必要条件不充分必要条件不充分. . ?, 0lim但级数是否收敛但级数是否收敛有有 n n u n 1 3 1 2 1 1例例如如调调和和级级数数 25 讨论讨论 nnn ss nn 2 1 2 1 1 1 2 , 2 1 2 n n .,s其其和和为为假假设设调调和和级级数数收收敛敛 )lim( 2nn n ss 于于是是ss , 0 .级数发散级数发散 )( 2 1 0 n便便有有.这这是是不不可可能能的的 26 ) 2 1 22 1 12 1 ( ) 16 1 10 1 9 1 () 8 1 7 1 6 1 5 1 () 4 1 3 1 () 2 1 1( 1mmm 8项 4项 2项 2项 项 m 2 2 1 每每项项均均大大于于 2 1 )1(1 mm项大于项大于即前即前 .级级数数发发散散 由性质由性质4 4推论推论, ,调和级数发散调和级数发散. . 27 五、小结 1 1. .由由定定义义, ,若若ssn, ,则则级级数数收收敛敛; ; 2.2.当当0lim n n u, ,则级数发散则级数发散;