大学物理学课件3

1、第第3章章 动量守恒与机械能守恒动量守恒与机械能守恒 本章学习要点本章学习要点 l动量定理和动量守恒定律动量定理和动量守恒定律 l功和动能定理功和动能定理 l势能势能 l功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 l本章小结本章小结 3.1 动量定理和动量守恒定律动量定理和动量守恒定律 3.1.1 质点的动量和动量定理质点的动量和动量定理 1动量动量 质点的质量质点的质量m与其速度与其速度v的乘积称为质点的动量，用的乘积称为质点的动量，用p表表 示，即示，即 vpm tt m d d d )(dpv F 动量是矢量，其方向与速度动量是矢量，其方向与速度v的方向相同。在国际单位制的方向相同

2、。在国际单位制 中，动量的单位为中，动量的单位为kgm/s。 根据质点动量的定义，牛顿第二定律可表示为：根据质点动量的定义，牛顿第二定律可表示为： 上式说明，物体的动量对时间的变化率等于物体所受的上式说明，物体的动量对时间的变化率等于物体所受的 合外力，这是牛顿第二定律更普遍的表述形式。合外力，这是牛顿第二定律更普遍的表述形式。 2冲量冲量 pFdd t 上式表示，在上式表示，在dt时间内质点动量的改变量时间内质点动量的改变量dp等于等于F与与dt的的 乘积。如果力乘积。如果力F持续地从持续地从t0时刻作用到时刻作用到t时刻，设时刻，设t0时刻质点的动时刻质点的动 量为量为p0，t时刻质点的动

3、量为时刻质点的动量为p，则对上式积分，可求出这段时，则对上式积分，可求出这段时 间内，力间内，力F的持续作用效果，即的持续作用效果，即 0 00 ddpppF p p t t t 上式中左边的积分表示力对时间的持续作用效果，称为冲上式中左边的积分表示力对时间的持续作用效果，称为冲 量，用量，用I表示，即表示，即 t t t 0 dFI 若在若在t0t时间内，时间内，F为恒力，则上式可写为：为恒力，则上式可写为： ttt)( 0 FFI 若若F为变力，则可用一个不变的平均冲力为变力，则可用一个不变的平均冲力 来代替变力，在来代替变力，在 不改变冲量大小的情况下，使问题简化，此时不改变冲量大小的情

4、况下，使问题简化，此时 F t t tt 0 dFF 冲量是矢量，其方向与动量的增量方向相同。在国际单位冲量是矢量，其方向与动量的增量方向相同。在国际单位 制中，冲量的单位为制中，冲量的单位为Ns。 冲量是描述力的时间积累效应的物理量，是过程量；而动冲量是描述力的时间积累效应的物理量，是过程量；而动 量是描述质点或质点系运动状态的物理量，是状态量。量是描述质点或质点系运动状态的物理量，是状态量。 3质点的动量定理质点的动量定理 0 ppI 上式称为上式称为质点的动量定理质点的动量定理，它表明，作用于质点的合外，它表明，作用于质点的合外 力的冲量等于质点动量的增量。力的冲量等于质点动量的增量。

5、动量定理描述了力对时间的积累效应，它给出了过程量动量定理描述了力对时间的积累效应，它给出了过程量 （冲量（冲量I）与该过程初、末状态的状态量（动量）与该过程初、末状态的状态量（动量p0和和p）之间）之间 的定量关系。的定量关系。 由动量定理可知，在相等的冲量作用下，不同质量的物由动量定理可知，在相等的冲量作用下，不同质量的物 体，其速度变化是不同的，但其动量变化却是相同的。所以体，其速度变化是不同的，但其动量变化却是相同的。所以 ，从过程的角度看，动量，从过程的角度看，动量p比速度比速度v更能恰当地反映物体的运更能恰当地反映物体的运 动状态。因此，描述物体做机械运动的状态参量，用动量动状态。因

6、此，描述物体做机械运动的状态参量，用动量p比比 用速度用速度v更准确些。更准确些。 上式为矢量式，它在直角坐标系中的分量式为：上式为矢量式，它在直角坐标系中的分量式为： 2 1 2 1 2 1 12 12 12 d d d t t zzzz t t yyyy t t xxxx mvmvt mvmvt mvmvt FI FI FI 【例例3-1】如下图所示，质量如下图所示，质量m0.15kg的小球以的小球以v0 10m/s的速度射向光滑地面，入射角的速度射向光滑地面，入射角130，然后沿，然后沿2 60的反射角方向弹出。设碰撞时间的反射角方向弹出。设碰撞时间t0.01s，计算小球对，计算小球对

7、地面的平均冲力。地面的平均冲力。 【解解】选小球为研究对象。因地面光选小球为研究对象。因地面光 滑，碰撞时小球在水平方向上不受作用力滑，碰撞时小球在水平方向上不受作用力 ，地面对小球的作用力沿法线方向竖直向，地面对小球的作用力沿法线方向竖直向 上。设地面对小球的平均冲力为上。设地面对小球的平均冲力为 ，碰后，碰后 小球速度为小球速度为v。建立坐标系如右图所示，。建立坐标系如右图所示， 根据质点的动量定理有：根据质点的动量定理有： F 102 sinsin0mvmvI x )cos(cos)( 102 mvmvtmgFI y 解得：解得： 2 1 0 sin sin vv mg t mv F 2

8、 210 sin )sin( 代入数据得：代入数据得： N1758 . 915. 0 60sin01. 0 )6030sin(1015. 0 F 小球对地面的平均冲力是的反作用力，其大小为小球对地面的平均冲力是的反作用力，其大小为175N， 方向与相反，沿法线方向竖直向下。方向与相反，沿法线方向竖直向下。 3.1.2 质点系的动量定理质点系的动量定理 在研究多个有相互作用的物体的运动情况时，可以把这些在研究多个有相互作用的物体的运动情况时，可以把这些 物体作为整体系统来研究，称为物体作为整体系统来研究，称为物体系物体系。若其中的每一个物体。若其中的每一个物体 都能抽象为质点，则该物体系就可以抽

9、象为都能抽象为质点，则该物体系就可以抽象为质点系质点系。在一个由。在一个由 质点系构成的力学系统中，我们把系统外的物体对系统内各质质点系构成的力学系统中，我们把系统外的物体对系统内各质 点的作用力称为点的作用力称为外力外力；把系统内各质点间的相互作用力称为；把系统内各质点间的相互作用力称为内内 力力。 如右图所示，两质点的质量分别为如右图所示，两质点的质量分别为m1和和 m2，在，在t1到到t2时间内，除有相互作用的内力为时间内，除有相互作用的内力为 f12和和f21外，它们还分别受到外力外，它们还分别受到外力F1和和F2的作的作 用，其速度分别从用，其速度分别从v10和和v20变为变为v1和

10、和v2。分别。分别 对两质点应用动量定理，有：对两质点应用动量定理，有： 10111 121 d )( 2 1 vvfFmmt t t 20222 212 d )( 2 1 vvfFmmt t t 将上述两式相加，并注意到将上述两式相加，并注意到f12f21（牛顿第三定律），（牛顿第三定律）， 可得：可得： )()(d )( 2021012211 21 2 1 vvvvFFmmmmt t t 把上式推广到由把上式推广到由n个质点组成的质点系，则有：个质点组成的质点系，则有： n i i n i i n i ii n i ii t t n i i mmt 1 0 11 0 1 1 d 2 1 p

11、pvvF 上式称为上式称为质点系的动量定理质点系的动量定理，它表明，作用于系统的合外，它表明，作用于系统的合外 力的冲量等于系统动量的增量。力的冲量等于系统动量的增量。 从上面的讨论可知，系统的内力可以改变系统内单个质点从上面的讨论可知，系统的内力可以改变系统内单个质点 的动量，但不能改变整个系统的动量。的动量，但不能改变整个系统的动量。 3.1.3 动量守恒定律动量守恒定律 若质点系的合外力为零，即若质点系的合外力为零，即 0 1 n i i F 则则 恒矢量 n i ii m 1 vp 上式表明，在一个力学系统中，当系统所受合外力为上式表明，在一个力学系统中，当系统所受合外力为 零时，系统

12、的总动量将保持不变。这一规律称为动量守恒零时，系统的总动量将保持不变。这一规律称为动量守恒 定律。定律。 应用动量守恒定律时应注意以下几点。应用动量守恒定律时应注意以下几点。 1系统动量守恒的条件是所有外力的矢量和为零。显系统动量守恒的条件是所有外力的矢量和为零。显 然，完全不受外力的孤立系统满足这个条件，所以，孤立系然，完全不受外力的孤立系统满足这个条件，所以，孤立系 统的动量守恒。统的动量守恒。 2在某些实际问题（如碰撞、爆炸、冲击等）中，系在某些实际问题（如碰撞、爆炸、冲击等）中，系 统所受合外力虽然不为零，但与系统的内力相比，合外力远统所受合外力虽然不为零，但与系统的内力相比，合外力远

13、 远小于内力，此时可以忽略合外力，认为系统的动量守恒。远小于内力，此时可以忽略合外力，认为系统的动量守恒。 3动量守恒为矢量守恒，具体运用时可用直角坐标系动量守恒为矢量守恒，具体运用时可用直角坐标系 下的分量式表示。若系统所受合外力的矢量和不为零，但合下的分量式表示。若系统所受合外力的矢量和不为零，但合 外力在某个方向上的分量为零，此时，虽然系统的总动量不外力在某个方向上的分量为零，此时，虽然系统的总动量不 守恒，但系统总动量在该方向上的分量却是守恒的。守恒，但系统总动量在该方向上的分量却是守恒的。 4动量守恒定律只适用于惯性系，定律中各物体的动量动量守恒定律只适用于惯性系，定律中各物体的动量

14、 都是对同一惯性系而言的。都是对同一惯性系而言的。 5物体所受外力的矢量和为零时，虽然系统的总动量不物体所受外力的矢量和为零时，虽然系统的总动量不 变，但由于系统各物体间的内力作用，各物体的动量大小和变，但由于系统各物体间的内力作用，各物体的动量大小和 方向都可能发生变化。方向都可能发生变化。 动量守恒定律是从牛顿运动定律中导出的，但牛顿运动动量守恒定律是从牛顿运动定律中导出的，但牛顿运动 定律只适用于宏观物体做低速运动的情况，而动量守恒定律定律只适用于宏观物体做低速运动的情况，而动量守恒定律 适用的质点系范围，则大到天体、宇宙，小到质子、中子等适用的质点系范围，则大到天体、宇宙，小到质子、中

15、子等 微观粒子。因此，动量守恒定律是自然界中最普遍、最基本微观粒子。因此，动量守恒定律是自然界中最普遍、最基本 的定律之一。的定律之一。 【例例3-2】如下图所示，水平光滑轨道上有长为如下图所示，水平光滑轨道上有长为l、质量为、质量为 m2的平板车，质量为的平板车，质量为m1的人站在车的一端。起初，人和车都静的人站在车的一端。起初，人和车都静 止。当人从车的一端走向另一端时，人和车相对地面各自的位止。当人从车的一端走向另一端时，人和车相对地面各自的位 移是多少？移是多少？ 【解解】选人和车组成的系统为研究对象，因系统在水平方选人和车组成的系统为研究对象，因系统在水平方 向不受外力，故在水平方向

16、系统的动量守恒。以人行走方向为向不受外力，故在水平方向系统的动量守恒。以人行走方向为x 轴正向，设轴正向，设v1和和v2分别为某时刻人和车相对地面的速度，根据动分别为某时刻人和车相对地面的速度，根据动 量守恒定律有：量守恒定律有： 0 2211 vmvm 设设u为人相对车的速度，由相对运动关系可知：为人相对车的速度，由相对运动关系可知： 21 vuv 则则 0)( 2221 vmvum 解得：解得： 21 1 2 mm um v 21 2 1 mm um v v2为负，表示车的运动方向沿为负，表示车的运动方向沿x轴负向。轴负向。 人在人在t0t时间内，以速度时间内，以速度u从车的一端走到另一端

17、，人相从车的一端走到另一端，人相 对车的位移为对车的位移为l。设在此时间内，人和车相对地面的位移分别。设在此时间内，人和车相对地面的位移分别 为为x1和和x2，则，则 l mm m tu mm m t mm um tvx t t t t t t 21 2 21 2 21 2 11 000 ddd l mm m tu mm m t mm um tvx t t t t t t 21 1 21 1 21 1 22 000 ddd x2为负，表示车相对地面的位移沿为负，表示车相对地面的位移沿x轴负向，即与人行走轴负向，即与人行走 的方向相反。的方向相反。 3.2 功和动能定理功和动能定理 3.2.1

18、功功 1恒力的功恒力的功 如下图所示，质点在恒力如下图所示，质点在恒力F的作用下沿直线运动，其位移的作用下沿直线运动，其位移 为为r，F与与r的夹角为的夹角为。则质点所受的力与其位移的标积称为。则质点所受的力与其位移的标积称为 功，用功，用W表示，即表示，即 cosWF rFr 功是标量，只有大小，没有方向，但有正负之分。当功是标量，只有大小，没有方向，但有正负之分。当0 /2时，时，W0，表示力对质点做正功；当，表示力对质点做正功；当/2时，时，W0 ，表示力对质点做负功，即物体克服外力做功；当，表示力对质点做负功，即物体克服外力做功；当/2时，时， W0，表示力与质点位移方向相互垂直时不做

19、功。，表示力与质点位移方向相互垂直时不做功。 在国际单位制中，功的单位为焦耳（在国际单位制中，功的单位为焦耳（J），），1J1Nm。 2变力的功变力的功 实际问题中，力的大小和方向往往是变化的，质点的运动实际问题中，力的大小和方向往往是变化的，质点的运动 轨道通常为曲线。如下图所示，质点在变力轨道通常为曲线。如下图所示，质点在变力F的作用下沿曲线的作用下沿曲线 AB由由A运动到运动到B。 为了计算这一过程中变力所做的功，可把曲为了计算这一过程中变力所做的功，可把曲 线运动的整个路径分成许多微小的位移单元（位线运动的整个路径分成许多微小的位移单元（位 移元），使得作用在任意位移元移元），使得作用

20、在任意位移元dr上的力可视为上的力可视为 恒力。这样，在位移元恒力。这样，在位移元dr中，力对质点所做的功中，力对质点所做的功 （元功）为：（元功）为： ddW Fr 质点沿路径质点沿路径AB由由A运动到运动到B时，力时，力F所做的总功应等于力在所做的总功应等于力在 每段位移元上所做元功的总和，即每段位移元上所做元功的总和，即 ddcos d BBB AAA WWFr Fr 上式即为变力做功的表达式。上式即为变力做功的表达式。 在直角坐标系中，也可写为：在直角坐标系中，也可写为： d(ddd ) BB xyz AA WF x FyF z Fr 若有几个力若有几个力F1、F2、Fn同时作用在质点

21、上，则它们同时作用在质点上，则它们 的合力的合力F的功为：的功为： 1212 d() d nn WWWW FrFFFr 上式表明，合力所做的功等于各分力做功的代数和。上式表明，合力所做的功等于各分力做功的代数和。 【例例3-3】如下图所示，一轻绳跨过无摩擦的滑轮，系在如下图所示，一轻绳跨过无摩擦的滑轮，系在 质量为质量为m的物体上，用大小不变的力的物体上，用大小不变的力F作用于绳的另一端，使作用于绳的另一端，使 物体向右运动。已知滑轮顶比物体所在平面高物体向右运动。已知滑轮顶比物体所在平面高h，不计物体，不计物体 本身的高度和滑轮质量。当物体在水平面从本身的高度和滑轮质量。当物体在水平面从A移

22、到移到B时，求力时，求力 对物体所做的功。对物体所做的功。 【解解】如上图所示，建立如上图所示，建立Ox坐标轴。设物体在坐标轴。设物体在A点的位置点的位置 坐标为坐标为x1，在，在B点的位置坐标为点的位置坐标为x2。因不计绳和滑轮的质量，。因不计绳和滑轮的质量， 绳端作用于物体上拉力的大小为绳端作用于物体上拉力的大小为F，方向沿绳拉物体的方向。，方向沿绳拉物体的方向。 当物体处在任一点当物体处在任一点x时，拉力在时，拉力在x轴上的分量为：轴上的分量为： 22 cos xh x FFFx 当物体位移为当物体位移为dx时，力的元功为：时，力的元功为： x xh x FWdd 22 物体从物体从x1

23、运动到运动到x2时，拉力做功为：时，拉力做功为： )(dd 2 2 22 1 2 22 2 1 xhxhFx xh x FWW x x B A 因因x1x2，故拉力对物体做正功。，故拉力对物体做正功。 3.2.2 功率功率 P 为了描述做功的快慢，引入了功率的概念。若在为了描述做功的快慢，引入了功率的概念。若在t时间内时间内 力做功为力做功为W，则力在，则力在t时间内的平均功率时间内的平均功率 为：为： t W P t0时，平均功率的极限值称为瞬时功率时，平均功率的极限值称为瞬时功率P，简称功率，简称功率， 即即 0 dd limcos dd t WW PFv ttt r FFv 上式表明，功

24、率为力与质点速度的标积。这一点有很重要上式表明，功率为力与质点速度的标积。这一点有很重要 的实用价值，一般机器都有额定功率，由上式可知，在额定功的实用价值，一般机器都有额定功率，由上式可知，在额定功 率下，机器提供的力越大，其速度就会越小，汽车在行驶过程率下，机器提供的力越大，其速度就会越小，汽车在行驶过程 中常常需要换挡依据的就是这个原理。中常常需要换挡依据的就是这个原理。 在国际单位制中，功率的单位为瓦特（在国际单位制中，功率的单位为瓦特（W），），1W1J/s。 3.2.3 质点的动能定理质点的动能定理 如下图所示，质量为如下图所示，质量为m的质点在合外力的质点在合外力F的作用下，沿的作

25、用下，沿 曲线从曲线从A点运动到点运动到B点，其速度从点，其速度从vA变为变为vB。设作用在位移。设作用在位移 元元dr上的合外力上的合外力F与与dr之间的夹角为之间的夹角为，则合外力，则合外力F对质点所对质点所 做的元功为：做的元功为： ddcos dWFrFr 由牛顿第二定律及切向加速度由牛顿第二定律及切向加速度a的定义可得：的定义可得： t v mmaF d d cos 则则 d ddcos ddd d v WFrmrmv v t Fr 于是，质点从于是，质点从A点运动到点运动到B点的过程中，合外力所做的点的过程中，合外力所做的 总功为：总功为： 2 2 2 1 2 1 dd B v v

26、 A B A mvmvvmvWW B A 上式中，上式中，mv2/2称为质点的动能，用称为质点的动能，用Ek表示。令表示。令EkA mvA2/2，表示质点的初动能；，表示质点的初动能；EkBmvB2/2，表示质点的末动，表示质点的末动 能。则上式可写为：能。则上式可写为： kkBkA EEEW 上式称为上式称为质点的动能定理质点的动能定理，它表明，合外力对质点所做，它表明，合外力对质点所做 的功等于质点动能的增量。的功等于质点动能的增量。 在国际单位制中，动能与功的单位相同，都是焦耳（在国际单位制中，动能与功的单位相同，都是焦耳（J） 关于质点的动能定理还应说明以下几点。关于质点的动能定理还应

27、说明以下几点。 1由于动能定理也是从牛顿运动定律中推出的，因此，由于动能定理也是从牛顿运动定律中推出的，因此， 动能定理也仅适用于惯性系。动能定理也仅适用于惯性系。 2功与动能的联系与区别。由于合外力对质点所做的功功与动能的联系与区别。由于合外力对质点所做的功 等于质点动能的增量，因此，功是动能变化的量度。功是与在等于质点动能的增量，因此，功是动能变化的量度。功是与在 外力作用下质点位置的移动过程相联系的，是一个过程量；而外力作用下质点位置的移动过程相联系的，是一个过程量；而 动能则决定于质点的运动状态，是一个状态量。动能则决定于质点的运动状态，是一个状态量。 3动能与动量的联系与区别。质点的

28、动能和动量都是利动能与动量的联系与区别。质点的动能和动量都是利 用用m和和v两个因素来表示物体的运动状态的，都是状态量，它们两个因素来表示物体的运动状态的，都是状态量，它们 在数量上的关系为：在数量上的关系为： m p Ek 2 2 动量是矢量，依赖速度的方向；而动能是标量，与速度动量是矢量，依赖速度的方向；而动能是标量，与速度 的方向无关。动量的改变由力的冲量决定，是力的时间累积的方向无关。动量的改变由力的冲量决定，是力的时间累积 效应；而动能的改变由力的功决定，是力的空间累积效应。效应；而动能的改变由力的功决定，是力的空间累积效应。 【例例3-4】一质量为一质量为0.1kg的质点由静止开始

29、运动，运动方的质点由静止开始运动，运动方 程为程为r5t3i2j，求在，求在t00到到t2s的时间内，作用在该质点上的时间内，作用在该质点上 的合力所做的功。的合力所做的功。 【解解】因因 i r v 2 15 d d t t 故质点在故质点在t00和和t2s时的速度分别为：时的速度分别为： t00时，时，v00；t2s时，时，v60m/s 根据质点的动能定理，有根据质点的动能定理，有 J1800601 . 0 2 1 2 1 2 1 22 0 2 mvmvEW k 【例例3-5】如下图所示，一质量为如下图所示，一质量为m的珠子系在线的一端的珠子系在线的一端 ，线的另一端绑在墙上的钉子上，线长

30、为，线的另一端绑在墙上的钉子上，线长为l，先拉动珠子使线，先拉动珠子使线 保持水平静止，然后松手使珠子下落，求线摆下保持水平静止，然后松手使珠子下落，求线摆下角时珠子的角时珠子的 速率速率v。 【解解】选珠子为研究对象。如上图所示，珠子受力为：重选珠子为研究对象。如上图所示，珠子受力为：重 力力mg和拉力和拉力T。珠子在圆弧上移动位移元。珠子在圆弧上移动位移元dr时，合外力做的元时，合外力做的元 功为：功为： dddWmTrgr 由于拉力由于拉力T的方向始终与珠子运动的方向垂直，的方向始终与珠子运动的方向垂直，Tdr0，故，故 ddd coscos dWmmg rmgl gr 则珠子从水平位置

31、摆下则珠子从水平位置摆下角时，合外力所做的功为：角时，合外力所做的功为： sindcos 0 mglmglW 根据动能定理，可得：根据动能定理，可得： 2 2 1 sinmvmgl 所以所以 sin2glv 3.2.4 质点系的动能定理质点系的动能定理 如下图所示，两质点的质量分别为如下图所示，两质点的质量分别为m1和和m2，f12和和f21分分 别为两质点相互作用的内力，别为两质点相互作用的内力， F1和和F2分别为两质点所受的分别为两质点所受的 外力。在外力。在t1到到t2时间内，两质点的速度分别从时间内，两质点的速度分别从v10和和v20变为变为v1 和和v2。对两质点分别应用质点的动能

32、定理有：。对两质点分别应用质点的动能定理有： 22 1121 11 10 22 22122220 11 dd 22 11 dd 22 mvmv m vm v Frfr Frfr 令令 ，表示所有外力对质点系的做功，表示所有外力对质点系的做功 之和；之和； ，表示质点系内各质点间的内力做，表示质点系内各质点间的内力做 功之和；功之和； ，表示质点系末状态的动能；，表示质点系末状态的动能； ，表示质点系初状态的动能。，表示质点系初状态的动能。 12 ddW 外 FrFr 1221 ddW 内 frfr 2 22 2 11 2 1 2 1 vmvmEk 2 202 2 1010 2 1 2 1 vm

33、vmEk 将上述两式相加可得：将上述两式相加可得： 0kk EEWW 内外k EWW 内外 如果把上述两个质点的质点系推广到由如果把上述两个质点的质点系推广到由n个质点组成的质个质点组成的质 点系，上式仍然成立。上式称为质点系的动能定理，它表明点系，上式仍然成立。上式称为质点系的动能定理，它表明 ，所有外力对质点系做功与内力做功之和等于质点系动能的，所有外力对质点系做功与内力做功之和等于质点系动能的 增量。增量。 质点系的动能定理与质点系的动量定理不同。质点系的质点系的动能定理与质点系的动量定理不同。质点系的 动量定理指出，质点系动量的变化只与外力的冲量有关；而动量定理指出，质点系动量的变化只

34、与外力的冲量有关；而 质点系的动能定理则指出，质点系动能的变化既与外力做功质点系的动能定理则指出，质点系动能的变化既与外力做功 有关，也与内力做功有关。例如，炸弹爆炸后，弹片四处飞有关，也与内力做功有关。例如，炸弹爆炸后，弹片四处飞 散，它们的总动量并未变化，但其总动能显然增加了。散，它们的总动量并未变化，但其总动能显然增加了。 3.3 势能势能 3.3.1 万有引力、重力与弹力做功万有引力、重力与弹力做功 1万有引力做功万有引力做功 如下图所示，有两个质量分别为如下图所示，有两个质量分别为M、m的质点，其中，质的质点，其中，质 点点M固定不动，质点固定不动，质点m在在M的引力场中经任意路径由

35、的引力场中经任意路径由A点运动点运动 到到B点，点，A、B两点相对于固定质点两点相对于固定质点M的位矢分别为的位矢分别为r1和和r2。在。在 质点质点m运动过程中，万有引力的大小和方向都在变化。设在任运动过程中，万有引力的大小和方向都在变化。设在任 一位置，质点一位置，质点m的位矢为的位矢为r，er为沿位矢为沿位矢r方向的单位矢量。则方向的单位矢量。则 此时质点此时质点m受到质点受到质点M的万有引力为：的万有引力为： r r Mm GeF 2 当质点当质点m沿路径移动位移元沿路径移动位移元dl时，万有引力所做的元功为：时，万有引力所做的元功为： 2 ddd r Mm WG r Flel 因因e

36、rdlerdlcosdlcosdr，于是，上式可表示为：，于是，上式可表示为： r r Mm GWdd 2 所以，质点所以，质点m经任意路径由经任意路径由A点运动到点运动到B点的过程中，万点的过程中，万 有引力做功为：有引力做功为： ) 11 (d 1 d 12 2 2 1rr GMmr r GMmWW r r B A 上式表明，万有引力做功只与质点的起始和终了位置有上式表明，万有引力做功只与质点的起始和终了位置有 关，而与所经过的路径无关。关，而与所经过的路径无关。 2重力做功重力做功 如下图所示，一质量为如下图所示，一质量为m的质点，在重力作用下，经任意的质点，在重力作用下，经任意 路径由

37、路径由A点运动到点运动到B点，点，A点和点和B点距地面的高度分别为点距地面的高度分别为h1和和h2 。在位移元。在位移元dr中，重力所做的元功为：中，重力所做的元功为： ddd cosdWmmg rmg h gr 于是，质点于是，质点m经任意路径由经任意路径由A点运动到点运动到 B点的过程中，重力做功为：点的过程中，重力做功为： 21 2 1 ddmghmghhmgWW h h B A 上式表明，重力做功也只与质点的起始和终了位置有关，上式表明，重力做功也只与质点的起始和终了位置有关， 而与所经过的路径无关。而与所经过的路径无关。 3弹力做功弹力做功 如下图所示，有一弹簧水平放置，弹簧的一端固

38、定，另如下图所示，有一弹簧水平放置，弹簧的一端固定，另 一端与质量为一端与质量为m的质点相连。现以平衡位置为坐标原点的质点相连。现以平衡位置为坐标原点O， 以质点运动的直线为以质点运动的直线为x轴，取向右为轴，取向右为x轴正向。轴正向。 当质点偏离平衡位置为当质点偏离平衡位置为 x时，在弹性限度内，质点时，在弹性限度内，质点 所受的弹力为所受的弹力为Fkxi。在。在 位移元位移元dx中，弹力所做的中，弹力所做的 元功为：元功为： ddddWkxxkx x Fxii 当弹簧的伸长量由当弹簧的伸长量由x1变为变为x2时，弹力做功为：时，弹力做功为： 2 2 2 1 2 1 2 1 dd 2 1 2

39、 1 kxkxxxkWW x x x x 上式表明，弹力做功也只与质点的起始和终了位置有关，上式表明，弹力做功也只与质点的起始和终了位置有关， 而与所经过的路径无关。而与所经过的路径无关。 3.3.2 保守力与非保守力保守力与非保守力 从上述对万有引力、重力和弹力做功的讨论中可以看出从上述对万有引力、重力和弹力做功的讨论中可以看出 ，它们有一个共同特点，即这些力做功只与质点的起始和终，它们有一个共同特点，即这些力做功只与质点的起始和终 了位置有关，而与路径无关。我们把具有这种特点的力称为了位置有关，而与路径无关。我们把具有这种特点的力称为 保守力保守力。除此之外，电荷间相互作用的静电力和原子间

40、相互。除此之外，电荷间相互作用的静电力和原子间相互 作用的分子力也是保守力。作用的分子力也是保守力。 如下图所示为从初始位置如下图所示为从初始位置A到终了位置到终了位置B之间的两条曲线之间的两条曲线 L1 和和 L2 。设质点在曲线上的位移元为。设质点在曲线上的位移元为dl。若质点沿曲线。若质点沿曲线L1从从A 运动到运动到B，则力，则力F做功为做功为 ；若质点沿曲线；若质点沿曲线L2从从A运动到运动到 B，则力，则力F做功为做功为 。如果。如果F为保守力，则这两个功是相为保守力，则这两个功是相 等的，即等的，即 1 d L Fl 2 d L Fl 12 dd LL FlFl 若质点沿曲线若质

41、点沿曲线L2从从B运动到运动到A，则力，则力F做功记为做功记为 ， 则则 ，故上式可写为：，故上式可写为： 2 - d L Fl 22 - dd LL FlFl 12 - dd0 LL FlFl 上式中，两积分之和恰好是从上式中，两积分之和恰好是从A点开始，经闭合曲线一周点开始，经闭合曲线一周 返回返回A点的积分，于是，上式可写为：点的积分，于是，上式可写为： d0 L Fl 上式即为反映保守力做功特点的数学表达式，它表明，质上式即为反映保守力做功特点的数学表达式，它表明，质 点沿任一闭合路径运动一周时，保守力所做的功为零。点沿任一闭合路径运动一周时，保守力所做的功为零。 然而，在物理学中，并

42、非所有的力都具有做功与路径无关然而，在物理学中，并非所有的力都具有做功与路径无关 这一特点。我们把这种做功与路径有关的力称为这一特点。我们把这种做功与路径有关的力称为非保守力非保守力。 3.3.3 势能势能 由上述分析可知，保守力做功是与系统相对位置改变有关由上述分析可知，保守力做功是与系统相对位置改变有关 的一种能量，因此，我们把这种与系统相对位置有关的能量称的一种能量，因此，我们把这种与系统相对位置有关的能量称 为系统的势能，用为系统的势能，用Ep表示。若用表示。若用Ep1和和Ep2分别表示初、末状态分别表示初、末状态 的势能，则它们与保守力做功的势能，则它们与保守力做功W之间的关系为：之

43、间的关系为： ppp EEEW 21 上式表明，保守力做的功等于系统势能增量的负值（或系上式表明，保守力做的功等于系统势能增量的负值（或系 统势能的减少）。统势能的减少）。 势能的单位与功相同，也是焦耳（势能的单位与功相同，也是焦耳（J）。）。 势能是一个相对值，要确定系统处于空间某点的势能，需势能是一个相对值，要确定系统处于空间某点的势能，需 要选择一个参考点，规定系统在该点处的势能为零，此参考点要选择一个参考点，规定系统在该点处的势能为零，此参考点 称为势能零点。选定势能零点之后，系统在任一位置的势能称为势能零点。选定势能零点之后，系统在任一位置的势能Ep 等于从该位置到势能零点，保守力所

44、做的功。等于从该位置到势能零点，保守力所做的功。 势能零点的选择是任意的，对不同的势能零点，质点在势能零点的选择是任意的，对不同的势能零点，质点在 同一位置的势能可能不同，但质点在任意两个给定位置的势同一位置的势能可能不同，但质点在任意两个给定位置的势 能增量总是相同的，这与势能零点的选择无关。能增量总是相同的，这与势能零点的选择无关。 势能是状态的函数，是状态量，它是属于以保守力相互势能是状态的函数，是状态量，它是属于以保守力相互 作用的整个质点系统的，不属于单个质点。作用的整个质点系统的，不属于单个质点。 只有保守力才有势能，不同保守力对应不同类型的势能只有保守力才有势能，不同保守力对应不

45、同类型的势能 。在力学中，对应于万有引力、重力和弹力的势能为万有引。在力学中，对应于万有引力、重力和弹力的势能为万有引 力势能、重力势能和弹性势能。力势能、重力势能和弹性势能。 万有引力势能万有引力势能：通常选取两质点：通常选取两质点M、m相距无穷远处为万相距无穷远处为万 有引力势能零点，则当两质点相距为有引力势能零点，则当两质点相距为r时的万有引力势能为时的万有引力势能为 r GMm Ep 重力势能重力势能：通常选取地面为重力势能零点，则质点在距地：通常选取地面为重力势能零点，则质点在距地 面任一高度面任一高度h处的重力势能为处的重力势能为 mghE p 弹性势能弹性势能：通常选取弹簧无形变

46、时为弹性势能零点，则：通常选取弹簧无形变时为弹性势能零点，则 当弹簧的形变量为当弹簧的形变量为x时，系统的弹性势能为时，系统的弹性势能为 2 2 1 kxE p 3.4 功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 3.4.1 功能原理功能原理 系统的动能与势能之和称为机械能，用系统的动能与势能之和称为机械能，用E表示，即表示，即 pk EEE 力具有保守力与非保守力之分，对一个质点系而言，其内力具有保守力与非保守力之分，对一个质点系而言，其内 力也可分为保守内力和非保守内力。相应地，内力的功力也可分为保守内力和非保守内力。相应地，内力的功W内也内也 可分为保守内力的功可分为保守内力的功W

47、保内和非保守内力的功保内和非保守内力的功W非保内，即非保内，即W 内内 W保内 保内 W非保内 非保内。因此，质点系的动能定理式可写为： 。因此，质点系的动能定理式可写为： 0kk EEWWW 非保内保内外 由于保守力做功等于系统势能增量的负值，即由于保守力做功等于系统势能增量的负值，即W保内 保内 Ep0 Ep，则上式可写为（，则上式可写为（功能原理功能原理）：）： EEEEEEEWW pkpk )()( 000 非保内外 3.4.2 机械能守恒定律机械能守恒定律 根据功能原理可知，如果质点系所受的外力和非保守内力根据功能原理可知，如果质点系所受的外力和非保守内力 不做功或做功之和始终等于零

48、，即不做功或做功之和始终等于零，即W外 外 W非保内 非保内 0，则有：，则有： 000 kpkp EEEEEE 或 上式表明，如果一个质点系只有保守内力做功，而外力和上式表明，如果一个质点系只有保守内力做功，而外力和 非保守内力不做功或做功之和等于零，则质点系的总机械能将非保守内力不做功或做功之和等于零，则质点系的总机械能将 保持不变。这一规律称为保持不变。这一规律称为机械能守恒定律机械能守恒定律。 上式还可写成：上式还可写成： ppkk EEEE 00 pk EE即即 上式表明，在满足机械能守恒定律的前提下，系统内各质上式表明，在满足机械能守恒定律的前提下，系统内各质 点的动能和势能可以相

49、互转化，但系统的动能与势能之和却是点的动能和势能可以相互转化，但系统的动能与势能之和却是 不变的。可见，保守内力的功只能使系统动能和势能之间发生不变的。可见，保守内力的功只能使系统动能和势能之间发生 等量转化，但却不能改变系统的总机械能。等量转化，但却不能改变系统的总机械能。 3.4.3 能量守恒定律能量守恒定律 由功能原理可知，外力与非保守内力做功的代数和不为由功能原理可知，外力与非保守内力做功的代数和不为 零时，质点系的机械能将发生变化，这实际上是其他形式的零时，质点系的机械能将发生变化，这实际上是其他形式的 能量与机械能之间的转化。例如，电动绞车提升重物时，电能量与机械能之间的转化。例如

50、，电动绞车提升重物时，电 流做正功，电能转化为机械能；运动员举杠铃时，肌肉作用流做正功，电能转化为机械能；运动员举杠铃时，肌肉作用 力做正功，人体内部的化学能转化为机械能等。力做正功，人体内部的化学能转化为机械能等。 在大量能量转移和转化的过程中，人们总结出一条重要在大量能量转移和转化的过程中，人们总结出一条重要 的结论：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从的结论：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从 一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个 物体，在转化或转移的过程中其总量不变。这一规律称为物体，在转化或转移的过

51、程中其总量不变。这一规律称为能能 量守恒定律量守恒定律，它是自然界中最普遍的规律之一，机械能守恒，它是自然界中最普遍的规律之一，机械能守恒 定律只是这条定律在力学领域的特例。定律只是这条定律在力学领域的特例。 【例例3-6】如下图所示，劲度系数为如下图所示，劲度系数为k的轻弹簧下端固定的轻弹簧下端固定 ，沿斜面放置，斜面倾角为，沿斜面放置，斜面倾角为。质量为。质量为m的物体从与弹簧上端的物体从与弹簧上端 相距为相距为a的位置以初速度的位置以初速度v0沿斜面下滑，并使弹簧最多压缩沿斜面下滑，并使弹簧最多压缩b ，求物体与斜面之间的摩擦因数，求物体与斜面之间的摩擦因数。 【解解】将物体、弹簧和地球

52、视为一个系统。物体的重力、将物体、弹簧和地球视为一个系统。物体的重力、 物体与弹簧间的弹力为系统的保守内力；斜面对物体的支持力物体与弹簧间的弹力为系统的保守内力；斜面对物体的支持力 为外力，它与物体的位移垂直，不做功；斜面与物体间的摩擦为外力，它与物体的位移垂直，不做功；斜面与物体间的摩擦 力为外力，做功。力为外力，做功。 取弹簧平衡位置处为弹性势能零点，弹簧压缩量最大处取弹簧平衡位置处为弹性势能零点，弹簧压缩量最大处 为重力势能零点，根据功能原理可知，摩擦力做的功等于系为重力势能零点，根据功能原理可知，摩擦力做的功等于系 统机械能的增量，即统机械能的增量，即 sin)( 2 1 2 1 )( 2 0 2 bamgmvkbbafk 因因 cosmgfk 故可得：故可得： cos)(2 sin)(2 22 0 bamg kbbamgmv 【例例3-7】如下图所示，有一质量可忽略不计的轻弹簧，如下图所示，有一质量可忽略不计的轻弹簧， 其一端系在铅直放置的圆环顶点其一端系在铅直放置的圆环顶点P，另一端系一质量为，另一端系一质量为m的小的小 球，小球穿过圆环并在圆环上做无摩擦的运动。设开始时，小球，小球穿过圆环并在圆环上做无摩擦的运动。设开始时，小 球静止于点球静止于点A，弹簧