数列的综合应用

1、 命题动向：数列是历年高考的热点，多从等命题动向：数列是历年高考的热点，多从等 差数列、等比数列这两个特殊的数列入手，差数列、等比数列这两个特殊的数列入手， 考查两数列的概念、基本运算性质、通项公考查两数列的概念、基本运算性质、通项公 式、求和公式等，常以等差、等比数列综合式、求和公式等，常以等差、等比数列综合 命题，或与方程、函数与导数、不等式、解命题，或与方程、函数与导数、不等式、解 析几何等知识交汇命题，综合考查数列的通析几何等知识交汇命题，综合考查数列的通 项、求和等问题项、求和等问题 基本形式：基本形式： 1.解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是解决等差数列与等比数列的综合问题，

2、关键是 理清两个数列的关系如果同一数列中部分项理清两个数列的关系如果同一数列中部分项 成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差 数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两 个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入 手，把两个数列分割开弄清两个数列各自的特手，把两个数列分割开弄清两个数列各自的特 征，再进行求解征，再进行求解. 2.数列的通项公式是高考热点问题，数列的通项公式是高考热点问题， 近年来考查难度有所降低，但是由近年来考查难度有所降低，但是由an 与与Sn的关系求通项却

3、经常出现在解答的关系求通项却经常出现在解答 题中，在求解时一定要记住：题中，在求解时一定要记住： (1)当当n1时，时，a1S1； (2)当当n2时，时，anSnSn 1. 将将n1时与时与n2时的表达式综合在时的表达式综合在 一起，若一起，若n1时的时的a1适合适合n2时的时的an， 则可以合并在一起，否则写成分段则可以合并在一起，否则写成分段 形式形式 注：需要注意公式注：需要注意公式anSnSn 1成 成 立的条件，所以由立的条件，所以由anSnSn 1求 求 出出an后，一定不要忘记检验后，一定不要忘记检验n1是是 否适合否适合an. 3.数列中不等式的处理方法数列中不等式的处理方法

4、(1)函数方法：即构造函数，通过函数的函数方法：即构造函数，通过函数的 单调性、极值等得出关于正实数的不等单调性、极值等得出关于正实数的不等 式，对该不等式特殊赋值得出数列中的式，对该不等式特殊赋值得出数列中的 不等式不等式 (2)放缩方法：数列中不等式可以通过对放缩方法：数列中不等式可以通过对 中间过程或者最后的结果放缩得到一中间过程或者最后的结果放缩得到一 是求和中的放缩，二是求和后比较中的是求和中的放缩，二是求和后比较中的 放缩一般地，数列求和中的放缩的放缩一般地，数列求和中的放缩的“目目 标数列标数列”为为“可求和数列可求和数列”，如等比数列、，如等比数列、 可裂项相消求和的数列等可裂

5、项相消求和的数列等 (3)比较方法：作差比较或作商比较比较方法：作差比较或作商比较. 4.数列与三角综合，要灵活利用三数列与三角综合，要灵活利用三 角函数的性质，一般呈现形式周期角函数的性质，一般呈现形式周期 数列较多，要有一定的数学模型数列较多，要有一定的数学模型. 5.数列与应用题数列与应用题 解答数列实际应用问题的步骤解答数列实际应用问题的步骤 (1)确定模型类型：理解题意，确定模型类型：理解题意， 看是哪类数列模型，一般有等看是哪类数列模型，一般有等 差数列模型、等比数列模型、差数列模型、等比数列模型、 简单的递推数列模型基本特简单的递推数列模型基本特 征见下表：征见下表： (2)准确

6、解决模型：解模就是根据数列准确解决模型：解模就是根据数列 的知识，求数列的通项、数列的和、解的知识，求数列的通项、数列的和、解 方程方程(组组)或者不等式或者不等式(组组)等，在解模时等，在解模时 要注意运算准确要注意运算准确 (3)给出问题的回答：实际应用问题最给出问题的回答：实际应用问题最 后要把求解的数学结果化为对实际问题后要把求解的数学结果化为对实际问题 的答案，在解题中不要忽视了这点的答案，在解题中不要忽视了这点 特别提醒特别提醒：一般地，涉及递增率或一般地，涉及递增率或 递减率要用等比数列，涉及依次增加递减率要用等比数列，涉及依次增加 或减少要用等差数列，有的问题是可或减少要用等差

7、数列，有的问题是可 以通过转化得到等差或等比数列的，以通过转化得到等差或等比数列的， 注意之间的联系注意之间的联系. 本节课的教学的重点是等差数本节课的教学的重点是等差数 列与等比数列的内部嵌入的综列与等比数列的内部嵌入的综 合性问题合性问题. 每题的命题意图和与每题的命题意图和与 哪些知识综合在基础题和例题哪些知识综合在基础题和例题 中都有所说明中都有所说明. 教学方式：教学方式： 1.基础题学生课前预习后完成，课基础题学生课前预习后完成，课 堂上教师主要提问考虑问题的方向和堂上教师主要提问考虑问题的方向和 解题策略；其次进行适当的变题训练，解题策略；其次进行适当的变题训练， 总结规律和注意

8、事项总结规律和注意事项. 2.例题的处理首先让学生课前预习后完成，例题的处理首先让学生课前预习后完成， 课堂上教师可以用实物投影，展示学生的课堂上教师可以用实物投影，展示学生的 完成情况，对于解题过程中思维受阻的案完成情况，对于解题过程中思维受阻的案 例进行重点分析，找出原因例进行重点分析，找出原因. 对于简洁的解对于简洁的解 法要给予表扬，同时让同学讲解自己的思法要给予表扬，同时让同学讲解自己的思 考过程考过程. 3.对于例题中变式问题教师可以在课堂中对于例题中变式问题教师可以在课堂中 随时给出，用随时给出，用PPT投影出来，当然也可以投影出来，当然也可以 课前印发给学生，只是我在教学过程中，课前印发给学生，只是我在教学过程中， 都是随机给出，当堂思考都是随机给出，当堂思考. 目的是让学生目的是让学生 既能在新情景下解题，又能加深对该问题既能在新情景下解题，又能加深对该问题 本质的进一步理解和领悟本质的进一步理解和领悟. 答案：（答案：（2，9） 2.若一个等差数列前若一个等差数列前3项和为项和为3