导数及其应用复习课件

1、 导数导数 导数概念导数概念 导数运算导数运算 导数应用导数应用 函数的瞬时变化率函数的瞬时变化率 运动的瞬时速度运动的瞬时速度 曲线的切线斜率曲线的切线斜率 基本初等函数求导基本初等函数求导 导数的四则运算法则导数的四则运算法则 简单复合函数的导数简单复合函数的导数 函数单调性研究函数单调性研究 函数的极值、最值函数的极值、最值 曲线的切线曲线的切线 变速运动的速度变速运动的速度 最优化问题最优化问题 第一章第一章 导数及其应用复习导数及其应用复习 本章知识结构本章知识结构 1.函数的平均变化率函数的平均变化率 y x 1 21 )() f x xx 2 f(x 函数函数y=f(xy=f(x

2、) )的定义域为的定义域为D,xD,x1. 1.x x2 2D,f(x) D,f(x)从从x x1 1到到x x2 2 平均变化率为平均变化率为:(:( 2.函数的瞬时变化率函数的瞬时变化率 O A B x y Y=f(x) x1x2 f(x1) f(x2) x2-x1=x f(x2)-f(x1)=y ( ) lim( ) f x fx x 0 x 1 21 )() lim f x xx 2 f(x 21 xx ( ) lim f x x 0 x 导数导数 分母是分子中两分母是分子中两 个自变量的差个自变量的差. 12 2 1 2 1 2 1 - 2 1 2 12 1 2 1 ,2- 2 1

3、- ) 2 1 ( : 0 00 0k 00 0k 00 0 x 0 limlim lim xf k xfkxf k xfkxf kx k xfkxf xf解 _ 2 1 , 21 00 0 0lim k xfkxf xf k 求已知例 可将分母的系数直可将分母的系数直 接乘过去接乘过去 00 0 k0 : 12,_ 2 lim f xkf x fx k 练习若则 _ 2 , 42 00 0 0lim h hxfxf xf h 则若 2 00 0 0lim k xfkxf xf k -1 2 4 00 0 0lim h hxfxf xf h 3.导数的概念：导数的概念： 1导数的定义导数的定义

4、：对函数对函数y=f(x)，在点，在点x=x0处给自变量处给自变量 x以增量以增量x，函数，函数y相应有增量相应有增量y=f(x0+ x)f(x0)， 若极限若极限 存在，则此极限称为存在，则此极限称为 f(x)在点在点x=x0处的导数，记为处的导数，记为f /(x0)，或，或y| 00 00 ()() limlim xx f xxf xy xx 0 x x 2导数的几何意义导数的几何意义： 函数函数y=f(x)在点在点x0处的导数处的导数f /(x0)就是曲线在就是曲线在(x0，f(x0)处的切处的切 线的斜率，所以曲线线的斜率，所以曲线 yf(x)在点在点 P(x0，f(x0)处的切线方程

5、为处的切线方程为 y y0=f /(x0)(xx0) 3导数的物理意义导数的物理意义：物体作直线运动时，路程：物体作直线运动时，路程s关于时间关于时间t 的函数为：的函数为：s=s(t)，那么瞬时速度，那么瞬时速度 v 就是路程就是路程 s 对于时间对于时间t的导数，的导数， 即即v(t)=s /(t). 加速度加速度a=v/ (t),加速度加速度a=s/ (t) 例例2已经曲线已经曲线C：y=x3x+2和点和点A(1,2) 求在点求在点A处的切线方程？处的切线方程？ 解：解：f/(x)=3x21， k= f/(1)=2 所求的切线方程为：所求的切线方程为： y2=2(x1), 即即 y=2x

6、 变式：变式：求过点求过点A的切线方程？的切线方程？ 例例2已经曲线已经曲线C：y=x3x+2和点和点(1,2),求在点求在点A处处 的切线方程？的切线方程？ 解：解：设切点为设切点为P（x0，x03x0+2），）， 切线方程为切线方程为 y y ( x03x0+2)=(3 x02 21 1)(x xx0) 2 1 又又切线过点切线过点A(1,2) 2 2( x03x0+2)=( 3 x02 21 1)(1x0) 化简得化简得(x0 01)1)2 2(2(2 x0+1)=0， 2 1 1 4 当当x0=1时，所求的切线方程为：时，所求的切线方程为：y y2=2(x x1),即即y=2x 解得解

7、得x0=1或或x0= k= f/(x0)= 3 x021， 当当x0= 时，所求的切线方程为：时，所求的切线方程为： y2= (x1),即即x+4y9=0 点评点评:在在A点的切线点的切线,A为切点为切点 过过A 点的切线点的切线,A可能是切点也可能不是切点可能是切点也可能不是切点, 求过求过A点的切线时点的切线时,先设出切点先设出切点,再利用导数求切线再利用导数求切线 所求曲线的切线方程为所求曲线的切线方程为y=2x与与xy 4 1 2 3 023 263230 , 0 26323 263,23, 00 3 0 3 0 00 2 00 2 0 3 0 00 2 00 2 0 3 0 0 2

8、000 2 0 3 00 xxxx xxxxxx xxxxxxxy xxxfkxxxxA 或 过 切线为 设切点为 （4）对数函数的导数）对数函数的导数: . 1 )(ln)1( x x . ln 1 )(log)2( ax x a （5）指数函数的导数）指数函数的导数: .)()1( xx ee ).1, 0(ln)()2( aaaaa xx xxcos)(sin1）（ （3）三角函数）三角函数 ： xxsin)(cos2）（ （1）常函数：）常函数：(C)/ 0, (c为常数为常数)； （2）幂函数）幂函数 ： (xn)/ nxn 1 4公式公式.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公

9、式 乘以乘以lna (3)(tanx)/ =? _)(_,)3( _)(_)( : 3 x xa x ax 例 与易混的是 2 11 1 xx 1 2 2 x x 常用的还有常用的还有: axlnaaxa-1 3xln33x2 .导数的运算导数的运算法则法则 （1）函数的和或差的导数）函数的和或差的导数 (uv)/u/v/. （3）函数的商的导数）函数的商的导数 （ ） / = (v0)。 u v 2 u vuv v （2）函数的积的导数）函数的积的导数 (uv)/u/v+uv/. xgvxfu, 特例特例:(Cu)/ =Cu/ (C为常数为常数) 1) 1) 如果恒有如果恒有 f(xf(x)0)0，那么，那么 y=fy=f（x)x)在这个区间（在这个区间（a,ba,b) ) 内单调递增；内单调递增； 2) 2) 如果恒有如果恒有 f(xf(x)0)0 y=f(x) x o y a b f (x)()0只是函数只是函数f(x)在