第六章线性变换

1、第六章 线性变换线性变换的理论是19世纪后半期由凯莱和西尔维斯特建立起来的，它们运用线性变换定义了矩阵的乘法，处理了矩阵的相似合同等关系.变换是集合到自身的映射,线性变换是特殊的变换,是在变量的线性替换、坐标变换等基础上建立起来的数学工具之一,在向量空间中,线性变换与矩阵(方阵)有着紧密的联系,线性变换的化简直接转化为对矩阵的化简,因此,它是方阵化简的基本理论依据.从这一意义上来说,本章内容可看作对矩阵讨论的延续.本章重点是求特征值与特征向量.*6.1 线性变换及其运算定义1 设是数域上的一个向量空间，是的一个变换.如果 ，有1）2）那么称是的一个线性变换.定义1中的条件1),2)可表示为:有

2、.采用数学归纳法容易证明，若是的线性变换，那么.例1.设是数域上的向量空间,为一固定的数.令 ,那么, 是的一个线性变换.事实上,例1 中的称为的位似变换.当时,称为零变换,记为.当时,称为的恒等变换(单位变换).记为例2.表示数域上的所有阶矩阵作成的向量空间,为一固定矩阵.令那么,是的一个线性变换.事实上, =故是的一个线性变换.设表示向量空间中所有线性变换作成的集,.规定 .称为与的和,记为.即有.仍是的线性变换(读者自行验证).同时线性变换的加法满足:,1) ,2) ,3) ,令,称为的负变换.容易验证对于,有4) .再规定的一个“数量乘法”:设.令 .称为与的数量乘积,记为.即.事实上

3、, = =.对于数乘运算，容易得到如下算律:5) ,6) ,7) ,8) ,其中，.根据向量空间的定义，我们得到：对于它的加法和数量乘法作成数域F上的一个向量空间.现在设是数域F上的一个维向量空间,是的一个基,.由于因而它们可由基线性表出.令 (1) .(1)也可以表为,或 , (2)其中.称为关于基的矩阵.的第列元为在基下的坐标,因而当取定基之后,在这一基下的矩阵是唯一的.例3 是维向量空间的位似变换:关于的任一个基的矩阵为阶数量矩阵: .而零变换关于的任一个基的矩阵为零矩阵.单位变换关于的任一个基的矩阵是.例4是维欧氏空间, 是的一个标准正交基.,且满足、.设其中 由 那么, = =这表明

4、为正交矩阵.定义2 是维欧氏空间, .如果有 (3)那么称是一个正交变换.由例4知, 正交变换在任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵.同时,若是标准正交基,那么, 也是标淮正交基.正交变换不改变向量的长度.事实上,在(3)中取,便有.反过来可以证明,在欧式空间中,若线性变换保持向量长度不变,那么是正交变换.最后,我们讨论向量空间的向量与()关于同一基的坐标之间的关系.定理6.1.1 设是维向量空间, ,是的一个基,且又设,那么. (4)证: 由 ,是线性变换,那么 = =.又.由于同一个向量在一个基下的坐标是唯一的,所以.这一结论表明，若知道线性变换关于某个基的矩阵,知道向量关于这个基的坐标,那么

5、由(4)式,便可求得在下的像关于这个基的坐标.习 题 1.在中,下列哪些变换是线性变换? (1) (2);(3) ;(4) .2.是向量空间的任一线性变换,证明(1).(2) 线性相关,则也线性相关.3.已知的线性变换:求的自然基下的矩阵. 4.是欧氏空间的线性变换,证明:若对任意的有,则是正交变换.6.2 特征值与特征向量 我们已经看到,在向量空间中,取定一个基, 的一个线性变换对应着唯一的一个阶矩阵.我们需要进一步考虑的是,一个线性变换在不同基下的矩阵有什么关系;是否可以找到一个适当的基,使线性变换在这个基下的矩阵最简单为对角形矩阵.现在设是数域上的维向量空间，与是的两个基., (1)由基

6、到基的过渡矩阵是,即=. (2)因为可逆,有.由(2),. (3)比较(1),(3)有 (4)定义1 设是数域上的两个阶矩阵,如果有上的可逆矩阵,使 那么称相似,记为.阶矩阵的相似关系具有如下性质:1.自反性: (取则可).2.对称性:由有,即若,则.3.传递性:若,那么.事实上,由,则有可逆矩阵使. 于是根据定义1及上述推导可得:定理 6.2.1 线性变换在不同基下的两个矩阵相似.另一方面,若,设是的基, .令,则也是的基.事实上,由 知可由线性表示.由替换定理与等价,因而等秩.即秩 ()=.由(3)式的推导,容易看出.这说明,两个相似矩阵可以看成在不同基下的矩阵.在(1)中,如果是一个对角

7、形矩阵,即,便有,这也就是我们构造基,使在这一基下的矩阵为对角形的基本思路.为了实现这一想法,我们给出如下重要概念.定义2 设是数域上的向量空间,.如果有,使得, (5)那么称是的特征值,称是的属于特征值的特征向量.现在设是的一个基. ,那么.而.若(5)成立,由定理6.1.1,有.令,上式即为. (6)(6)中的称为矩阵的特征值,称为的属于特征值的特征向量.(6)是由(5)推出,反过来,由(6)也可推得(5).因此, 的特征值也称为的特征值.同时,我们看出,特征值与基的选取无关,只由(或)确定.这样,对线性变换的特征值的讨论就可以转化为对方阵A的特征值的讨论.下面我们来讨论如何求的特征值以及

8、属于特征值的特征向量.设,由(6)可得齐次线性方程组 (7)(7)的系数行列式是关于的一个次多项式,称为的特征多项式,记为.若,那么(7)有非零解. (7)中任意一个非零解都满足(6)式,因而都是属于特征值的特征向量关于基的坐标.如果未提及基,我们就将(7)的非零解作为的属于特征值的特征向量.设是的属于特征值的特征向量,那么,这说明也是属于特征值的特征向量.于是,若是属于特征值的特征向量,那么,它们的线性组合(不全为0)仍是属于特征值的特征向量.由此可知,的属于特征值的所有特征向量可以用(7)的一个基础解系来表示.此时,(7)的解空间称为的关于的特征子空间,记为. 中任何非零向量都是属于特征值

9、的特征向量. 例1 求的特征值和相应的特征向量.解.由综合除法，求得的根为：,即为A的特征值.对于特征值相应的齐次方程组为 求得基础解系 .属于特征值2的特征向量为不全为零).对于,相应的齐次线性方程组为 求得基础解系.属于特征值-2的特征向量为.下面我们来看看两个相似矩阵的特征值之间的关系.设,即有可逆矩阵,使那么, = = =.于是,有定理6.2.2 相似矩阵有相同特征多项式,因而有相同的特征值.该定理的逆不成立,即、有相同的特征值,但、不一定相似.例如, .、的特征值都是,但、不相似.前面曾经提到,矩阵的特征多项式是一个关于的次多项式,设 ,那么,其中是的项. 该项含且仅含的和的项, 的

10、常数项, 即不含的项(取)为.因此,其中为的主对角线上元素的和,称为的迹,记为.根据多项式根与系数的关系,有.以上两式,可以在我们计算的特征值后,作为检验计算是否正确的必要条件.只是注意,重根有几个算几个.阶矩阵的特征值,随给定的数域而定.在复数域上,由代数基本定理, 有个复根,因而总有.习 题 1.求下列矩阵在实数域内的特征值和相应的特征向量: () , (). .2.证明, 阶矩阵与它的转置矩阵有相同的特征值.3.若是阶矩阵的特征值,则是的特征值.4.证明,若阶矩阵的个特证值,则可逆,且是的特征值.*5.证明,对角形矩阵与相似,当且仅当是的一个排列.6.3 可对角化的矩阵在这一节里,我们讨

11、论在什么情况下,阶矩阵可以相似于一个对角形矩阵,或者说,在什么情况下,向量空间中存在一个基,使的线性变换这个基下的矩阵为对角形矩阵.定义1 是数域上的一个维向量空间,.如果中有一个基,使在这个基下的矩阵为对角形矩阵,那么称是可对角化的.将定义1用矩阵的语言来表述,即为:对阶矩阵,如果存在阶可逆矩阵,使为对角形矩阵,那么,称是可对角化的.对角化或对角化，其对角形矩阵中，对角线上的元素是或的全部特征值.对角化在于构造一个相应的基，而对角化却在于构造可逆矩阵.若,即有.令，则可得.这表明的第列是的属于特征值的特征向量,即的基础解系的解向量.另一方面,如果是基,且,那么满足的就是对角化需要构造的基.由

12、上所述，或对角化是有条件的.其一,阶矩阵是否有构成阶对角矩阵的个特征值；其二,这些特征值所确定的特征向量是否可以构成可逆矩阵.第一个条件可通过求的特征值来确定.对第二个条件,首先需要考察阶矩阵的属于不同特征的特征向量之间有什么关系.我们有定理6.3.1 阶矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关.证 设是的分别属于个不同特征值的特征向量.对采用归纳法. 当时，特征向量,线性无关.设对于个不同特征值,定理成立.当不同特征值的个数是时,令, (1)将左乘(1)两边,且由, ,有. (2)将,得由归纳假设线性无关，所以只有,.而,得.将代入(1)式,(1)化为但,于是.故线性无关.由此定理,我们立即得

13、到推论 若阶矩阵在给定数域中有个不同特征值,则可对角化.事实上,设是的个不同特征值,对于每一个,都可求得齐次线性方程组的一个非零解,分别以它们作为的第个列向量,构成.由定理6.3.1, 的这些列向量线性无关,因而可逆,且有.但是,一般来说,的特征值不一定都是的一重根（单根）.现在假设在数域内,其中1为的重数,而.即是说, 的重根按重数计,有个特征值.如果相应的齐次线性方程组的基础解系含个解向量,即是说此时.那么以这组解向量为列构成可逆矩阵,则有 (3)反过来,如果(3)成立,那么有个不同的特征值,其重数分别为 .而的第组列向量都是属于特征值的特征向量,也就是齐次线性方程组的个线性无关的解向量,

14、说明的维数至少是,即.但由,不可能有,因而.由以上论述,我们得到定理6.3.2 数域上阶矩阵可对角化的充分必要条件是:() 在内有个特征值,() 每一特征值的重数等于相应特征子空间的维数.现在,我们已经知道,当可对角化时，如何来构造这相应的基.事实上,任取的一个基,由(3),以的列向量为坐标,便可构成个线性无关的向量:,它是的一个基,而在这个基下的矩阵为对角形矩阵:若可对角化,我们再看与它的特征子空间的关系,根据6.2定义2,一个特征向量,只由一个特征值确定.事实上,若,那么而,因此.这说明,而此时 . (4)上述可对角化所选择的基,即由的基拼凑而成.显然的每一个向量在这个基下的表示法是唯一的.(4)中的这个和称为直和,记为.例1 设,求可逆矩阵