级数与广义积分考研

1、1. 利用有上界的非空数集必有上确界证明：单调增加的有界数列必有极限.2.证明： sin 1 在 (0,1)上不一致连续，但在 (a,1)( a0) 上一致连续 .x3.若 xn 11111,2,3,) ，2232n2 ( n用柯西收敛准则判定数列xn 的收敛性 .4.（1）证明： f (x)sin x2 在 (0, ) 上不一致连续 .（ 2）若 xn1cos1cos 2cos3cos n(n 1,2,3, ) ，222232 n用柯西收敛准则判定数列xn 的收敛性 .5. 设 E 是非空有上界的实数集 .（ 1）给出 E的上确界 sup E a 的定义；（ 2）若 sup EaE, 证明：

2、在数集 E 中可取出严格单调增加的数列 xn，使得 lim xna.n6. 证明：2sin x2 dx 0.07. 判断下述各论断的对错，正确的请给出证明，错误的请举出反例.(1)若对于每一个正整数p都有 lim ( aa )0,则数列 a 收敛 .nn pnn(2)若f ( x)dx 收敛，且limf ( x)存在，则 limf (x) 0.0xx8. 广义积分sin x dx(0p1) 是收敛还是发散？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？0xpn9. 求 lim11k(11 ) k2nn k 1 3k10. 设 an4 tann xdx ，（1）求1 (anan 2 ) ；（ 2）试证对于任意

3、的常数0，0n 1n级数an 收敛 .11. 利用 p级数的敛散性判别级数e (11 ) n 的敛n 1 nn 1n散性 .12. 设 an0(n1,2,3,), 且级数an 发散，试判断下列级数的收敛性：n 1（1）an;（2）an.n 1 1 n2 an 1 1 ann13. 设级数( anan 1 ) 收敛，bn 绝对收敛 ，试证：an bn 绝对收敛 .n2n 1n 1nan14. 设 an0, (n1), Snak . 证明：级数收敛 .k 1n 1 Sn2nan 发散 .15. 设 a n0 (nN), 且 a n发散 . 记 Snai . 证明：n 1i 1n 1 Sn16. 若

4、函数f ( x)在0, )上连续，且lim f ( x) A.1x( ).证明： limf tdt Axxx03.10 . xn E xn n N , Esup E . 10, 存在 E中的元素 xN , 使得xN4xnnN时，有xNxn3xnlim xn. 2 n7. 15sin 1(0,1)( a,1)(a0).x(0,1)xn1, xn1.3nn2lim xnxn 0sin 1sin 11nxnxnsin 1 (0,1).4x(a,1)(a0)0,a204x1, x2( a,1),x1 x2sin 1sin 1cos1111x1x2a2x1x2x1x2x1x2sin 1 (a,1)(a

5、0). 4 x2. 10xn 1111(n1,2,3, )2232n2xn.xn.xn p xn1212122(n 1)(n 2)( n p)1112n( n1)(n1)(n2)(np1)(np)111nnpn 20N121nNpxn p xn1xnn.21. 10201f(x) sin x2 (0,).x1cos1cos 2cos3cos n(n 1,2,3, )2n222232 n xn.1(1), xn(2)xn2n2n (n N ) ,52(1)(2 )20(n) ,2xnxn2n22nf ( xn(1) ) f (xn( 2) )10,2f (x)sin x2 (0,).12xn.x

6、npxncos(n1)cos(np)22n 12npcos(n1)cos(np)1122n 12np2n 12n p1n (11p )1n .222201Nlog 2112n1Npxn p xn2nxn.28.15E.Esup E a12sup E aE,Exnlim xn a.n1x E, x a20, x E, xa2a Esup Ea12sup EaE,0, x E,axa .311, x1 E, a1x1 a;223min 1,ax1,x2E, a2min 1, ax2 ,x3E, a32x2ax1x23x3ax2x3n min 1 , a xn 1,xnE, anxn axn 1xn

7、3nExnlim xna.2n证明：2sin x2 dx 0.0证明：令 tx22sin t1dtsin t1dt21dt,原式 =0sin t02 t2t2t故原式=sin t(110)dt0 2 t 2 t1. 918.(1)若对于每一个正整数 p都有 lim (an pan ) 0, 则数列 an 收敛 .n(2)f (x)dx存在，则lim f (x) 0.lim f ( x)0xx12. 15sin xdx (0p 1)0xp0limsin x1x0.2xpx 011AA0sin xdx2,xp 0,)limxp0xsin x dx(0Dirichlet0p1).5xpcos2xdx

8、(0p1).11xpsin xsin2x11cos 2x )x px p2( x px p1dx(0p1)sin xdx(0p 1)11pxpxsin xdx(0p1).50xp0sin x(0p1).2xpdx求 lim1n1(11 ) k 2nn k 1 3kk解：考虑正项级数1(11 ) k 2k1 3kk由 lim k uke1(或因 1k(11) k 2( e) k ,而 （ e) k 收敛）k33k3k 1 3知该级数收敛，设收敛于S，故有n11 ) k2(1Sk1 3kk所以 lim1n1(11 ) k2=0.nn k 13kk设 an4 tann xdx ，（1）求1(anan

9、 2 ) ；（2）试证对于任意的常数0，级数0n1 nan收敛 .n 1 n（1）解： 1 ( anan2 )14 tann x(1tan2 x)dx14 tann xsec2 xdx .nn0n0令 tan xt ，则上式 = 11t n dt1，因此n0n(n1)n1nSn( aiai 2 )i1 ii 1111 ，于是1(anan 2 ) lim Sn 1.i (i 1)n1n 1 nn（2）证明：令 tanxt ，则 an4 tann xdx1t n 2 dt1t ndt1，所以对于任00 1t0n1意的常数0 ，an11 1（2 分），而级数1 1 收敛，从而级数annn ( n 1

10、) nn 1 nn 1 n收敛 .解：（1） an 204 tan nx(sec2 x 1) dx（2）由（ 1） an111 ，故 an1nnnn1由正项级数的比较判别法知an收敛 .n1 n12. （ 15 分）利用 p 级数的敛散性判别级数e(11) n 的敛散性 .n 1ne(11n1)e (1t) t解： lim1nlimnt0tn1lim (1t ) t 5 分t01t(1t ) ln(1t)5 分(1t) tt 2 (1t )e1n(1 )(1t) ln(1t)t故 limn1elimt 2nt0nelim ln(1t )e3 分t02t2由级数1 发散，知原级数发散 .2 分n

11、1 n11. （ 15 分）设 an0(n1,2,3,),且级数an 发散，试判断下列级数的收敛性：n 11an;2an.n 1 1 n2ann 1 1 an(1)0an1,1.1 n 2ann2n 1 n2(2) anM(n1,2,3, ),anan0 ,1an 1Man1an.M n 1n 1 1M1anan0,.1an.12. 13(anan 1 )bnan bn.n 2n 1n 1nSn(akak1 )ana1k2nnabkM bkMS,即ab绝对收敛 .knnk 1k1n10, (n1), Snnak .an2.6. 13a nk1n 1SnanSnSn 1322SnSnSnSn 1

12、11,3Sn 1SnSn 1Snan1112n 1 Sn 2a1n 2 Sn 1Sn2lim12 .3a1nSna1an.22n1 Sn设 an0 ( n), 且an 发散 . 记 Snnai .证明：an 发散 .Nn1i1n1 Sn证明：因 an0,an 发散，故 Sn( n).n 1令 u n an ,由柯西准则：Snun收敛0， N,当nN时，对任意的 pN , un 1un 2un p而n 1uN 1u N 2uN paN 1aN pSN 1SN P对任一 正整数 N,因Sn,故存在正整数 p,使 1a1an1 ，SN p2故 un 发散 .n 1若函数 f (x) 在 0,) 上连续，且 lim f ( x)A. 证明：x证明：由于于是limf ( x)A,从而对任意的0, X0, 对任意的 xX , 有 f ( x)A.x又由于1xf (t )A dt1x1xxxf (t) Adtxdt,XXX因此 lim1x()A dt,最后得f tAx x X设f ( x)d x 收敛，且 f ( x) 在 a,上一致连续，证明 lim f ( x) = 0.ax证：因 f ( x) 在 a,上一致连续，故0，0 ，使得当 t1 ,t2 a,且 t1 t2时，有 f ( t1 )f (t2 ).an2令 unf ( x)d x ，则由积分第一中值定理得，a (