学而思奥数4升5第8讲.数阵图与数字谜.教师版

1、人生的意义就在于人的自我完善高尔基第八讲 数阵图与数字谜教学目标1. 熟悉数阵图与数字谜的题目特点；2. 掌握数阵图与数字谜的解题思路。经典精讲数阵图数阵图是把一些数按照一定规则填在某一特定图形的规定位置上而来的图形，有时简称数阵。【例1】 （年“希望杯”第二试）在右图所示内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是，若、的和为，则三个顶点的三个数的和是_。【分析】 由于每条边上的三个数的和都是，所以把这三条边上的三个数的和都加起来，总和应为，在其中，、各算了一次，三个顶点的三个数各算了两次，所以三个顶点的三个数的和为。【例2】 （年天津“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛）将这十二个自然数分别填

2、入右图的个圆圈内，使得每条直线上的四个数之和都相等，这个相等的和为_。【分析】 由于每条直线上的四个数之和都相等，设这个相等的和为，把所有条直线上的四个数之和相加，得到总和为；另一方面，在这样相加中，由于每个数都恰好在两条直线上，所以每个数都被计算了两遍。所以，得到，即所求的相等的和为。【例3】 （年“走进美妙的数学花园”决赛）如右图所示，表示这个各不相同的数字。表中的数为所在行与列的对应字母的和，例如“”。请将表中其它的数全部填好。【分析】 由于，所以，所以和只能是和。因此可以推出：，。可得右下图。【例4】 （年“走进美妙的数学花园”初赛）从、这个数中选出个不同的数放入的方格表中，使得每行、

3、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。这个数中最多有_个质数。【分析】 中的质数有、，共个。如果这个质数都用上，无论另外一个数是奇数还是偶数，根据奇偶性分析，都无法满足题目的要求。所以个质数不可能都用上，最多只能用个。若用个，只有用、这个奇数，再加上两个奇数和时，恰好是个连续奇数，方格表可以填出，如右图。故这个数中最多有个质数。前铺 在右图的每个空格中填入一个数字，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于。分析 我们知道填图的幻方每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于，而本题中的幻方每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于，比填图的幻方大了，相当于每个数都大了，所以只需要把填图的幻

4、方中的每个数都加就可以了。前铺 将、填入的方格内，使其构成一个幻方。分析 （法）：中心数为，然后将其余个数分为组，每组两个数的和是，把它们分别填入图中关于中心格对称的格子内，实验可得结果，如右图。答案不唯一，仅供参考。（法）：其实会学习的小朋友知道利用已经学习过的一些典型题目的结果加以变形得到新题的答案。事实上我们可以把本题中的幻方看作是填图的幻方相应位置的数字乘以再减得来的。推广开来可以知道等差数列填图的三阶幻方几乎都具有相似的形式。【例5】 在右图所示立方体的八个顶点上标出中的八个，使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于，并且不能被未标出的数整除。【分析】 标出的八个数之和是每面四个数之和

5、的倍，是偶数，的和为 ，因此未标出的数是一个奇数，只能是、中的一个，并使余下八个数之和的一半不能被这个数整除，由于、都不满足这一条件，依此可知未标出的数是。下面用余下的个数填图，每面四个数之和为：。如果已知某一面上四个数的和为，那么与其平行的面上的四数之和也必为。因此我们只考虑有公共顶点的三个面即可。下面我们考虑以为公共顶点的三个面，由于，不共面，因此在顶点的对顶点上，有公共点的三个面上，每面其余三个数之和为，且每两个面有一个公共顶点，由此试验易得三个面上的数分别为：，填图如右下图。数字谜数字谜，顾名思义就是猜数字，它是与数字有关的一类有趣的数学问题。【例6】 （年湖北省“创新杯”初赛）如右图

6、，加法算式中，七个方格中的数字之和等于_。【分析】 由加法算式中的百位要向千位进位知百位的数字和为，但两个加数的百位之和最大为，由于十位最多向百位进，这说明两个加数的百位数字都是。同理可知两个加数的十位数字都是，且个位之和向十位进，所以这两个加数的个位数字之和为。所以七个方格中的数字之和为。【例7】 （年“我爱数学夏令营”）右图加法算式中相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，那么汉字“我爱夏令营”表示的位数是_。【分析】 两个五位数相加得到一个六位数，由于这两个五位数均小于，所以它们的和小于，所以图中的“数”小于，故“数”。由于“我爱夏令营”“数学夏令营好”“数学夏令营”“数学夏

7、令营”“好”，所以“我”。而图中加法算式的千位最多向万位进，所以“学”只能为或。由于“学”与“数”不同，所以“学”不能为，只能是。图中算式可简化为“爱夏令营”“夏令营”“夏令营好”，即“爱”“夏令营”“夏令营”“夏令营”“好”。得“爱”“夏令营”“好”，所以“好”是的倍数。由于“好”不能是，所以“好”，“夏令营”“爱”。由于“爱”、“夏”、“令”、“营”均不能为、，经试验只有当“爱”时，“夏令营”符合条件。所以“我爱夏令营”表示的位数是。前铺 （年“走进美妙的数学花园”决赛）如右图所示，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。“美妙数学花园”代表的位数最小为_。分析 本题中个数的和

8、是一个各个数位上的数字都相同的四位数，由于加法算式中百位上没有进位，所以和的千位上只能是，因此“好”。要使“美妙数学花园”代表的位数最小，则“美”、“妙”都要尽可能小。“美妙”“数学”“花园”，由于“数学”“花园”最大只能为，所以“美妙”不小于。但是“妙”不能与“好”和“美”相同，所以“美妙”最小为，此时“数学”最小为，“花园”为，所以这个六位数最小为。【例8】 （年“走进美妙的数学花园”初赛）请在右图每个方框中填入一个数字，使乘法竖式成立。【分析】 设被乘数为，乘数为。由于，所以，且（这是因为最多向十位进，而是一个偶数，从而不向十位进位）。又由且知为奇数（若为偶数，那么的十位数字为，但，这是

9、不可能的），那么向十位进，所以最小为，又显然小于（若大于等于，那么将是四位数），于是。这时只能为，只能为。所以。再由知只能为。所以这个乘法算式的被乘数与乘数分别为和，乘法竖式如图所示。【例9】 （年香港圣公会数学竞赛）在右图中的除法算式中，只知道、两个数字，其余残缺的数字都用表示。补上残缺的数字后，那么被除数是_。【分析】 这个除法算式从相除的过程可以看出，商数的十位和千位均为；除数的倍是一个三位数，而除数与商的万位相乘，积为两位数，可知万位数字为，同样可知商的个位数字也为，即商为；又一个两位数的两倍必小于，故第一次剩余（即被除数的前三位与除数之差）为。而一个三位数与一个两位数之差为，只能是，

10、故被除数前三位为“”，而除数为，由此可知，被除数为。【例10】 （年北京“数学解题能力展示”读者评选活动决赛）将数字填入下面方框，每个数字恰用一次，使得下列等式成立：现在“”、“”已经填入，当把其他数字都填入后，算式中唯一的减数（处）是_。【分析】 首先可以估算四位数的取值范围。四位数不大于，不小于，所以四位数的首位数字只能是。再由四位数与的和能被整除，可以确定四位数的个位数字一定是偶数，只能是或。若为，那么四位数与的和的个位数字为，所以十位数字必须为偶数，只能是。这个四位数要大于，只能是，而，与相差。但此时剩下的三个数字为、，无法用这三个数字凑出。所以四位数的个位数字不能是。四位数的个位数字

11、是时，十位数字为奇数，只能是、或。当四位数的十位数字为时，四位数只能是，而，与相差。但剩下的三个数字、不能凑出；当四位数的十位数字为时，四位数只能是，而，与相差。但剩下的三个数字、不能凑出；当四位数的十位数字为时，四位数可能是或。若为，则由，与相差，但剩下的三个数字、不能凑出；若为，有；当四位数的十位数字为时，四位数只能是，而，与相差。但剩下的三个数字、不能凑出。综上可知本题只有唯一答案。算式中唯一的减数是。【例11】 表示进制中的一个三位数，请解决如右所示进制中的数字谜（不同的字母表示不同的数）。请确定,的值，并带入下式进行计算：_。（注：此时的结果请写成十进 制的）。【分析】 在进制中，由

12、于个位的最多向十位进，十位的,互不相同，它们最大分别为和，所以，所以十位最多向百位进，同理可知百位最多向千位进，所以只能为。由于最大为，则，即百位向千位进后最多还剩下，即最大为，又因为不同的字母表示不同的数，不能与相同，所以只能为。而不能为、，所以，即，所以。附加题目【附1】 （年北京“数学解题能力展示”读者评选活动初赛）在右图除法竖式的每个方格中填入适当的数字使竖式成立，并使商尽量大。那么，商的最小值是_。【分析】 如果商的个位数字为，那么除数为多。由于除数乘以商的千位数字得到一个四位数，且这个四位数的百位数字为，所以商的千位数至少是才可满足这一条件（如果是，那么乘积为位数；如果是，那么乘积

13、在与之间，百位数字不可能是）。如果商的个位数字为，则除数不小于，不大于，同上分析可知，商的千位数至少是才可满足式中条件。如果商的个位数字大于等于，由于除数与商的千位数字之积是一个四位数，比除数与商的个位数字之积（多）要大，所以商的千位数字大于个位数字，所以此时商的千位数字至少为。由以上分析可知，当商的个位数字为时，商的千位数字可以为，此时商的千位数字最小，故商也最小。当商的千位数字为时，由于十位数字为，个位数字为，此时除数为多，商的百位数字与除数的乘积也是四位数，而且这个四位数的百位数字为，所以商的百位数字不能是、，至少为才能满足式中条件。所以商的最小值不小于。另外，满足式中条件，所以商的最小

14、值为。【附2】 （年首届全国数学资优生思维能力测试）在右图的除法算式中，只知道、四个数字，补上残缺的数字后，那么被除数是_。【分析】 设商的百位数字为，十位为。由于与除数之积的十位为，所以只可能为、；由于与除数之积的个位为，所以只可能为、。取为时，除数只能为。若取为，竖式谜中第五行数为，那么竖式的第四行与第五行的十位数字之差只可能为或（第四行的十位数字需向百位数字借位），这样第七行的百位数字为或，而除数与一位数的乘积的百位数字最大只能为。矛盾。所以此时不能为。若为，则竖式的第五行为，此时竖式的第四行与第五行的十位数字之差至少为，所以商的个位数只能为或。试验可知满足条件。用上述方法类似分析其他情

15、况，可知和也满足式中条件。巩固精练1. 在这十三个自然数中选十二个填在图中的空格内，使每横行四数之和相等，每竖行三数之和相等。【分析】 首先由和的整除性质，确定使用哪十二个数填图。由于每横行四数之和相等，每竖行三数之和相等，知这十二个数之和既是的倍数也是的倍数，因此是的倍数，而，由此可知不用填图的数字是，所选十二个数之和为：，每横行四个数之和为：，每竖行三个数之和为：。由于竖行和为，因此可知，在不同竖行，而只能跟或在同一竖行，由此可确定竖行分组有如下两种情况：，或，。再根据横行和为，易得如下两种结果：2. 图中的正方形的每一个方格内的字母都代表一个数，已知其每行、每列以及两条对角线上三个数之和

16、都相等。若，。那么是多少？【分析】 由于，所以，即，所以。3. 右图中不同的汉字代表中不同的数字，当算式成立时，“中国”这两个汉字所代表的两位数最大是多少?【分析】 从图中可以看出，“新”，因为要使“中国”尽量大，所以可以假定“中”。因为十位相加(含个位的进位)等于，所以“北奥”在中的取值有三种可能：；。再考虑到“国京运”的个位数字是，经试算，只有“北”、 “奥”等于、时满足，此时“国”、“京”、“运”等于、，“国”取其中最大的，得到“中国”最大是。4. 右面式中不同的汉字代表不同的数字，问：“数学好玩”表示的四位数是多少?【分析】 由积的千位数知“数”，由积的十位数知“学”，由积的百位数知“

17、玩”。竖式化简为下式。由于“真”“好”，所以“真”，“好”，“啊”。所以，“数学好玩”。学而思教育 四升五 竞赛123班 第八讲 教师版 page 73 排球是一位名叫威廉·基·摩根的体育干事于年在美国发明的。半个多世纪后的年日本东京奥运会赛场上，男子排球和女子排球比赛同时亮相奥运会赛场。至年雅典奥运会，奥运会排球比赛的规模已由最初的支男队和支女队发展到男女各支队伍。迄今为止，共有支男队（苏联、日本、波兰、美国、巴西、荷兰、南斯拉夫）和支女队（日本、苏联、中国、古巴）荣膺过奥运会排球冠军的殊荣。排球年进入中国，并在新中国生长壮大，中国女排在年中国首次参加奥运会时便一鸣惊人，夺得桂冠，年后又在雅典重温奥运会冠军梦，将她们的世界冠军头衔增加到个。一个富有却很吝啬的人不幸将自己装有50万现金的公文包丢失了。他怎么找也找不见，着急得要命，于是，只好报警，并声称谁要拾到公文包并交还给他，他将奖给这个人5万元现金。 不久，便有人将公文包送到警察局，富人见到自己的公文包失