二项式定理应用常见类型及其解题方法

1、二项式定理应用常见类型及其解题方法一、知识点回顾：1二项式定理：，2基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。二项式系数：展开式中各项的系数.项数：共项，是关于与的齐次多项式通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。3注意关键点：项数：展开式中总共有项。顺序：注意准确选择,其顺序不能更改。与是不同的。指数：的指数从逐项减到，按降幂排列。的指数从逐项减到，按升幂排列。各项的次数和等于.系数：注意准确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数，包含符号）。4常用的结论：令 令 5性质：二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相

2、等，即，···二项式系数和：令,则二项式系数的和为， 变形式。奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令，则，从而得到：奇数项的系数和与偶数项的系数和：二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来。二、基本题型示例：（一）、二项式定理的逆用问题例1、解：与已知的有一些差别， 例2、 的值等于（   

3、） a111105  b111111   c12345  d99999 分析 由已知式子的结构，可构造二项式 原式故选c练：解：设，则（二）、利用通项公式求的系数问题例3、（l）若的展开式中，的系数是的系数的7倍，求；  （2）已知的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，求；  （3）已知的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求    解：（l）依题意，即， 由可整理，得，解得. （2）依题意， 整理，得     ，解得. （3）依题意，整理，得， 两边取对数

4、，得，解得或.   ，或. 点评  的展开式及其通项公式，是，四个基本量的统一体，已知与未知是相对的，使用方程的思想方法，应会求其中居于不同位置，具有不同意义的未知数练：展开式中，的系数等于   解：    所求项的系数即为展开式中含项的系数是：例4、在二项式的展开式中倒数第项的系数为，求含有的项的系数？解：由条件知，即，解得，由，由题意，则含有的项是第项,系数为。练：求展开式中的系数？解：，令,则故的系数为。（三）、利用通项公式求常数项问题例5、求二项式的展开式中的常数项？解：，令，得，所以练：求二项式的展开式中的常数项？

5、解：，令，得，所以练：若的二项展开式中第项为常数项，则解：，令，得.（四）、利用通项公式，再讨论而确定有理数项问题例6、求二项式展开式中的有理项？解：，令,()得，所以当时，当时，。（五）、奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和的问题例7、若展开式中偶数项系数和为，求.解：设展开式中各项系数依次设为 ,则有，,则有 将-得： 有题意得，。练：若的展开式中，所有的奇数项的系数和为，求它的中间项。解：，解得 所以中间两个项分别为，（六）、最大系数，最大项问题例8、已知，若展开式中第项，第项与第项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：解出，当时，展开式中二项式系数最

6、大的项是，当时，展开式中二项式系数最大的项是，。练1、在的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大，即，也就是第项。练2、在的展开式中，只有第项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？解：只有第项的二项式最大，则，即,所以展开式中常数项为第七项等于练3、写出在的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数是奇数，所以中间两项()的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有的系数最小，系数最大。练4、若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系数最大的项？解：由解出,假设项最大，化简得到，又，展开式中系数最大的项为,有练5、在的展

7、开式中系数最大的项是多少？解：假设项最大，化简得到，又，展开式中系数最大的项为（七）、非二项式结构式问题例9、求当的展开式中的一次项的系数？解法：，当且仅当时，的展开式中才有x的一次项，此时，所以得一次项为它的系数为。解法： 故展开式中含的项为，故展开式中的系数为240.练：求式子的常数项？解：，设第项为常数项，则，得, .（八）、乘积式中二项式定理应用问题例10、解： 练：解：.练：解：例11、（1）在的展开式中，若第3项与第6项系数相等，则 （2） 的展开式奇数项的二项式系数之和为128，则展开式中二项式系数最大项是      &

8、#160;  分析：（1）由已知，所以 （2）由已知，而， 展开式中二项式系数最大项是第5项（九）、构造法证明等式问题例12、证明下列各式(1).(2).证：(1)构造二项展开式 .令得 即.(2)构造恒等式 . 两边含项的系数相等，即， .（十）、展开式中奇数项的系数和与偶数项的系数和问题例13、解：（十一）、赋值法应用问题 例14、  （1）已知，那么=_.   （2）=_.分析 ：（1） 令，得， 令，得， （2）在二项展开式中， 令，则左式，右式   .   点评  这是一组求二项展开式的各项系数和的题目，求解的依据是与. 这

9、两个等式都是恒等式，所以赋予字母，及以某些特定数值时，等式依然成立例15、设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为,若,则等于多少？解：若，有， 令得，又,即解得，.练：若的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为多少？解：令，则的展开式中各项系数之和为，所以，则展开式的常数项为.练：解： 练：解：（十二）、整除问题 例16、  除以100的余数是         分析：转化为二项式的展开式求解 上式中只有最后两项不能被100整除8281除以100的余数为81，所以除以100的余数为81例

10、17、证明：能被64整除证：因为各项均能被64整除（十三）、近似值问题例18、的近似值（精确到0.001）是        分析  （十四）、不等式证明问题例19、若实数满足，求证： 证：令,则.例20、已知等差数列及等比数列中，且这两个数列都是递增的正项数列，求证：当时，证：设 , 则, 利用二项式定理证明不等式，采用“对称法”（例18）及“减项放缩法”（例19）较为普遍。练;证明：练：三、知识巩固：1、(x1)11展开式中x的偶次项系数之和是 解：设f(x)=(x-1)11, 偶次项系数之和是2、 2、解：4n

11、3、的展开式中的有理项是展开式的第 项解：3,9,15,21 4、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是 解：(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为355、求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数解：,要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项作积，第一个因式中的x3与(1-x)9展开式中的项作积，故x4的系数是6、求(1+x)+(1+x)2+(1+x)10展开式中x3的系数解：=，原式中x3实为这分子中的x4，则所求系数为7、若展开式中，x的系数为21，问m、n为何值时，x2的系数最小？解：由条件得m+n=21，x2的项为，则因nn，故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x2的系数最小8、自然数n为偶数时，求证： 证明：原式=9、求被9除的余数解： ,kz,9k-1z，被9除余81