微积分授课课件：10-2 第二型曲线积分1

1、理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心教学内容和基本要求教学内容和基本要求 理解二类曲线积分的概念及它们的直接其计算。理解二类曲线积分的概念及它们的直接其计算。 理解二类曲面积分的概念及它们的直接其计算。理解二类曲面积分的概念及它们的直接其计算。 掌握高斯公式，理解散度的概念。掌握高斯公式，理解散度的概念。掌握格林公式，理解平面第二类曲线积分与路径无掌握格林公式，理解平面第二类曲线积分与路径无关的含义与判别。关的含义与判别。掌握斯托克斯公式，理解旋度的概念。掌握斯托克斯公式，理解旋度的概念。重点与难点重点与难点重点：重点：二类曲线积分的概念及其计算方法；二二类曲线积分的概念及其计算方法；

2、二类曲面积分的概念及其计算方法；格林公式、类曲面积分的概念及其计算方法；格林公式、高斯公式及斯托克斯公式；曲线积分及曲面积高斯公式及斯托克斯公式；曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用。分的物理应用和几何应用。难点：难点：两类曲线积分的关系和区别；两类曲面两类曲线积分的关系和区别；两类曲面积分的关系和区别；曲线积分和曲面积分的物积分的关系和区别；曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用。理应用及几何应用。 哈尔滨工程大学 微积分微积分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心ABFxyO 实例实例: 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功一、问题的提出一、问题的提出10.2 第二型曲线积分第二型

3、曲线积分 哈尔滨工程大学 微积分微积分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心 cosABFW 常力沿直线所作的功常力沿直线所作的功ABF ABF“大化小大化小”“常代变常代变”“近似和近似和” “取极限取极限”所以所以,我们对于变力的解决办法我们对于变力的解决办法: 哈尔滨工程大学 微积分微积分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心oxyABL1 nMiM1 iM2M1Mix iy ,:BALjyxQiyxPyxF),(),(),( 分割分割：.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn .)()(1jyixMMiiii ,),(),(),(jQiPFiiiiii

4、取取 哈尔滨工程大学 微积分微积分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心取极限取极限. ),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值近似值精确值精确值,),(1iiiiiMMFW .),(),(iiiiiiiyQxPW 即即求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyQxP niiWW1oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 哈尔滨工程大学 微积分微积分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心,0.),(,).,;, 2 , 1(),(,),(),(.),(),(,11101111222111时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段如果当各

5、小弧段上任意取定的点上任意取定的点为为点点设设个有向小弧段个有向小弧段分成分成把把上的点上的点用用上有界上有界在在函数函数向光滑曲线弧向光滑曲线弧的一条有的一条有到点到点面内从点面内从点为为设设 iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL1.定义定义二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念 哈尔滨工程大学 微积分微积分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP 记作记作或称第二类曲线积分）或称第二类曲线积分）积分积分

6、的曲线的曲线上对坐标上对坐标在有向曲线弧在有向曲线弧数数则称此极限为函则称此极限为函的极限存在的极限存在类似地定义类似地定义.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ ,),(),(叫叫做做被被积积函函数数其其中中yxQyxP.叫叫积积分分弧弧段段L 哈尔滨工程大学 微积分微积分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心2.存在条件：存在条件：.,),(),(第二类曲线积分存在第二类曲线积分存在上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当LyxQyxP3.组合形式组合形式 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxrdjQiPF 其其中中.

7、 rdFL 哈尔滨工程大学 微积分微积分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心4.推广推广.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP 空间有向曲线弧空间有向曲线弧. RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 哈尔滨工程大学 微积分微积分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心5.性质性质.,)1(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则则和和分成分成如果把如果把则则有向曲线弧有向曲线弧方向相反的方向相反的是与是与是有向曲线弧是有向曲线弧设设,)2(LLL 即对坐标的曲线积

8、分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),( 哈尔滨工程大学 微积分微积分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心4. 物理意义物理意义WAB所作的功所作的功沿沿 AByQxPddjyxQiyxPF),(),( 变变力力dABWFr d(d ,d )rxy () ()ABPiQ jdxidy j 哈尔滨工程大学 微积分微积分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心对坐标的曲线积分与曲线的方向有关对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.思想是思想是因此下限应是起点的坐标因此下限应是起点的坐标,化为定积分计算化为定积

9、分计算. .上限是终点的上限是终点的坐标坐标.三、对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算 哈尔滨工程大学 微积分微积分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心:, 0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22则则曲曲线线积积分分且且阶阶连连续续导导数数一一为为端端点点的的闭闭区区间间上上具具有有及及在在以以点点运运动动到到终终沿沿的的起起点点从从点点时时变变到到由由单单调调地地当当参参数数的的参参数数方方程程为为连连续续上上有有定定义义且且在在曲曲线线弧弧设设 ttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理dttttQtttPdyyxQdxyxPL)

10、()(),()()(),( ),(),( 哈尔滨工程大学 微积分微积分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终终点点为为起起点点为为 .)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 则则.)(:)2(dcyyxxL，终终点点为为起起点点为为 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 则则 哈尔滨工程大学 微积分微积分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心.,)()()(:)3( 终终点点起起点点推推广广ttztytx dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(

11、),()()(),(),( 哈尔滨工程大学 微积分微积分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心,sin,cos)( taytaxkzyxj xi yF 用下，质点沿螺旋线用下，质点沿螺旋线的作的作在力场在力场解解,2, 0 tBtA点对应点对应点对应点对应显然显然dzzyxxdydxyWAB)( 故故tatatatatasincos()cos()sin)(sin( 220 dtcct2)2 dttcctttaa 2022242)sin(cos.2222ac xyzoa例例1. ), 0 ,()0 , 0 ,(2WFcaBaActz做的功做的功所所求求移到点移到点由点由点 cAB 哈尔滨工

12、程大学 微积分微积分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心例例2:)(2为为，其中，其中计算计算LdyyxdxyxL ).1 , 1()10()00(, (2)ABOABOOBA、，、，三点的坐标分别是三点的坐标分别是、其中其中有向折线有向折线解解 (1)dyyxdxyxL)(2 dxxxx 10325)22(.34 (2)dyyxdxyxL)(2 dyyxdxxydyyxdxxyBAOB)( )( 22 dxxydy 1010. 1 xdxxxdxxx2)()(22210 xOyBA11的一段弧；的一段弧；到到上从上从抛物线抛物线 )1 , 1( )0 , 0( (1)2AOxy 哈尔

13、滨工程大学 微积分微积分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段弧到到上从上从为抛物线为抛物线其中其中计算计算BAxyLxydxL 解法解法1的定积分，的定积分，化为对化为对x.xy OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1 (B练习练习1 1 哈尔滨工程大学 微积分微积分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心的定积分，的定积分，化为对化为对y,2yx ABLxydxxydx 1122)(dyyyy. 11到到从从 y 1142dyy.54 xy 2)1

14、, 1( A)1 , 1(B解法解法2 哈尔滨工程大学 微积分微积分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心.)0 ,()0 ,()2(;)1(, 2的的直直线线段段轴轴到到点点沿沿从从点点的的上上半半圆圆周周针针方方向向绕绕行行、圆圆心心为为原原点点、按按逆逆时时半半径径为为为为其其中中计计算算aBxaAaLdxyL 例例2解解,sincos:)1( ayaxL，变到变到从从 0)0 ,(aA)0 ,( aB 0原式原式 daa)sin(sin22 练习练习2 哈尔滨工程大学 微积分微积分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心)0 ,(aA)0 ,( aB .343a , 0:)2

15、( yL，变到变到从从aax aadx0原式原式. 0 此题被积函数相同，起点和终点也相同，但此题被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同路径不同积分结果不同. 03a)(cos)cos1(2 d 哈尔滨工程大学 微积分微积分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心计算第二型曲线积分的一般步骤计算第二型曲线积分的一般步骤画图画图,求出交点求出交点确定积分弧段的形式确定积分弧段的形式找出与之形式相一致的变量找出与之形式相一致的变量求出该变量的起点与终点求出该变量的起点与终点将积分弧段方程代入并计算定积分将积分弧段方程代入并计算定积分 哈尔滨工程大学 微积分微积分理学院工科数学教

16、学中心理学院工科数学教学中心例例3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2 222依依次次是是点点，这这里里有有向向折折线线的的一一段段弧弧到到上上从从抛抛物物线线的的一一段段弧弧到到上上从从抛抛物物线线为为其其中中计计算算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解.)1(的的积积分分化化为为对对 x, 10,:2变变到到从从xxyL 1022)22(dxxxxx原式原式 1034dxx. 1 练习练习3 哈尔滨工程大学 微积分微积分理学院工科数学教学中心

17、理学院工科数学教学中心) 0 , 1 (A)1,1(B2yx .)2(的积分的积分化为对化为对 y,10,:2变到变到从从yyxL 1042)22(dyyyyy原式原式 1045dxy. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B)3( ABOAdyxxydxdyxxydx2222原式原式 哈尔滨工程大学 微积分微积分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心,上上在在OA,10, 0变到变到从从xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1变到变到从从yx 102)102(2dyydyxxydxAB. 1 10 原式原式. 1 ) 0 , 1 (A)1,

18、1(B此题被积函数相同，起点和终点也相同，但路此题被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同径不同而积分结果相同. 哈尔滨工程大学 微积分微积分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心四四. 两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：,)()( tytxL ：设有向平面曲线弧为设有向平面曲线弧为,),( 为为处处的的切切线线向向量量的的方方向向角角上上点点yxL LLdsQPQdyPdx)coscos( 则则,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt （可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ） ,d)(dttx ,d)(dtty tttsd)()(d22 有向有向曲线弧曲线弧L的切向量为的切向量为)(),(ttt 哈尔滨工程大学 微积分微积分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心,),( 为为处处的的切切线线向向量量的的方方向向角角上上点点zyx zRyQxPddd rAddAs 可用向量表示可用向量表示),(RQPA (cos ,cos,cos ) dd(d ,d ,d )rsxyz 有向曲线元有向曲线元.上的投影