初中数学经典汇总

1、28.如图，已知平面直角坐标系xOy中的点A（0，1），B（1，0），M、N为线段AB上两动点，过点M作x轴的平行线交y轴于点E，过点N作y轴的平行线交x轴于点F，交直线EM于点P（x，y），且SMPN=SAEM+SNFB（1）SAOB =S矩形EOFP（填“”、“=”、“”），y与x的函数关系是 （不要求写自变量的取值范围）；（2）当 时，求MON的度数；（3）证明：MON的度数为定值考点：勾股定理；三角形的面积；直角三角形全等的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质专题：综合题；数形结合分析：（1）由于AOB与矩形EOFP有公共部分五边形OEMNF，而不同的部分是AEM、BFN和PMN，

2、若比较AOB和矩形EOFP的面积大小，只需比较不同部分的面积大小即可，由已知得SMPN=SAEM+SNFB，故两者的面积相等；y与x的函数关系：可根据P点坐标，求出矩形EPFO的面积，根据AOB和矩形的面积相等，即可得到关于x、y的函数关系式；（2）将x的值代入题（1）所得的函数关系式中，即可得到y的值，也就确定了P点的坐标；过O作OHAB于H，在等腰RtOAB中，通过解直角三角形，可求得AB、OH的长，此时发现OH=OE，则可证得RtEMORtHMO，由此可得1=2，同理可证得3=4，由于EOF=90°，则2+3=MON=45°，由此得解（3）方法同（2）类似，可用P点的

3、横坐标，分别表示出EM、HN的长，通过证EMOHNO，得到1=3，同理可通过证MHONFO，得到2=4，而EOF=90°，即可得到MON=45°解答：解：（1）SAOB=S矩形EOFP；（1分）y与x的函数关系是 ；（2分）（2）当 时， ，点P的坐标为 （3分）可得四边形EOFP为正方形，过点O作OHAB于H，在RtAOB中，OA=OB=1， ，H为AB的中点， 在RtEMO和RtHMO中， RtEMORtHMO1=2（4分）同理可证3=41+2+3+4=90°，2+3=45°即MON=45°（5分）（3）过点O作OHAB于H，依题意，可得

4、， ， ， ， ，OEM=OHN=90°，EMOHNO，1=3（6分）同理可证2=4，1+2+3+4=90°，2+3=45°即MON=45°（7分）点评：此题考查了矩形、等腰直角三角形的性质，全等三角形、相似三角形的判定和性质；（2）（3）题中，通过辅助线来构造出与已知和所求相关的相似或全等三角形，是解答此题的关键（2008呼和浩特）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，1），直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（ ， ），B点在y轴上，直线与x轴的交点为F，P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴

5、的垂线与这个二次函数的图象交于E点（1）求k，m的值及这个二次函数的解析式；（2）设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在点P，使得以点P、E、D为顶点的三角形与BOF相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题专题：压轴题分析：（1）已知顶点C（1，1），设抛物线顶点式y=a（x-1）2+1，将A 代入可求抛物线解析式，从而可得B点坐标，已知A，B两点坐标，直线y=kx+m的图象经过A、B两点，代入可求k，m的值；（2）点P在直线y= x+2故P

6、（x， x+2），点E在抛物线y=x2-2x+2上，故E（x，x2-2x+2），h=PE=h= x+2-（x-1）2-1又P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），0x ；（3）在P点运动过程中，DPE只可能是锐角或钝角，故，直角顶点只有两种对应关系，即O对D，O对E，分两种情况，写成相似比，即PDEBOF，PEDBOF，分别求解解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）2+1A 在抛物线上 =a（ -1）2+1a=1二次函数解析式为y=（x-1）2+1（或y=x2-2x+2）令x=0得：y=2即B（0，2）在y=kx+m上m=2把 代入y=kx+2得 ；（2）h= x+2-（x-

7、1）2-1=-x2+ x（0x ）；（3）假设存在点P，当PED=BOF=90°时，由题意可得PEDBOF则 x= ，0x ，x= （舍去）而x= 存在点P，其坐标为 当PDE=BOF=90°时，过点E作EK垂直于抛物线的对称轴，垂足为K由题意可得：PDEEKD，PDEBOFEKDBOF则 ， 舍去而 ，存在点P，其坐标为 综上所述存在点P满足条件，其坐标为， 28. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，2），点D在x轴的正半轴上，ODB=30°，OE为BOD的中线，过B、E两点的抛物线 与x轴相交于A、F两点（A在F的左侧）（1）求抛物线的解析式；

8、（2）等边OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；（3）点P为ABO内的一个动点，设m=PA+PB+PO，请直接写出m的最小值，以及m取得最小值时，线段AP的长考点：二次函数综合题专题：代数几何综合题分析：（1）已知点B的坐标，可求出OB的长；在RtOBD中，已知了ODB=30°，通过解直角三角形即可求得OD的长，也就得到了点D的坐标；由于E是线段BD的中点，根据B、D的坐标即可得到E点的坐标；将B、E的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，由此确定抛物线的解析式；（2）过E作EGx轴于G，根据A、E的坐标，即可用勾股定理求得AE的长；过O作AE的垂线，设垂足为K

9、，易证得AOKAEG，通过相似三角形所得比例线段即可求得OK的长；在RtOMK中，通过解直角三角形，即可求得MK的值，而AK的长可在RtAEK中由勾股定理求得，根据AM=AK-KM或AM=AK+KM即可求得AM的长；（3）由于点P到ABO三顶点的距离和最短，那么点P是ABO的费马点，即APO=OPB=APB=120°；易证得OBE是等边三角形，那么PA+PO+PB的最小值应为AE的长；求AP的长时，可作OBE的外切圆（设此圆为Q），那么Q与AE的交点即为m取最小值时P点的位置；设Q与x轴的另一交点（O点除外）为H，易求得点Q的坐标，即可得到点H的坐标，也就得到了AH的长，相对于Q来说

10、，AE、AH都是Q的割线，根据割线定理即可求得AP的长解答：解：（1）过E作EGOD于G（1分）BOD=EGD=90°，D=D，BODEGD，点B（0，2），ODB=30°，可得OB=2， ；E为BD中点， EG=1， 点E的坐标为 （2分）抛物线 经过B（0，2）、 两点， ，可得 ；抛物线的解析式为 ；（3分）（2）抛物线与x轴相交于A、F，A在F的左侧，A点的坐标为 ，在AGE中，AGE=90°， （4分）过点O作OKAE于K，可得AOKAEG OMN是等边三角形，NMO=60° ； ，或 ；（6分）（写出一个给1分）（3）如图；以AB为边做等边三

11、角形AOB，以OA为边做等边三角形AOB；易证OE=OB=2，OBE=60°，则OBE是等边三角形；连接OO、BB、AE，它们的交点即为m最小时，P点的位置（即费马点）；OA=OB，BOB=AOE=150°，OB=OE，AOEBOB；BBO=AEO；在AE上截取EP=BP，又OB=OE，BBO=AEO，则OPBOPE；OP=OP；PA+PB+PO=AP+PP+PE=AE；即m最小=AE= ；如图；作正OBE的外接圆Q，根据费马点的性质知BPO=120°，则BPO+BOP=120°，而EBO=EOB=60°；PBE+POE=180°，B

12、PO+BEO=180°；即B、P、O、E四点共圆；易求得Q（ ，1），则H（ ，0）；AH= ；由割线定理得：APAE=OAAH，即：AP=OAAH÷AE= × ÷ = 故：m可以取到的最小值为 当m取得最小值时，线段AP的长为 （如遇不同解法，请老师根据评分标准酌情给分）坐标平面上以函数为纽带的四边形存在性探究极具综合性.举例探析如下.一、是否存在平行四边形？例1(2009抚顺市中考题)已知：如图1，抛物线y=ax2+x+c(a0)与x轴交于点A(-2,0)，点B(6,0),与y轴交于点C.(1)求出此抛物线的解析式(并写出顶点坐标)；(2)在抛物线上

13、有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，定出点D的坐标并求出直线AD的解析式；(3)在(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点M.抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q，是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.解析(1)据题意，得解得抛物线的解析式为，顶点坐标是(2,4).(2)点C在抛物线上，知C(0,3).若ABDC为等腰梯形，有CDAB.作DEAB，则BE=2，得D(4,3).从而有直线AD的解析式为.(3)假设存在点Q，使得以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，只能是，有两种情况：一是AP为边，二是AP为对角线.如图3(1)和

14、(2)分别可求出Q点的坐标.可得.如图3(1)，以AP1为边得，组成平行四边形AP1MQ1，以AP2为边得，组成平行四边形AP2MQ2；如图3(2)，以AP1为边得，组成平行四边形AMP1Q2，以AP2为边得，组成平行四边形AMP2Q1.存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形.此时点Q坐标为(-2+2,0)或(-2-2,0).点评假定存在，分类探究，数形结合，统一考察是探索坐标平面上以函数为纽带的四边形存在问题的有效方法.二、是否存在面积最大的四边形？例2(2009海南省中考题)如图4，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为(2,4)，矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、A

15、B分别在x轴和y轴上，且AD=2，AB=3.(1)求抛物线对应的函数解析式；(2)若矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图4所示的位置沿x轴正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速运动，设它们运动的时间为t秒(0t3).直线AB与抛物线的交点为N(如图5所示).当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由.设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.解析(1)由题意，又c=0，解得a=-1，b=4，抛物线的解析式为y=-x2+4x.(2)易知E(4,0).又M(2,4)，故直线EM的解析式为y=-2x+8

16、.当时，.把代入，点P不在直线ME上.因点N在直线x=t上，又在抛物线y=-x2+4x上，故E(t,-t2+4t)，BN=-t2+4t-3.S=S矩ABCD-SADP+SBCN.S存在最大值,最大值是.28. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B的坐标分别为A（0，3）和B（5，0），连接AB（1）现将AOB绕点O按逆时针方向旋转90°，得到COD，（点A落到点C处），请画出COD，并求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数关系式；（2）将（1）中抛物线向右平移两个单位，点B的对应点为点E，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F、P为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连接PE、P

17、F，当|PE-PF|取得最大值时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P使EPF为直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由考点：二次函数综合题专题：代数几何综合题分析：（1）根据旋转的性质知CODAOB，则OC=OA、OD=OB，由此可求出C、D的坐标，进而用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）将（1）题所得的抛物线解析式化为顶点式，然后根据“左加右减，上加下减”的平移规律得出平移后的抛物线解析式；联立两个函数的解析式即可得到F点的坐标；取E点关于平移后抛物线对称轴的对称点E，那么直线EF与此对称轴的交点即为所求的P点，可先求

18、出直线EF的解析式，联立这条对称轴的解析式即可得到P点的坐标；（3）可根据对称轴方程设出P点坐标，分别表示出PE、PF、EF的长；由于PEF的直角顶点没有确定，因此要分成三种情况考虑：EPF=90°，PEF=90°，PFE=90°；可根据上述三种情况中不同的直角边和斜边，利用勾股定理列出关于P点纵坐标的方程，求出P点的坐标解答：解：（1）AOB绕点O逆时针旋转90°得到CODOC=OA，OD=OBA（0，3），B（5，0）C（-3，0），D（0，5）设过B、C、D的抛物线解析式为y=a（x+3）（x-5），把D（0，5）代入5=a（0+3）（0-5）得a

19、=- ，y=- x2+ x+5；（2）由题意可知E点的坐标为（7，0）平移前抛物线为y=- x2+ x+5- （x-1）2+ 向右平移2个单位后的抛物线为y=- （x-3）2+ 解方程组 ，解得 ；F（2，5）取点E关于对称轴直线x=3的对称点E，则E（-1，0）设直线EF的解析式为y=kx+b，则有，解得 ；直线EF的解析式为y= x+ ；当x=3时，y= 当|PE-PF|取得最大值时，P点坐标为（3， ）；（3）设P（3，m），已求E（7，0），F（2，5）则PE2=（7-3）2+m2=m2+16EF2=（7-2）2+52=50PF2=（3-2）2+（m-5）2=m2-10m+26若PEF

20、=90°，则PE2+EF2=PF2，即m2+16+50=m2-10m+26，解得m=-4，p1（3，-4）若PFE=90°，则PF2+EF2=PE2，即m2-10m+26+50=m2+16，解得m=6，p2（3，6）若FPE=90°，则PF2+PE2=EF2，即m2-10m+26+m2+16=50，解得 ；综上所述，存在点P使EPF为直角三角形，p1（3，-4），p2（3，6）， 点评：此题主要考查了图形的旋转变换、二次函数解析式的确定、二次函数图象28.已知m、n是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根，那么m2+n2的最小值是 考点：二次

21、函数的性质；根与系数的关系分析：利用根与系数的关系可知：m+n=-2a，mn=a2+4a-2，则m2+n2=（m+n）2-2mn=4a2-2（a2+4a-2）=2a2-8a+4=2（a-2）2-4，此题还需考虑有实数根时a的取值范围，所以利用根的判别式求出a的取值范围，再利用二次函数的性质综合考虑求最小值则可解答：解：=（2a）2-4（a2+4a-2）0， 又x1+x2=-2a，x1x2=a2+4a-2，x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=2（a-2）2-4，根据二次函数的性质，a2时，函数值随a的增大而减小，当 时，m2+n2的值最小，此时 ，即最小值为 点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系注意还需考虑有实数根时a的取值范围，这是本题最易漏掉的