第三节定积分换元法和分部积分法

1、二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 第三节不定积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分的换元法一、定积分的换元法 换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和 分部积分法 第五五章 一、定积分的换元法一、定积分的换元法 定理定理1. 设函数, ,)(bacxf单值函数)(tx满足:1), ,)(1ct 2) 在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t证证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,)()(的一个原函数是设xfxf是的原函数 , 因此有则baxxfd)()()(afbf)(f)(ft

2、fd)(t)(tf)(tf)(t)(t机动 目录 上页 下页 返回 结束 则说明说明: :1) 当 , 即区间换为，时,定理 1 仍成立 .2) 必需注意换元必换限换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .3) 换元公式也可反过来使用 , 即) )(tx令xxfbad)(或配元f)(t)(dt配元不换限tfd)(t)(t机动 目录 上页 下页 返回 结束 tfxxfbadd)()(t)(ttfd)(t)(t例例1. 计算).0(d022axxaa解解: 令,sintax 则,dcosdttax ;0,0tx时当.,2tax时 原式 =2attad)2cos1 (2202)2sin21(22tt

3、a0242a20ttdcos222xayxoyas机动 目录 上页 下页 返回 结束 且例例2. 计算.d12240 xxx解解: 令, 12 xt则,dd,212ttxtx,0时当x,4时x.3t 原式 =ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt 13322; 1t机动 目录 上页 下页 返回 结束 且 例例3., ,)(aacxf设证证:(1) 若, )()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(则xxfaad)(2) 若, )()(xfxf0d)(aaxxf则xxfad)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad )()(0,d)

4、(20 xxfa时)()(xfxf时)()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零机动 目录 上页 下页 返回 结束 tx令二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 定理定理2. , ,)(, )(1bacxvxu设则)()(d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()(证证:)()()()( )()(xvxuxvxuxvxu)()(xvxuabxxvxuxxvxubabad)()(d)()(baxxvxud)()()()(xvxuabbaxxvxud)()(机动 目录 上页 下页 返回 结束 上积分两端在,ba例例4. 计算.darcsin210 xx解解: 原式 =xx arcsi

5、n021210 xxxd1212)1 (d)1 (212022121xx1221)1 (2x02112231机动 目录 上页 下页 返回 结束 20dcosttn20dcosxxn例例5. 证明证明20dsinxxinn证证: 令20dcosxxn,22143231nnnn n 为偶数,3254231nnnn n 为奇数,2xt则20dsinxxn022d)(sinttn令,sin1xun,sin xv 则,cossin) 1(2xxnunxvcossincos1xxinn022022dcossin) 1(xxxnn0机动 目录 上页 下页 返回 结束 2022dcossin) 1(xxxni

6、nn2022d)sin1 (sin) 1(xxxnn2) 1(ninnin) 1( 由此得递推公式21nnnnii于是mi2mm21212mi122mm而0i20dx,220dsinxxinn201dsinxxi1故所证结论成立 .0i1i机动 目录 上页 下页 返回 结束 22mi2232mm42mi 214312mi1222mm32mi 3254内容小结内容小结 基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.提示提示: 令, txu_d)(sindd0100ttxxx则ttxxd)(sin0100ud0 xu100s

7、inx100sin2. 设,0) 1 (,)(1fctf,lnd)(31xttfx).(ef求解法解法131d)(lnxttfx) 1 ()(3fxf)(3xf,3xu 令3ln)(uuf得uln3131)(ef解法解法2 对已知等式两边求导,xxfx132)(3,3xu 令uuf31)(得) 1 (d)()(1fuufefeeuu1131d31思考思考: 若改题为xttfxlnd)(313?)(ef提示提示: 两边求导, 得331)(xxfexxfef1d)()(机动 目录 上页 下页 返回 结束 得3. 设, 1 ,0)(连续在xf , 3)2(, 1)0(ff且,5)2( f求.d)2(

8、10 xxfx 解解: xxfxd)2(10)2(d2110 xfx10)2(21xfx xxfd)2(102510)2(41xf2(分部积分分部积分)机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业p249 1 (4) , (10) , (16) ; 6 ; 11 (4), (9), (10) 习题课 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1. 证明 证：2dsin)(xxxxxf是以 为周期的函数.2dsin)(xxuuxf tu令2d)sin(xxtt2dsinxxtt2dsinxxxx)(xf)(xf是以 为周期的周期函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 解：解：2.右端,)(上有连续的二阶导数在设baxf)(af且试证 babaxxfbxaxxxfd)(