热力学与统计物理学第八讲PPT课件

1、第八讲 Bose统计和Fermi统计理论一、Bose分布Bose系统的微观状态数为：lllllaa)!(!)!(11利用高等数学求极值的方法，再加上拉氏乘子法就可求得Bose系统 的最概然分布.对上式取对数，得：lllllaa)!1ln(!ln)!1ln(ln设,11lla因而llllllaa11,且可用近似式：)(ln!ln1mmm即有lllllllllaaaalnln)ln()(ln令la有la的变化，ln将有ln的变化，使为极大的分布，必使ln=0，有0lllllaaaln)ln(ln但各la不是任意的，必须满足条件：00lllllaEEaN,第1页/共32页第八讲 Bose统计和Fer

2、mi统计理论即得Bose分布为：1lEllea其中、拉氏乘子由以下条件确定：EeENelElllElll11,用拉氏乘子和乘这两个式子，并从ln中减去，得：0llllllaEaaln)ln(根据拉氏乘子法原理，上式中每一个la的系数都必须为零，有0llllEaaln)ln(Bose系统中粒子的最概然分布。第2页/共32页第八讲 Bose统计和Fermi统计理论二、Fermi分布Fermi系统的微观状态数为：lllllaa)!(!利用高等数学求极值的方法，再加上拉氏乘子法就可求得Fermi系统 的最概然分布Fermi分布为：1lEllea其中、拉氏乘子由以下条件确定：EeENelElllElll

3、11,当满足非简并条件 时，Bose分布和Fermi分布都过渡到Boltzmann分布1lla第3页/共32页第八讲 Bose统计和Fermi统计理论内容：从量子统计的最概然出发，给出热力学参量的表达式1、Bose系统系统的总粒子数为：llEllleaN1引入配分函数lllEe)(1取对数：lElle)ln(ln1则系统的总粒子数用配分函数表示为：lnN第4页/共32页第八讲 Bose统计和Fermi统计理论下面从Bose分布出发导出热力学量的表达式（1）内能（2）广义力llEllllleEaEU1通过 可将U表示为：lnlnU因为外界对系统的广义作用力Y是 的统计平均值，yElyEeayEY

4、llElllll1通过 可将Y表示为：lnlnyY1特例：lnVp1第5页/共32页第八讲 Bose统计和Fermi统计理论（3）熵根据lnUlnYY1和得：dyydYdydUln)ln()(ln因为是、y的函数，其全微分为：dyydddlnlnlnln故得：)lnln(ln)(dYdydU由上式可知，是（dU-Ydy）的积分因子，而由热力学第一定律可知：dSYdydUT)(1比较可知：有积分因子1/TkT1dNdYdydU)lnln(ln)(对于闭系，0dN所以上式简化为：第6页/共32页第八讲 Bose统计和Fermi统计理论)lnln(ln kddS所以积分得：)lnln(ln kS将l

5、Elle)ln(ln1代入上式再与Bose分布的微观状态数的对数 比较得：lllllllllaaaalnln)ln()(lnlnkSBoltzmann关系它给出了熵与微观状态数的关系。第7页/共32页第八讲 Bose统计和Fermi统计理论对于开系，将dNdYdydU)lnln(ln)(与开系的热力学基本方程dNYdxTdSdU比较 系数，得：kT拉氏因子与化学势的关系。dU第8页/共32页第八讲 Bose统计和Fermi统计理论下面从Fermi分布出发导出热力学量的表达式只要将巨配分函数改为：lllEe)(1其对数为：lElle)ln(ln1前面的讨论和有关公式完全适用。第9页/共32页第八

6、讲 Bose统计和Fermi统计理论三、光子气体前面讨论已知：空窖辐射的辐射能量密度与绝对温度的4次方成正比。下面我们将辐射场看成系统，分别从波动特性和粒子特性出发，利用统计物理方法来处理同样问题。（1）波动特性：空窖内的辐射场可以分解为一系列单色平面波的叠加。单色平面波的电场分量，有两个偏振方向，它们与波矢k垂直，并互相垂直。而具有一波矢k和一定偏振方向的单色平面波可以看作辐射场的一个自由度。它是以圆频率随时间作简谐变化，因此相当于一个振动自由度。在辐射场中有无穷多个k值，相应的k又有两个偏振方向，所以整个辐射场是具有无穷多个振动自由度的力学系统。由此求内能按频率的分布。第10页/共32页第

7、八讲 Bose统计和Fermi统计理论（2）粒子特性：将空窖的辐射场看作光子气体。光子的特征：每个光子具有确定的能量、动量、自旋； 其自旋为 ，相应两个偏振的投影是+1和-1； 光子的静止质量为零，即m=0；光子是Bose子的一种特殊情况。1下面我们统计物理方法来推导空窖辐射的辐射能量密度与绝对温度的关系。按相对论关系，即： ，因为m=0，所以得22222pccmE)( kccpE由于窖壁不断发射和吸收光子，在光子气体中，光子数不是恒定的。在导出Bose分布时，我们只引进一个拉氏乘子，这样光子的分布为：1lEllea第11页/共32页第八讲 Bose统计和Fermi统计理论0)(,VTNF在给

8、定温度和体积下，平均总光子数由空窖辐射自由能最小的要求确定， 即：N是平均总光子数。所以空窖辐射的化学势为零。VTNF,)(但1、空窖辐射的化学势第12页/共32页第八讲 Bose统计和Fermi统计理论dpphV2382、空窖辐射的平均光子数dcV232在体积为V的空窖内，在p到p+dp的动量范围内，光子的量子数为：因此在空窖内，在圆频率d 范围内的平均光子数为：1232kTedcV将 代入上式可得在体积为V的空窖内，在到+d 的圆频率内，光子的量子态数为：)( kccpE第13页/共32页第八讲 Bose统计和Fermi统计理论3、空窖辐射场的能量在体积为V的空窖内，在圆频率d 范围内，辐

9、射场的能量（内能）为：decVdTUkT1),(332辐射场能量按频率的分布。也称为Planck公式。讨论两种极限情况：（1）高频范围，1kT有略去。分母中的 11kTe因而有decVdTUkT332），（与维恩公式符合。第14页/共32页第八讲 Bose统计和Fermi统计理论（2）低频范围，1kT有kTekT1decVdTUkT1),(332此时式可近似为：kTdcVdTU232),(是Rayleigh和Jeas公式。上两式比较可看出，在低频范围，一个振动自由度的平均能量为kT。考虑到振动能量有两个平方项，这正是能量均分定理的结果。第15页/共32页第八讲 Bose统计和Fermi统计理论

10、将decVdTUkT1),(332对圆频率积分，可求得空窖辐射的内能为：decVUkT03321引入变量 ，上式可化为：kTydyeykTcVUy034321)(积分得：4334215VTckU空窖辐射的能量密度与绝对温度的 4次方成正比。（与热力学结果一致）第16页/共32页第八讲 Bose统计和Fermi统计理论4、Wien位移定律 根据Planck公式：decVdTUkT1),(332将dd22,代入Planck式:)(),(/1833kTheCVdhdTU考虑到2CddC,及dTUdTU),(),(得:185kThCedhCVdTU),(与最大辐射能量密度相对应的波长 由 决定,即:

11、m0),(TU01115276)(kThCkThCkThCekThCee第17页/共32页令kThCxm,则得:51 )(xxexe此超越方程的解是:x=4.96所以,khCTm964.上式指出，使辐射场的能量密度为极大值的 与温度T有关。称它为Wien位移定律 m第18页/共32页第八讲 Bose统计和Fermi统计理论decVdTUkT1),(332将Planck公式：乘以c /（4V）就得到辐射通量随频率的分布。由于这个分布随温度而变，因此可通过测量一个物体的辐射通量密度 随频率的分布就可以确定物体的温度。光测高温计就是根据这个原理制成的。例如;假定太阳是黑体,利用Wien位移定律 -9

12、64.kTm可求出太阳表面的温度.开日6000103814840964103106369642296423834.TkThCkThkTmm第19页/共32页四、电子气体第八讲 Bose统计和Fermi统计理论金属中共有化电子称为自由电子。电子气体遵从Fermi分布。（因为电子的自旋为 ）21温度为T时，处在能量为E的一个量子态上的平均的电子数为：11kTEef根据在体积V内，在某一动量范围内，自由电子的可能状态数为：dEEmhV2123322)(又考虑到电子自旋在其动量方向的投影有两个可能值，则在体积V内，在能量范围dE内，电子的量子态数为：dEEmhV2123324)(在体积V内，能量dE内

13、的平均电子数为：12421233kTEedEEmhV)(第20页/共32页第八讲 Bose统计和Fermi统计理论在给定粒子数N、温度T和体积V时，化学势由下式确定：NedEEmhVkTE124210233)(由上式可知： 是温度T和电子密度N/V的函数。讨论：（1）T=0K的电子分布 我们用0表示0K时电子气体的化学势。11kTEef由 可知：在0K时，0001EfEf,;,如图所示，在T=0K时，在E0的每一个量子态上，平均电子数为0，fE100K Fermi函数0是0K时电子的最大能量，可由下式定出：第21页/共32页第八讲 Bose统计和Fermi统计理论NdEEmhV21320324

14、0/)(将上式积分，可求出0为：3220832/)(VNmh称为Fermi能级。令 ，可得：mpEFF2200hVNpF3183/)(是0K时电子的最大动量， 称为Fermi动量。0K时电子气体的总能量是：002323353240NdEEmhVU/)(由上式可得， 0K时电子的平均能量是：053)/(第22页/共32页第八讲 Bose统计和Fermi统计理论（1）T0K的自由电子分布11kTEef由式 可知：EfEfEf,/,/,/212121如图所示，在T0K时，在E 的每一个量子态上，平均电子数小于1/2，只有在附近，数量级为kT的能量范围内，电子的分布与T=0K时的分布有差异。fE10.

15、50只有能量在附近，数量为kT范围内的电子对热容量有贡献。以Ne表示能量在附近kT范围内的电子对热容量作出贡献的有效电子数为：NkTNe第23页/共32页第八讲 Bose统计和Fermi统计理论将能量均分定律作用于有效电子，每一有效电子对热容量贡献为（3/2）kT， 则金属中的电子对热容量贡献为：)(kTNkCV23其中，在室温范围，2601kT所以，金属中的电子对热容量贡献远小于经典理论的数值。第24页/共32页第八讲 Bose统计和Fermi统计理论下面讨论自由电子热容量的定量计算：电子数N满足：021233124kTEedEEmhVN/)(由上式可确定自由电子气的化学势或Fermi能级。

16、电子气的内能为：023233124kTEedEEmhVU/)(上两式中的积分可写成下述形式：dEeEIkTE01)(其中是一个常数。）（，和分别为233232124/)(mhVCCECEE第25页/共32页第八讲 Bose统计和Fermi统计理论dEeEIkTE01)(对 作变数变换：kTxE则上式变为 ：00111dxekTxkTdxekTxkTkTdxekTxIxkTxkTx)()()(将 写成 ，代入上式得：11xe11111xxeedxekTxkTxkTdEEIx001)()()(第26页/共32页第八讲 Bose统计和Fermi统计理论dxekTxkTxkTdEEIx001)()()

17、(上式右方第二项中，已把积分上限都取作 。这是因为 而且因为被积函数分母中的 因子使对积分的贡献主要来自x小的范围。1kTxe故将被积函数的分子展开为x的幂级数，只取z的一次项，得：022020612.)()()(.)()()(kTdEEdxexkTdEEIx因此 的积分为：021233124kTEedEEmhVN/)()(/22238132kTCN第27页/共32页第八讲 Bose统计和Fermi统计理论023233124kTEedEEmhVU/)(因此积分可得:)(/222385152kTCU)(/22238132kTCN由得:3222238123/)()(kTCN当T=0K时,3223/

18、)(CN而23324/)( mhVC正好得到式(P311的 8.5.6)即:3220832/)(VNmh第28页/共32页第八讲 Bose统计和Fermi统计理论3222238123/)()(kTCN式中的第二项很小,可用 代替0kTkT得:32202081/)(kT将上式右边进一步展开,得到:)(2020121kT将 代入)(2020121kT)(/222385152kTCU并用相应的近似,得:)()()(/20202022520225012515385112152kTNkTkTCU_自由电子气体的内能第29页/共32页第八讲 Bose统计和Fermi统计理论由此得电子气体的定容热容量为:TkTNkTUCVV0022)(这结果与前面粗略分析的结果 只有系数的差异.)(kTNkCV23讨论:1.常温下电子的热容量远小于晶格振动的热容量.