垂径定理练习题汇总

1、一选择题（共7小题）1. （ 2014?凉山州）已知OO 的直径 CD=10cm , AB 是OO 的弦，AB=8cm，且 AB 丄 CD，垂足为 M，则 AC 的长为 （ ）A .cmB . :! y -cmC . -.cm 或 3 cmD .-；cm 或 *、jmcm2. （2014?舟山）如图，OO 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E,且 CE=2 , DE=8，贝UAB 的长为（）A . 2B . 4C . 6D . 83.（2014?毕节地区）如图，已知OO 的半径为 13,弦 AB 长为 24,则点 O 到 AB 的距离是（）AB 是OO 的直径，弦 CD 丄 AB 于点 E,则

2、下列结论正确的是（A . OE=BEB .:= 11C . BOC 是等边三角形D . 四边形 ODBC 是菱形5.（2014?南宁）在直径为 200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图.若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）I 160 fA. 40cmB. 60cmC. 80cmD . 100cm6.（2014?安顺）如图，MN 是半径为 1 的OO 的直径，点 A 在OO 上，/ AMN=30 点 B 为劣弧 AN 的中点.P 是直径 MN上一动点，则 PA+PB 的最小值为（）A . 67.(2014?沛县模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，OA 与 x

3、轴交于 B ( 2, 0)、C (8, 0)两点,与 y 轴相切于点 D，则点 A 的坐标是()10.(2009?长宁区二模)如图，点 C 在OO 的弦 AB 上，CO 丄 AO，延长 CO 交OO 于 D .弦 DE 丄 AB，交 AO 于F.(1) 求证：OC=OF;(2) 求证：AB=DE .C .(5, 3)(3,5)O 的直径为 10cm，弦 AB=8cm , P 是弦 AB 上的一个动点，求 OP 的长度范围.9. (2014?盘锦三模)如图,(1) 求 AB 的长；(2) 求OO 的半径.CD 为OO 的直径，CD 丄 AB，垂足为点 F, AO 丄 BC ,垂足为 E,二二BO

4、(4, 5)二解答题(共 7 小题)&(2014?佛山)如图，O0D12. （2008?长宁区二模）如图，在厶 ABC 中，AB=AC ,OO 过点 B、C,且交边 AB、AC 于点 E、F,已知/ A= / ABO , 连接 OE、OF、OB.（1）求证：四边形 AEOF 为菱形；（2）若 BO 平分/ ABC，求证：BE=BC .13.（2007?佛山）如图，OO 是厶 ABC 的外接圆，且 AB=AC=13 , BC=24，求OO 的半径.11.（2009?浦东新区二模） 一根横截面为圆形的下水管道的直径为宽 AB 为 0.6 米.（1） 求此时的水深（即阴影部分的弓形高） ；（

5、2）当水位上升到水面宽为 0.8 米时，求水面上升的高度.1 米，管内有少量的污水（如图），此时的水面14.（2007?青浦区二模）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧AB ），点 O 是这段弧的圆心，点 C 是弧AB 上的一点，OC 丄 AB，垂足为 D，女口 AB=60m , CD=10m，求这段弯路的半径.参考答案与试题解析一 选择题（共 7 小题）1. （ 2014?凉山州）已知OO 的直径 CD=10cm , AB 是OO 的弦，AB=8cm，且 AB 丄 CD，垂足为 M，则 AC 的长为 （ ）_ _A . /cmB.C.2/Scm或cm D .厶历 cm 或 4/ cm考

6、点：垂径定理；勾股定理.专题：分类讨论.分析：先根据题意画出图形，由于点C 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论.解答：解：连接 AC , AO ,/OO 的直径 CD=10cm,AB 丄 CD,AB=8cm,. AM=2AB=丄 8=4cm , OD=OC=5cm ,22当C点位置如图 1 所示时，/ OA=5cm , AM=4cm , CD 丄 AB ,OM=辽-=3cm，/ CM=OC+OM=5+3=8cm , AC=：丁 = j _=4cm； 当 C 点位置如图 2 所示时，同理可得 OM=3cm ,/ OC=5cm ,/ MC=5 - 3=2cm ,在 RtAMC中，AC=“ ：二

7、=2、.：二 cm .点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.2. （2014?舟山）如图，OO 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E,且 CE=2 , DE=8，贝UAB 的长为（c考点：垂径定理；勾股定理.专题：计算题.分析：根据 CE=2 , DE-8 ,得出半径为 5,在直角三角形 OBE 中，由勾股定理得 BE,根据垂径定理得出 AB 的长.解答：解： CE=2 , DE=8 , OB=5 , OE=3,/ AB 丄 CD ,在 OBE 中，得 BE=4 , AB=2BE=8 . 故选：D.点评：本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟

8、练掌握.3. （2014?毕节地区）如图，已知OO 的半径为 13,弦 AB 长为 24,则点 O 到 AB 的距离是（）A . 6B . 5C . 4D . 3考点：垂径定理；勾股定理.分析：: 过 O 作 OC 丄 AB 于 C,根据垂径定理求出 AC,根据勾股定理求出 OC 即可.解答：解：过 O 作 OC 丄 AB 于 C,/ OC 过 O, AC=BC=AB=12 ,2在 Rt AOC 中，由勾股定理得： OC=32 _ 1 护=5.点评：本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC 的长.4.（2014?三明）如图，AB 是OO 的直径，弦 CD 丄 AB 于点 E,则下列结

9、论正确的是（cBD点评：本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.6. （2014?安顺）如图，MN 是半径为 1 的OO 的直径，点 A 在OO 上，/ AMN=30 点 B 为劣弧 AN 的中点.P是直径 MN 上一动点，则 PA+PB 的最小值为（）A . OE=BEB.心HC . BOC 是等边三角形D. 四边形 ODBC 是菱形考点：垂径定理.分析：根据垂径定理判断即可.解答：解：AB 丄 CD, AB 过 O, DE=CE , BDC,根据已知不能推出 DE=BE , BOC 是等边三角形，四边形 ODBC 是菱形. 故选：B.点评：本题考查

10、了垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力.5.（2014?南宁）在直径为 200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图.若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）J fA . 40cmB. 60cmC. 80cm|D . 100cm考点：垂径定理的应用；勾股定理.J 160 t考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理.分析：作点 B 关于 MN 的对称点 B,连接OA、OB、OB 、AB,根据轴对称确定最短路线问题可得AB 与 MN 的交点即为 PA+PB 的最小时的点，根据在冋圆或等圆中，冋弧所对的圆心角等于圆周角的2 倍求出/ AON=60 然后求出/ BON=

11、30 再根据对称性可得/ BON= / BON=30 然后求出/ AOB =90从而 判断出 AOB是等腰直角三角形， 再根据等腰直角三角形的性质可得 AB .：OA，即为 PA+PB 的最小值.解答：解：作点 B 关于 MN 的对称点 B，连接 OA、OB、OB、AB ，则 AB 与 MN 的交点即为 PA+PB 的最小时的点，PA+PB 的最小值=AB ，/ AMN=30 / AON=2/AMN=2X30=60,点 B 为劣弧 AN 的中点，/ BON=1 / AON=2 X50=30 2 2由对称性，/ B ON= / BON=30 / AOB = / AON+ / B ON=60 30

12、 90 , AOB 是等腰直角三角形，AB=TOA=TX=Vj，即 PA+PB 的最小值=_.故选：A.点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，在冋圆或等圆中，冋弧所对的圆心角等于圆周角的2 倍的性质，作辅助线并得到AOB 是等腰直角三角形是解题的关键.7.(2014?沛县模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，OA 与 x 轴交于 B ( 2, 0)、C (8, 0)两点,与 y 轴相切于点 D，则点 A 的坐标是()C .(5, 3)30P O(4, 5)考点：坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理. 专题：压轴题.分析： 因为点 A 在第一象限，OA 与 x 轴交于 B (2, 0

13、)、C (8, 0)两点，与 y 轴相切于点 D ,所以 OB=2 , OC=8 , BC=6，连接 AD，贝UAD 丄 OD，过点 A 作 AE 丄 OC 于 E，贝UODAE 是矩形，由垂径定理可知 BE=EC=3 , 所以 OE=AD=5，再连接 AB，则 AB=AD=5，利用勾股定理可求出 AE=4，从而就求出了 A 的坐标.解答： 解：连接 AD , AB , AC,再过点 A 作 AE 丄 OC 于 E,贝UODAE 是矩形，点 A 在第一象限，OA 与 x 轴交于 B (2, 0)、C (8, 0)两点，与 y 轴相切于点 D , OB=2 , OC=8, BC=6 ,TOA 与

14、 y 轴相切于点 D, AD 丄 OD ,由垂径定理可知：BE=EC=3 , OE=AD=5 , AB=AD=5 ,利用勾股定理知 AE=4 , A (5 , 4).故选 A.点评： 本题需综合利用垂径定理、勾股定理来解决问题.二解答题(共 7 小题)& (2014?佛山)如图，OO 的直径为 10cm ,弦 AB=8cm , P 是弦 AB 上的一个动点，求 OP 的长度范围.考点：垂径定理；勾股定理.专题：几何图形问题.分析： 过点 O 作 OE 丄 AB 于点 E ,连接 OB,由垂径定理可知 AE=BE= AB ,再根据勾股定理求出OE 的长，由2此可得出结论. 解答： 解：过

15、点 O 作 OE 丄 AB 于点 E,连接 OB,/ AB=8cm , AE=BE =丄 AB=丄 8=4cm,22TOO 的直径为 10cm , OB=丄 Xl0=5cm ,2OE=JOB? -BE- 护=3cm,T垂线段最短，半径最长,2 3cmOP5cm.食J点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.9. (2014?盘锦三模)如图， CD 为OO 的直径，CD 丄 AB，垂足为点 F, AO 丄 BC ,垂足为 E,二二 二,先根据 CD 为00的直径，CD丄AB得出山故可得出/C=-/AOD，由对顶角相等得出/ AOD= / COE，故可得出/

16、 C=2/ COE，再根据 AO 丄 BC 可知/ AEC=90 故/ C=30 再由直角三角形2的性质可得出 BF 的长，进而得出结论；(2)在 RtAOCE 中根据/ C=30。即可得出 OC 的长.解答：解：(1 ). CD 为OO 的直径，CD 丄 AB ,丄=_L , AF=BF , / C= / AOD ,2/ AOD= / COE,/ C= / COE,2/ AO 丄 BC ,/ AEC=90 / C=30 / BC=2 :, BF= BC=:,J:.AB=2BF=2 :;(2)vAO 丄 BC,BC=2:,CE=BE= BC=；,/ C=30 ,OC=*=2，即0O的半径是2.

17、考点：分析：垂径定理；等边三角形的判定与性质.(1)求 AB 的长；(2)求OO 的半径.点评：本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”是解答此题的关键.10.(2009?长宁区二模)如图，点 C 在OO 的弦 AB 上，CO 丄 AO，延长 CO 交OO 于 D .弦 DE 丄 AB，交 AO 于F.(1) 求证：OC=OF;(2) 求证：AB=DE .考点：垂径定理；全等三角形的判定.专题：证明题.分析：(1) 、由同角的余角相等可得，/ DFO= / OCA，由 AAS 证得 ACODFO，故有 OF=OC ;(2) 、证得/ DOE= / AOB，再由

18、 SAS 得到 OABODE ? AB=DE .解答： 证明：(1 )/ D+ / DCA= / D+ / DFO=90 / DFO= / OAC .又 OD=OA，/ DOF= / AOC=90 ACODFO . OF=OC .(2)连接 OB、OE,/ OE=OD , OA=OB ,/D=/E,ZA=/B./DOE=180 - 2 / D，/ AOB=180 -2 / A . 由 1 知，ACODFO，有/ A= / D ./DOE=/AOB.又 OE=OD=OA=OB , OABODE . AB=DE .点评：本题利用了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等边对等角求解.11.(20

19、09?浦东新区二模)一根横截面为圆形的下水管道的直径为 宽 AB为 0.6 米.(1)求此时的水深(即阴影部分的弓形高) ；(2) 当水位上升到水面宽为 0.8 米时，求水面上升的高度.1 米，管内有少量的污水(如图)，此时的水面考点：垂径定理的应用.分析： 作半径 0C 丄 AB，连接OA，则 CD 即为弓形高.根据垂径定理的AD= AB，然后根据已知条件求出CD2的长；当水位上升到水面宽 MN 为 0.8 米时，直线 OC 与 MN 相交于点 P,由此可得 OP=0.3,然后根据 MN 与 AB 在圆心同侧或异侧时两种情况解答.解答： 解：(1)作半径 OC 丄 AB，垂足为点 D，连接O

20、A，贝 U CD 即为弓形高/ OCXAB,-AD=|AB* AO=0.5 , AB=0.6 ,AD=2AB=2X).6=0.3,2 2OD= JAQ- AD凸寸0.护0. 3凸0.4， CD=OC - OD=0.5 - 0.4=0.1 米，即此时的水深为 0.1 米(2)当水位上升到水面宽MN 为 0.8 米时，直线 OC 与 MN 相交于点 P同理可得 OP=0.3,当 MN 与 AB 在圆心同侧时，水面上升的高度为0.1 米；当 MN 与 AB 在圆心异侧时，水面上升的高度为0.7 米.点评：本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力.12. (2008?长宁区二模)如图，在厶 ABC

21、中，AB=AC ,OO 过点 B、C,且交边 AB、AC 于点 E、F,已知/ A= / ABO , 连接 OE、OF、OB.(1) 求证：四边形 AEOF 为菱形；(2) 若 BO 平分/ ABC，求证：BE=BC .考点：菱形的判定；平行线的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆的认识；垂径定理.专题：证明题.分析：(1)连接 AO 并延长 AO 交 BC 于 M 过 0 作 0Q 丄 AB 于 Q,连接 0C,根据等腰三角形的性质证出/ BAC= / ABO= / ACO，推出/ BAC= / OEB= / OFC，得出 AE / OF, AF / 0E,再 OE=O

22、F，即可推出答 案；(2)根据角平分线定理求出 OQ=OM，根据勾股定理求出 BQ=BM，根据垂径定理即可推出结论.解答： 证明：(1)连接 AO 并延长 AO 交 BC 于 M 过 O 作 OQ 丄 AB 于 Q, OR 丄 AC 于 R,连接 OC ,/ OB=OC ,/ OBC= / OCB ,/ AB=AC ,/ ABC= / ACB ,/ ABO= / ACO ,/ BAC= / ABO ,/ BAC= / ABO= / ACO ,/ OE=OB , OC=OF ,/ ABO= / OEB，/ ACO= / OFC,/ BAC= / OEB= / OFC , AE / OF , AF

23、 / OE ,四边形 AEOF 是平行四边形，/ OE=OF,平行四边形 AEOF 为菱形.(2)v圆 O 过 B、C, O 在 BC 的垂直平分线上，/ AB=AC , AM 丄 BC,/ BO 平分/ ABC , OQ 丄 AB , OQ=OM ,由勾股定理得：BM=BQ ,由垂径定理得：BE=BC .EC3点评：本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的判定，菱形的判定，垂径定理，圆的认识，角平分线的性质，平行线的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是证此题的关键.13.（2007?佛山）如图，OO 是厶 ABC 的外接圆，且 AB=AC=13 , BC=24，求OO 的半径.考点：垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理.专题：压轴题.分析： 可通过构建直角三角形进行求解.连接OA , OC,那么 OA 丄 BC .在直角三角形 ACD 中，有 AC , CD 的值，AD 就能求出了；在直角三角形 ODC 中，用半径表示出 OD, OC,然后根据勾股定理就能求出半径了.解答： 解：连接 OA 交 BC 于点 D，连接 OC, OB ,/ AB=AC=13 ,爲蹴,/AOB=/AOC,/