最新广东省广州市高三4月综合测试数学理试题WORD版含答案

1、 试卷类型：b广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科） 20xx.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1对于任意向量、，下列命题中正确的是a b c d2直线与圆的位置关系是a相交 b相切 c相离 d取决于的值文3（理1）若（是虚数单位）是关于的方程（）的一个解，则a b c d4已知函数的图象如图1所示，则其导函数的图象可能是xyo图1yxoaxobxocxodyyy 5若函数的一个对称中心是，则的最小值为a1 b2 c4 d86一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示若一个平行于 圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为

2、17的上、下两部分，则截面的面积为a b c d46图27某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即使用多少年的年平均费用最少）是 a8年 b10年 c12年 d15年8记实数，中的最大数为，最小数为，则a b1 c3 d9某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔的数量之比依次为234现用分层抽样的方法抽出一个容量为的样本，其中甲型钢笔有12支，则此样本容量 10已知 为锐角，且，则 11用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成 个没有重复数字且能

3、被5整除的五位数（结果用数值表示）12已知函数，点集，则所构成平面区域的面积为 13数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，记数列的前项和为，则 ； 14（几何证明选讲选做题）在中，是边的中点，点在线段上，且满足，延长交于点，则的值为 15 （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点，点是曲线上任意一点，设点到直线的距离为，则的最小值为 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）某单位有、三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点，使得发射点到三

4、个工作点的距离相等已知这三个工作点之间的距离分别为，假定、四点在同一平面内（1）求的大小；（2）求点到直线的距离17（本小题满分12分）已知正方形的边长为2，分别是边的中点（1）在正方形内部随机取一点，求满足的概率；（2）从这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为，求随机变量的分布列与数学期望18（本小题满分14分）等边三角形的边长为3，点、分别是边、上的点，且满足（如图3）将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结、 （如图4）（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由bced图4图3abcde19（本小题满分14分）

5、已知，设命题：函数在区间上与轴有两个不同的交点；命题：在区间上有最小值若是真命题，求实数的取值范围20（本小题满分14分）经过点且与直线相切的动圆的圆心轨迹为点、在轨迹上，且关于轴对称，过线段（两端点除外）上的任意一点作直线，使直线与轨迹在点处的切线平行，设直线与轨迹交于点、（1）求轨迹的方程；（2）证明：；（3）若点到直线的距离等于，且的面积为20，求直线的方程21（本小题满分14分）设是函数的零点（1）证明：；（2）证明：数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678答案dacabcbd二、填空题：本大题查基本

6、知识和基本运算，体现选择性共7小题，每小题5分，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题第13题第一个空2分，第二个空3分954 10 11 12 13； 14 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分）解：（1）在中，因为，由余弦定理得 2分 3分因为为的内角，所以4分（2）方法1：因为发射点到、三个工作点的距离相等，所以点为外接圆的圆心5分设外接圆的半径为，在中，由正弦定理得， 7分因为，由（1）知，所以abcod所以，即8分过点作边的垂线，垂足为，9分在

7、中，所以 11分 所以点到直线的距离为12分方法2：因为发射点到、三个工作点的距离相等，abcod所以点为外接圆的圆心5分连结，过点作边的垂线，垂足为， 6分由（1）知，所以所以9分在中，所以11分所以点到直线的距离为12分17（本小题主要考查几何概型、随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运算求解能力与数据处理能力等，本小题满分12分）解：（1）这是一个几何概型所有点构成的平面区域是正方形的内部，其面积是 1分满足的点构成的平面区域是以为圆心，为半径的圆的内部与正方形内部的公共部分，它可以看作是由一个以为圆心、为半径、abcdefgh圆心角为的扇形的内部（即四分之一个圆）与两个直角边为1

8、的等腰直角三角形（和）内部构成 2分其面积是3分所以满足的概率为4分（2）从这八个点中，任意选取两个点，共可构成条不同的线段 5分其中长度为1的线段有8条，长度为的线段有4条，长度为2的线段有6条，长度为的线段有8条，长度为的线段有2条所以所有可能的取值为7分且， ， ， 9分所以随机变量的分布列为：10分随机变量的数学期望为12分abcde18（本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力等，本小题满分14分）证明：（1）因为等边的边长为3，且，所以，在中，由余弦定理得因为，所以折叠后有2分因为二面角是直二面角，所以平面平面3分又平面平面，平面

9、，所以平面 4分（2）解法1：假设在线段上存在点，使直线与平面所成的角为bcedhp如图，作于点，连结、5分由（1）有平面，而平面，所以6分又，所以平面7分所以是直线与平面所成的角 8分设，则，9分在中，所以10分在中，11分由，得12分解得，满足，符合题意13分所以在线段上存在点，使直线与平面所成的角为，此时14分解法2：由（1）的证明，可知，平面bcedhxyzp 以为坐标原点，以射线、分别为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系如图 5分设，则， 6分所以，7分所以8分因为平面，所以平面的一个法向量为9分因为直线与平面所成的角为，所以 10分，11分解得 12分即，满足，符合题意 13分

10、所以在线段上存在点，使直线与平面所成的角为，此时14分19（本小题主要考查二次函数的交点与分段函数的最值、常用逻辑用语等基础知识，考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力、抽象概括能力等，本小题满分14分）解：要使函数在上与轴有两个不同的交点，必须2分即4分解得所以当时，函数在上与轴有两个不同的交点5分下面求在上有最小值时的取值范围：方法1：因为6分当时，在和上单调递减，在上无最小值；7分当时，在上有最小值；8分当时，在上单调递减，在上单调递增，在上有最小值9分所以当时，函数在上有最小值10分方法2：因为6分因为，所以所以函数是单调递减的7分要使在上有最小值，必须使在上单调递增或为常数8分

11、即，即9分所以当时，函数在上有最小值 10分若是真命题，则是真命题且是真命题，即是假命题且是真命题11分所以 12分解得或 13分故实数的取值范围为14分20（本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）方法1：设动圆圆心为，依题意得，1分整理，得所以轨迹的方程为2分方法2：设动圆圆心为，依题意得点到定点的距离和点到定直线的距离相等，根据抛物线的定义可知，动点的轨迹是抛物线1分且其中定点为焦点，定直线为准线所以动圆圆心的轨迹的方程为2分（2）由（1）得，即，则设点，由导数的几何意义知，直线的斜率为3

12、分abcdoxyle由题意知点设点，则，即4分因为，5分由于，即6分所以7分（3）方法1：由点到的距离等于，可知8分不妨设点在上方（如图），即，直线的方程为：由解得点的坐标为10分所以由（2）知，同理可得11分所以的面积，解得12分当时，点的坐标为，直线的方程为，即13分当时，点的坐标为，直线的方程为，即14分方法2：由点到的距离等于，可知8分由（2）知，所以，即由（2）知，所以即 由（2）知 不妨设点在上方（如图），即，由、解得10分因为，同理 11分以下同方法121（本小题主要考查函数的零点、函数的导数和不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）证明：（1）因为，且在上的图像是一条连续曲线，所以函数在内有零点1分因为，所以函数在上单调递增2分所以函数在上只有一个零点，且零点在区间内而是函数的零点，所以3分（2）先证明左边的不等式：因为，由（1）知，