16章二次根式知识点及例题

1、第十六章二次根式知识点一、二次根式1.定义 ：一般地，我们把形如a( a0) 的式子叫做二次根式，称为二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数注意 ： (1)二次根号的定义是从形式上界定的，即必须含有二次根号“ ”(2)二次根式的被开方数可以是一个数字，也可以是一个代数式，但必须满足被开方数大于等于0(3)根指数是 2，这里的 2 可以省略不写(4)形如 ba (a0) 的式子也是二次根式，它表示b 与a 的乘积例题：1.下列各式中，一定是二次根式的是(1) 3 27(2)9(3)3a2(4) x21(5)a22a1(6) 2x 1 x1(7)a 28a 1622.下列各式中，一定是二次根式的是

2、（）A.7B.x2 1（ x 为任意实数）C.m （ m 为任意实数）D.3 3练习：1.下列各式中，一定是二次根式的是(1) 3 3(2)4(3)x21(4)xy (x0, y0)(5)3a28(6)x26 x122.下列各式中，一定是二次根式的是（）A.9B.x21 （ x 为任意实数）C.m2 （ m 为任意实数）D. 3 5知识点二、二次根式有意义的条件1.从总体上描述：在二次根式a 中，当 a0 时，a 有意义，当a0 时，a 无意义2.从具体的情况总结，如下：(1) 单个二次根式如A 有意义的条件：A0 ；A0(2)多个二次根式相加A +BN 有意义的条件：B0；N0(3)二次根式

3、作为分式的分母如B有意义的条件： A0 ；A(4)AA0二次根式作为分式的分子如有意义的条件：BB0第1 页例题：1.当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义(1) 3x 1(2) 1 xx11(5) x21(6) x22 x 3(3)2(4) 2 x 1xx12.函数 yx1 自变量的取值范围是（）A. x1B. x1C. x 0D. x 03.若1有意义，则 x 的取值范围是 _x2练习：1.若式子x3 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A. x 3B. x 3C. x 3D . x 32.下列四个式子中，x 的取值范围为 x2 的是（）A.2xB.x2C.1x2x 2D

4、.2x3.x2 有意义的 x 的取值范围是 _x1知识点三、二次根式的性质（重点，难点）性质 1：式子a( a0) 具有 双重非负性 ，它即表示二次根式，又表示非负数a 的算式平方根，具体描述为： (1) a 是非负数，a 的最小值是 0； (2)a 的被开方数 a 是非负数注意 ：几个非负数的和为0 时，这几个非负数必须同时为0例题：1.(2015. 外国语期末卷 )若x2y10 ，则 xy =_ 2.若x2( y 1)20 ，则xy =_ 3.若x3z2( y1)20，则 (xyz)2015 =_ y4.若 y2xx25 ，求 x 的值 _5.若xy32 xy60，求 x， y 的值第2

5、页练习：1. (2015. 铜盘中学期末卷)若 x， y 为实数，且y2x20 ,则 ( x) 2015 的值为 _y2.若x3y22y10 ，则 ( xy)2 =_3.已知 a,b 为实数，且a52 102 ab4 ，求 a ， b 的值4.若 a23a 1 b22b 1 0 ，求 a21b 的值a 2性质 2： ( a) 2a( a0)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身注意 ：不能忽略 a 02这一限制条件，导致类似44 的错误性质 3： a 2aa (a0) ，即当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它本身，记为 a2a(a0) ；a(a0)当一个数为非负数时，它的平方的算

6、术平方根等于它的相反数，记为2a(a 0) a注意 ：不要认为 a 一定是非负数，从而出现如( 2)22 的错误a 2 与 (a )2 的区别与联系：表达式(a) 2aa2a意义不同(a )2 表示非负数 a 的算式平方根的平方a 2表示实数 a 2的算术平方根取值范围不同a0a 为任意实数区别(a )2a( a 0)a 2a (a0)运算结果不同a0)a (a运算顺序不同(a )2 表示非负数 a 先开平方再作平方a 2表示对实数 a 先平方再开平方运算联系a2与 (a) 2 均为非负数，且当a 0 时，a2( a )2例题：第3 页1.计算：3)2(2) ( 102)22)2114)2(1

7、) (3)(3(4) (5322.计算：(1) (3)2(2) (3)2(3) ( 6)2(4) (3.14)2553.当 m<3 时，(m3)2_ 4.设三角形的三边长为a ， b ， c ，试化简：( abc)2( abc)2( bac)2( cba)2 练习：1.计算：(1)(3.4) 2(2)(3.4) 2(3)(3)2(4)(4)22.若 2a3 ，则(2 a)2(a 3)2等于（）A.52aB.1 2aC. 2a5D.2a 13.已知实数 a、 b 在数轴上的位置如图所示，化简：a2 +b2(a b) 24.已知 a 为实数，求代数式a224aa2 的值知识点四、二次根式的乘

8、除第4 页1.二次根式的乘法法则：a g bab(a0,b0) 提示 ： (1)在设计二次根式运算时没有特备说明，所有字母都表示正数；(2) a,b 可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的推广 ：a g b g c g dabcda0,b0,c0,d0 2.a g bab 的逆运用：abag b （ a0,b0 ）例题：1.计算：(1)26(2)627(23)(3)(121)(196)(4) (13)(33)(5)3xy g 8y3(6)7x3 y g 8y2.化简： (1) 9 125224(2)33.(1) 比较 3 5 与 43 的大小 _， (2) 比较 55与63 的大小 _ 练习

9、：1.计算：(1)( 121)( 196)(2)(13)(33)(3)4x2 y3 g 9y2(4)5x3 yg 9xy2.化简： (1)16121(2)29633.比较 65与 4 6 的大小 _ ， (2)比较 8 3与3 8 的大小 _3.分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。第5 页有理化因式： 两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个二次根式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式有理化因式两项二次根式有理化因式aaababababababababmanbman b分母有理化的方法与步骤：（ 1）现将分子、分母化成最简二次根式

10、；（ 2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；（ 3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式。例题：11.化简为（）abA. abB. abababC.bD .baa2.下列各式中正确的是（）12 112C.1000 10 5D.220A.B.50540602133.已知 a=56 ，b=1，则 a与 b 的大小关系式是ab.6 55.将下列各式分母有理化 .(1)1(2)11(3) 3 12a3b25285c2（ 4）32mn（ mn）（ 5）（ 6）m315 23n练习：第6 页1.已知 a= 31，则 a 与 b 的关系是（）2 ， b=32A.a=bB.ab=1C. a

11、=-bD.ab=-12.满足不等式44的整数共有（）个3<x<523A.4B. 5C. 6D. 73. 25 的倒数是.4.设 a7 ,b23 ,c1，则 a 、 b 、 c 从小到大的顺序是.325.将下列各式分母有理化 .（ 1）2 y 2（ 2）2a0.224 xya b（ 3）（ 4）0.5xy4.二次根式的除法法则aa：(a 0,b 0)bb提示 ：乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式例题：1.计算： (1) 486(2) 417(3) 3a3b4ab2510练习：1.计算： (1) 588(2

12、)24(3) 8a3b24a3b25154.最简二次根式： (1)被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；(2) 被开方数中不含分母，小数；(3) 分母中不含根式第7 页例题：1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A. 0.2B.a 2b 2C.1D .4ax2.(2014. 华伦单元卷 )把 a1）根号外的因式移动到根号内的结果是（aA.aB.aC.aD .a3. 24n是整数，则正整数 n 的最小值是（）A.4B. 5C. 6D. 7练习：1.下列根式中不是最简二次根式的是（）A. 2B.6C.8D.102.下列各式中，属于最简二次根式的是（）A.x2 1B. x yC.12D .11x

13、2a1）3.化简二次根式 aa2的结果是（A.a 1B.a 1C.a 1D.a 14.已知 a<b，则化简a3 b 的结果正确的是（）A.aabB.aabC. aabD. aab5. 48n是整数，则正整数 n 的最小值是（）A. 3B. 4C. 5D . 66.李明的作业本上有四道题：(1) 16a44a2，(2)5a g10a5a 2 ， (4)1a213a2aa ，如果你是他的数学老aga ，(4)aa师，请找出他做错的题是（）A. (1)B. (2)C. (3)D. (4)知识点五、二次根式的加减1.加减法 ：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二

14、次根式进行合并第8 页注意：同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同， 这样的二次根式叫做同类二次根式，例如2 和 32 。一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式。要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化成最简二次根式后，再判断。例题：1.下列计算正确的是（）A.4333 1B.235C.212D .3225222.填空(1)5x +2 x =(2)24 +6(3) 528 =(4)2712=3.计算(1)271(2)4545842123(3) 1218323 2(4)2x19 x 642 x3x练习：1. (2014.外国语学校期中卷 )下列计算正确的

15、是（）A.2 36B.235C.8 4 2D .4222.(2015.平南县月考卷)若18x2x2， 则 x 的 值 为 （）x102xA. 4B.2C. 2D.43.计算(1)752712(2)12124863第9 页2(3)2231(4) 6 xy3xy34 yx36xy182xyy2.混合运算 ：有理数的加法交换律、结合律， 乘法交换律、 结合律， 乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算例题：1.下列计算正确的是（）A.133164B. 121 412111C.52 52114D. 422332.下列计算正确的有（）4 9496，4949 6， 524 25 45

16、41，5 24252421A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.正方形的对角线长是32cm，则正方形的周长是，面积是4.计算(1)483273(2)464182232(3)318141(4)4854233150321523第10页5.若 3， m， 5 三角形的三边，化简(2 m)2(m 8) 2 6.化简求值：2 x ? 9xx 2?16x ?x ，其中 x=53x 34练习：1.下列化简或计算正确的是（）A.33B.1 1118C.6392 3D. 2416422497722.已知 a35 ， b35 ，则代数式a2abb2 的值是（）A. 24B.26C.26D.253.已知矩形的

17、周长为 (4872)cm，一边长为 ( 312)cm，矩形的另一边长为，面积为4. 计算：(1)48127(2)12212184(3) 126(31)(31)(4) 2x 3xy2y27x3x363xy3第11页(5)2110(6)( 3+22 2)( 3+2+2 2)( 3)( )4 20153x2x化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值5.先将÷x32x2x2ab2ab b23 +1， b3 -16.(2014. 华 南 实 验 中 学 期 末 卷 ) 先化简，再求值：a，其中 aaa知识点六、二次根式强化1.非负数和为0： 0 + 0 = 01.若 ( x2)2|

18、 xy2|xyz0 ，则 x2 y3z2.已知x2 y 3x2y8 0，求 ( xy) x 的值第12页3.若三角形的三边a 、 b 、 c 满足 a24a4b50 ，若第三边 c 为奇数，求 c 的值4.已知 x， y 为实数，且满足1x( y1) 1y0 ，求 x2015y2015 的值2. AA0得： A0A ：A01.当 x _时，式子x2 x2有意义2.已知 y2x 552x3 ，则 2xy 的值为（）A. -15B. 151515C.D.223.(2014. 华伦单元卷 )若x 11xx2）y ，则 x-y 的值为（A. -1B. 1C. 2D. 34.若实数 a,b,c 满足b2

19、a4ab5c 22 c ，试求 a2b2c2 的值3.绝对值结合数轴化简：a 2a( a0)a0)a(a1.(2014?黔南州 )实数 a 在数轴上的位置如图，化简(a 1)2a =2.(2015 春 ?姜堰市期末 )已知实数a， b， c 在数轴上的位置如图所示，化简：a2ac(cb)2b 第13页3.若3x2 ，试化简：x2x3 2x210x25 4.若xx ，则 x0 1.如果x2x0 成立，那么x 的取值范围是（）A. x > 0B. x 0C. x < 0D. x02.( x2)22x ，则 x 的取值范围是（）A. x 2B. x0C. x x 2D. x25.整体化简

20、：先判断根号有意义的取值范围，再看整体正负值不变1.(2010?祁门县校级模拟 )使式子aa）5成立的条件是（aa 5A. a 5B. a 5C. 0a 5D. 0a52.把 ( a 1)中根号外的（ a1） .1移入根号内得（a1A. a 1B. 1 aC. a 1D. 1 a6. x2 y2 ax by c 0 ：配方成平方和为 0 的形式1.已知 x2y22x4 y50 ，求 xy 的值第14页2.已知 a2a1b24b40 ，求 a22abb2 的值7.乘法公式的灵活运用1.若 xab , yab ，则 xy 的值为（）A.2 aB.2 bC. a bD . a b2.如果yx32 ，

21、那么 yx 的值等于（）xy2xyA.3B.57922C.D .223.(2010?祁门县校级模拟)计算 (23)2008 (23)2009( 2)0=12 ，求 a2114.已知 aa2 的值 .，求 a的值aa5.已知 x23x 1 0 ，求 x212 的值x26.已知 a1， b1，求 a3bab 3 的值1212第15页8.整数和小数 1.星期天，张明的妈妈和张明做了一个小游戏，张明的妈妈说：“你现在学习了二次根式，若x 表示10 的整数部分， y 表示它的小数部分，我这个纸包里的钱是( 10x) y 元，你猜一猜这纸包里的钱是多少？若猜对了，这纸包里的钱全给你”请问他妈妈包里的钱是2.x、 y 分别为 811 的整数部分和小数部分，则2xyy2 3.(2011?凉山州 )已知 a、 b 为有理数， m、n 分别表示 57 的整数部分和小数部分，且 amnbn 21，则2a+b=9.其他1.(2014. 英才单元卷 )当 a=时，代数式2a 1 1取值最小，最小值为2.(2015?永州模拟 )设 m5 1，那么 m1的整数部分是m3.(2014. 十九中