构型设计：5 直线的投影

1、学习学习直线直线投影的基本知识投影的基本知识。本章学习目标本章学习目标（1）直线的投影及分类直线的投影及分类（2）两直线的相对位置）两直线的相对位置（3）直线的辅助投影）直线的辅助投影本章学习内容本章学习内容5.直线直线的投影的投影直线的投影特性5.1两直线的相对位置5.2直线的辅助投影5.3 直线的投影一般仍为直线。直线由两点确定，直线的投影一般仍为直线。直线由两点确定，其投影由直线上任意两点的同面投影连线来确定。其投影由直线上任意两点的同面投影连线来确定。直线相对于投影面的位置有三种情况直线相对于投影面的位置有三种情况垂直于投影面；垂直于投影面；投影积聚为一点；投影积聚为一点；投影面垂直线

2、投影面垂直线直线平行于投影面；直线平行于投影面；投影反映线段实长；投影反映线段实长；投影面平行线投影面平行线直线倾斜于投影面；直线倾斜于投影面；投影比空间线段短；投影比空间线段短；一般位置直线一般位置直线 水平投影水平投影a(b)积聚成一点；积聚成一点； 正面投影正面投影abOX，侧面投，侧面投影影a”b” OYW，ab= a”b”=AB。 1.投影面垂直线投影面垂直线铅垂线铅垂线垂直于垂直于H面，平行面，平行于于V、W面面 实长实长实长实长积聚积聚5.1 直线的投影特性直线的投影特性 正面投影正面投影a(b)积聚成一点；积聚成一点； 水平投影水平投影abOX，侧面投影，侧面投影a”b” OZ

3、，ab= a”b”=AB。1.投影面垂直线投影面垂直线正垂线正垂线垂直于垂直于V面，平行面，平行于于H、W面面 积聚积聚实长实长直线直线AB垂直于哪垂直于哪个投影面个投影面?实长实长 侧面投影侧面投影a”(b”)积聚成一点；积聚成一点； 水平投影水平投影abOYH，正面投影，正面投影ab OZ，ab= ab=AB。 1.投影面垂直线投影面垂直线侧垂线侧垂线垂直于垂直于W面，平面，平行于行于H、V面面 积聚积聚实长实长直线直线AB垂直于哪垂直于哪个投影面个投影面?实长实长名名称称铅垂线铅垂线(H面，V、W面)正垂线正垂线(V面，H、W面) 侧垂线侧垂线(W面，H、V面) 投投影影图图投投影影特特

4、性性1.水平投影a(b)积聚成一点；2.正面投影ab OX，侧面投影a”b” OYW，ab= a”b”=AB。1.正面投影a(b)积聚成一点；2.水平投影ab OX，侧面投影a”b” OZ，ab= a”b”=AB。 1.侧面投影a”(b”)积聚成一点；2.水平投影ab OYH，正面投影ab OZ，ab= ab=AB 投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性2.投影面平行线投影面平行线水平线水平线 水平投影水平投影ab=AB； 正面投影正面投影ab OX，侧面投影，侧面投影a”b” OYW，都不反映实长；，都不反映实长； ab与与OX夹角反映夹角反映实际大小，实际大小，ab与与OYH夹角反映

5、夹角反映实际大小。实际大小。 实长实长平行于平行于H面，对面，对V、W面倾斜面倾斜 2.投影面平行线投影面平行线正平线正平线 正面投影正面投影ab=AB； 水平投影水平投影ab OX，侧面投影，侧面投影a”b” OZ，都不反映实长；，都不反映实长； ab与与OX夹角反映夹角反映实际大小，实际大小，ab与与OZ夹角反映夹角反映实际大小。实际大小。 实长实长平行于平行于V面，对面，对H、W面倾斜面倾斜 2.投影面平行线投影面平行线侧平线侧平线平行于平行于W面，对面，对H、V面倾斜面倾斜 侧面投影侧面投影a”b”=AB； 水平投影水平投影ab OYH，正面投影，正面投影ab OZ，都不反映实长；，都

6、不反映实长； a”b”与与OYW夹角反映夹角反映实际大小，实际大小，a”b”与与OZ夹角反映夹角反映实际大小。实际大小。 实长实长直线直线AB与哪个投影与哪个投影面平行？面平行？名称名称水平线水平线( (H面，对面，对V、W面面倾斜倾斜)正平线正平线(V面，对面，对H、W面倾斜面倾斜)侧平线侧平线(W面，对面，对H、V面倾斜面倾斜)投投影影图图投投影影特特性性1.水平投影水平投影ab=AB；2.正面投影正面投影ab OX，侧面，侧面投影投影a”b” OYW，都不反，都不反映实长；映实长；3.ab与与OX夹角反映夹角反映实际大实际大小，小，ab与与OY夹角反映夹角反映实际实际大小。大小。1.正面

7、投影正面投影ab=AB；2.水平投影水平投影ab OX，侧面，侧面投影投影a”b” OZ，都不反，都不反映实长；映实长；3.ab与与OX夹角反映夹角反映实际实际大小，大小，ab与与OZ夹角反映夹角反映实际大小。实际大小。1.侧面投影侧面投影a”b”=AB；2.水平投影水平投影ab OYH，正，正面投影面投影ab OZ，都不，都不反映实长；反映实长；3.a”b”与与OYW夹角反映夹角反映实际大小，实际大小，a”b”与与OZ夹夹角反映角反映实际大小。实际大小。投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性3.一般位置直线一般位置直线为直线对为直线对H面的倾角，且面的倾角，且ab=Abcos； 为直线

8、对为直线对V面的倾角，且面的倾角，且ab=Abcos； 为直线对为直线对W面的倾角，且面的倾角，且a”b”=Abcos。 一般位置直线一般位置直线对对三个投影面都倾斜三个投影面都倾斜 过点过点A作作AB0 ab，则，则ABB0为为直角三角形；直角三角形； AB0=ab， BB0=ZbZa，即即A、B两点两点Z坐标之差。坐标之差。 AB实长实长与与H面夹角面夹角3.一般位置直线一般位置直线直角三角形法直角三角形法思考思考：如何求直线与正面夹角：如何求直线与正面夹角 及与侧面夹角及与侧面夹角 的实大；的实大； 例例5-1 已知直线已知直线AB的水平投影及直线对的水平投影及直线对H 面的倾角面的倾角

9、 =30，点，点A的正面投影的正面投影a，求，求AB的正面投影和实长。的正面投影和实长。 (1) 在水平投影上，过点在水平投影上，过点b作作ab的垂线；的垂线；AB的实长的实长(2) 以以 =30作直角三角形作直角三角形abB0 ； (3) 根据根据bB0和点的投影规律可和点的投影规律可求得求得b1b2，连接连接ab1， a b2即得直线即得直线AB的正面投影。的正面投影。 思考思考： 1.在上例中如何求线段在上例中如何求线段AB与正面的倾角与正面的倾角 ？ 2.在上例中求线段在上例中求线段AB与水平面倾角与水平面倾角 的作的作图方法唯一吗？图方法唯一吗？ 3. 试构造一个形体，使形体上分别有

10、三种试构造一个形体，使形体上分别有三种投影面平行线、三种投影面垂直线和一般位置直线，投影面平行线、三种投影面垂直线和一般位置直线，试画出形体的轴测图。试画出形体的轴测图。提示提示点在直线上，则点的投影必在直线的同面投影上。点在直线上，则点的投影必在直线的同面投影上。 4. 直线上的点直线上的点（1）属于直线上的点）属于直线上的点 反之，若点的投影在直线的反之，若点的投影在直线的同面投影上，则点必在直线上；同面投影上，则点必在直线上； 根据点在直线上这一属性根据点在直线上这一属性就可以就可以判断点是否在直线上。判断点是否在直线上。 点点C在直线在直线AB上上点点C、D不在直线不在直线AB上上ee

11、点分直线定比点分直线定比定理定理 直线上的点分直线为直线上的点分直线为定比定比，其，其点的点的投影投影分直线的投影为空间相同的比例。分直线的投影为空间相同的比例。 BC：CA= bc：ca= bc：ca（2）点分直线成定比）点分直线成定比例例5-2 2：已知点：已知点K在线段在线段AB上，求点上，求点K正面投影。正面投影。解法一：解法一：（应用第三投影）（应用第三投影）解法二：解法二：（应用定比定理）（应用定比定理）aa b bka b k k aa b bkk 思考思考： 1.如果在直线如果在直线AB上取一点上取一点C，使，使AC: CB1:2，点，点C的的投影如何求？投影如何求？ 2.如果

12、点如果点k属于属于ab，k” 属于属于a”b” ，点，点k是否就一定在是否就一定在直线直线AB上？上？5.2 两直线的相对位置两直线的相对位置两直线的相对位置有三种情况：两直线的相对位置有三种情况：平行、相交、交叉。平行、相交、交叉。 当两直线平行则两直线当两直线平行则两直线同面投影同面投影均相互均相互平行；平行； 反之，若两直线同面投影平行，则反之，若两直线同面投影平行，则该两直线平行。该两直线平行。 直线直线ABCD 1.平行两直线平行两直线试判断图中试判断图中CD与与 AB是否平行？是否平行？ 但侧面投影但侧面投影a”b” 与与c”d ”相交相交。 AB 与与 CD不平行不平行 作出第三

13、面作出第三面投影来判断。投影来判断。 虽然虽然abcd，并，并且且abcd，思考思考：1） 在上例中，是否还可以采用其他方法来判别两直线是否平行？在上例中，是否还可以采用其他方法来判别两直线是否平行？ 2） 什么情况下，两直线有两个投影平行，即可判断其第三个投什么情况下，两直线有两个投影平行，即可判断其第三个投影也互相平行？影也互相平行？ 若两直线相交，两直线的同面投影也相交，若两直线相交，两直线的同面投影也相交， 且交点符合点的投影规律。且交点符合点的投影规律。 交点连线kkOX轴 2.相交两直线相交两直线空间两直线既不平行也不相交，称该两直线为空间两直线既不平行也不相交，称该两直线为交叉两

14、直线，交叉两直线， 交叉两直线的同面投影可能相交，交叉两直线的同面投影可能相交， 但其交点并不是空间交点的投影，而是但其交点并不是空间交点的投影，而是重影点。重影点。 3.交叉两直线交叉两直线直线直线AB和和CD是否相交是否相交? “交点交点”不符合点的投影规律，两直线不符合点的投影规律，两直线不相交。不相交。思考思考：如果两直线的三个投影都相交，是否空间也一定相交？：如果两直线的三个投影都相交，是否空间也一定相交？ 例例5-3 判断图中两条直线是否平行。判断图中两条直线是否平行。 对于一般位置直线，对于一般位置直线，只要有两组同名投影互只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就相平行，空间两直

15、线就平行。平行。AB与与CD平行。平行。AB与与CD不平行。不平行。 对于特殊位置直线，对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行，空间直线不一定平行。平行。a b c d cbadd b a c b d c a abcdc a b d 例例5-4：给出三棱锥的：给出三棱锥的H、V面投影，试判断两条面投影，试判断两条交叉直线交叉直线BC和和AD的可见性。的可见性。 1点在上，点在上，2点在下点在下3点在前，点在前，4点在后点在后4. 两直线的夹角两直线的夹角两直线的夹角，其投影有下面三种情况两直线的夹角，其投影有下面三种情况：(1) 当两直线都平行于某投

16、影面时，其夹角在该当两直线都平行于某投影面时，其夹角在该投影面上的投影反映实形。投影面上的投影反映实形。(2) 当两直线都不平行于某投影面时，其夹角在当两直线都不平行于某投影面时，其夹角在该投影面上的投影一般不反映实形。该投影面上的投影一般不反映实形。(3) 当两直线中有一直线平行于某投影面（另一当两直线中有一直线平行于某投影面（另一边不垂直于该投影面）时，如果夹角是直角，则边不垂直于该投影面）时，如果夹角是直角，则它在该投影面上的投影仍然是直角。它在该投影面上的投影仍然是直角。直角投影定理直角投影定理 互相互相垂直垂直的两直线，的两直线， 如果其中一条线如果其中一条线平行平行于某一投影面时，

17、于某一投影面时， 两直线在该投影面上的投影也两直线在该投影面上的投影也相互垂直。相互垂直。 ABBC DEEF BCH面且面且abbcDEV面且面且deef例例5-5 已知直线已知直线AB为正平线，且直线为正平线，且直线AC垂直于直线垂直于直线AB，求作直线求作直线AC的两面投影。的两面投影。 (1) 作作abac；(2) 由由c作作OX轴的垂线；轴的垂线； (3) 连接连接ac。 此题有多少个解？此题有多少个解？无数解无数解例例5-6 求点求点A到直线到直线BC的距离。的距离。 (1) 由点由点a作作bc的的垂线垂线ad，交，交bc于点于点d ；(2) 由点由点d作作OX轴的垂线，轴的垂线，

18、交交b c于于点点 d；连接连接ad；(3) 运用直角三角形法，求运用直角三角形法，求出出AD的实长。的实长。 距离距离分析题图可知，分析题图可知，BC为水平线为水平线 5.3 5.3 直线的直线的辅助投影辅助投影 一一般位置直线的实长及其对投影面的倾角除采般位置直线的实长及其对投影面的倾角除采用直角三角形法外，还可以采用用直角三角形法外，还可以采用辅助投影法辅助投影法。实长实长直线对直线对H面面的倾角的倾角1、直线的一次变换、直线的一次变换（1）一般位置直线可以变为）一般位置直线可以变为投影面的平行线投影面的平行线（2）投影面平行线可以变为）投影面平行线可以变为新新投影面的垂直线投影面的垂直线正平线正平线 变换哪一个投影面？变换哪一个投影面？将将一般位置直线一般位置直线变为投影面的变为投影面的垂直线垂直线，需经过，需经过两次换面两次换面 2、一般位置直线的两次变换、一般位置直线的两次变换例例5-7 已知点已知点M到直线到直线AB的距离为的距离为15和点和点M的水平的水平投影投影m，求点，求点M的正面投影。的正面投影。 (1) 直线直线AB经经一次换面一次换面变变成投影面平行线成投影面平行线a1b1 解题步骤：解题步骤：(2) 直线直线AB经经第二次换面第二次换面变成投影面垂直线变成投影面垂直线(a2)b2 (3) 根据已知条件求出根据已知