高等数学：3-5函数的凸性和图形的描绘

1、第五节第五节 函数的凸性和函数的凸性和 图形的描绘图形的描绘曲线凹凸性的判别法曲线凹凸性的判别法曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法图形描绘的步骤图形描绘的步骤作图举例作图举例渐近线渐近线(asymptotic line)(concave and convex)一、一、曲线曲线凹凸凹凸性的判别法性的判别法1.1.定义定义如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向xyOABC)(xfy )(xfy 1x2x1x2x定义定义1,( ),a ba bf xII设在连续 如果对内任意 1212(1)(1) ( )(),fxxf xf x12,(0,1),x x两点及数恒有,( ).a bf xI那末

2、称在内的图形是的凹凹1212(1)(1) ( )(),fxxf xf x(凸凸)xx 图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的下方位于所张弦的下方图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的上方位于所张弦的上方xyOxyO)(xfy )(xfy 1x2x1x2x定义定义2,( ),a ba bf xII设在连续 如果对内任意,2)()()2(2121xfxfxxf 12,x x两点恒有,( ).a bf xI那末称在内的图形是的凹凹2)()()2(2121xfxfxxf (凸凸)221xx 221xx 图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的下方位于所张弦的下方图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张

3、弦的上方位于所张弦的上方xyOxyO)(xfy )(xfy 曲线弧上每一点的切线曲线弧上每一点的切线定义定义3( (上上) ) 方方, ,称为称为凹凹 弧弧. .( (凸凸) )凹凹弧的曲线段弧的曲线段)(xf)(xf 即即的切线斜率是单增的的切线斜率是单增的, ,是单增的是单增的, ,凸凸弧的切线斜率是单减的弧的切线斜率是单减的, ,)(xf 即即是单减的是单减的. .而而 利用利用二阶导数二阶导数判断曲线的判断曲线的凹凸性凹凸性从几何直观上从几何直观上,随着随着x的增大的增大,都在曲线的都在曲线的下下xyOxyO递增递增)(xf 0)( xf递减递减)(xf 0)( xf定理定理1 1,(

4、 ),a bf xI如果在上连续( , )a b在内具有,( , ),a b二阶导数 在内0)( xf若若),0( ( )f x则,.a bI在上的图形是的凹凹 ( (凸凸) )2. 凹凸性的判别法凹凸性的判别法xyOabAB)(xfy xyOabAB)(xfy 证证20000)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxf )(0之间之间与与在在xx )()()(000 xxxfxfxf即即)()()(000 xxxfxfxf 这说明切线位于曲线的下方这说明切线位于曲线的下方, ,),(0bax 任取任取 泰勒公式泰勒公式),(bax 处的切线处的切线在在曲线曲线0)(xxfy 0 20)(

5、! 2)(xxf 即即f(x)是凹的是凹的. .),(bax 0)( xf若若数的单调性与曲线的凹凸性数的单调性与曲线的凹凸性例例.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y为为凸凸的的；在在曲曲线线0 ,( 时，时，当当0 x, 0 y.), 0为为凹凹的的在在曲曲线线 注注)0 , 0(点点 凸凸变变凹凹的分界点的分界点.是是曲曲线线由由3xy xyO 例例.3的的凹凹凸凸性性判判定定曲曲线线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可导点是不可导点yyx , 0,)0 ,( y内内但在但在;0

6、,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在 , 0,), 0( y内内在在.), 0上是凸的上是凸的曲线在曲线在注注)0 , 0(点点 凸凸变变凹凹的分界点的分界点.是是曲曲线线由由)1, 0, 0(2)(21 nyxyxyxyxnnnnttf )( )(tf )(tf)()(21yfxf 即即nnnyxyx 2)(21例例证证,1 nnt2)1( ntnn0 yxt,0内内任任意意两两点点对对 2yxf)0( t设设图形是图形是凹的凹的.利用函数图形的利用函数图形的凹凸性证明不等式凹凸性证明不等式:证证 法一法一 用单调性证用单调性证.法二法二 用凹凸性证用凹凸性证.,2sin)(xxxf ,2cos

7、)( xxf.)(的的图图形形是是凸凸的的xf, 0)0( f又又, 0)( xf因因此此.2sinxx .2sin,20:xxx 时时当当证明不等式证明不等式例例xxfsin)( 设设则则, 0 , 0)2( f即即1(1)(01)abab.ab证明：对任意的两个正数 与 ,有不等式,.ab成立 且等号成立的充分必要条件是1.1.定义定义连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的 拐点拐点. .几何上几何上二、曲线的二、曲线的拐点拐点及其求法及其求法(inflection point)3xy xyO的邻域内的邻域内在在设函数设函数0)(xxf,)(0变号变号两近旁两近旁

8、xfx ,)(0不变号不变号两近旁两近旁xfx 拐点的第一充分条件拐点的第一充分条件,二阶可导二阶可导0)(0 xf且且;)(,(00即为拐点即为拐点点点xfx.)(,(00不是拐点不是拐点点点xfx2. 拐点的求法拐点的求法 拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处. .拐点的必要条件拐点的必要条件)(xf若若具有二阶导数具有二阶导数, ,则点则点)(,(00 xfx. 0)(0 xf(1)(2)是拐点的是拐点的必要条件为必要条件为( (或或x0为为二阶导数不存在的点二阶导数不存在的点) )例例.95)2(235的拐点及凹、凸性的拐点及凹、凸性求曲线求曲线xx

9、y 解解),(,910)2(3532xxy .)2()2(19103131 xxy, 0 y令令, 31 x得得x)2 ,( ), 3( )3 , 2(23)(xf )(xf 0拐点拐点拐点拐点)920, 2( )4, 3( 不不存存在在的的点点y 不存在不存在定义域为定义域为(1)(2). 22 x(3) 列表列表例例.)2 , 0(cossin的的拐拐点点内内求求曲曲线线 xxy 解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令,431 x得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2 , 0 ),0 ,43( 拐点的

10、第二充分条件拐点的第二充分条件的邻域内的邻域内在在设函数设函数0)(xxf,三阶可导三阶可导, 0)(0 xf且且,0)(0 xf而而那末那末.)()(,(00的拐点的拐点是曲线是曲线xfyxfx .472 x).0 ,47( 定义定义沿着曲线沿着曲线上的一动点上的一动点当曲线当曲线Pxfy)( 1. 铅直渐近线铅直渐近线如果如果的距离的距离到某定直线到某定直线如果点如果点LP,移向无穷点时移向无穷点时,趋向于零趋向于零的的就称为曲线就称为曲线那么直线那么直线)(xfyL 那么那么 0 xx0 xx 的一条的一条就是就是)(xfy 三、曲线三、曲线 的渐近线的渐近线函数图形的描绘函数图形的描绘

11、铅直渐近线铅直渐近线. )(limxf 或或 )(limxf 0 xx 一条渐近线一条渐近线. .如如,)3)(2(1 xxy铅直渐近线铅直渐近线: :, 2 x)3)(2(1lim2 xxx)3)(2(1lim3 xxx. 3 x (垂直于垂直于x轴的轴的渐近线渐近线)2. 水平渐近线水平渐近线如果如果如如,arctan xy 水平渐近线水平渐近线: :,2 y xxarctanlim xxarctanlim那么那么.2 y )(limxfby 的一条的一条就是就是)(xfy 函数图形的描绘函数图形的描绘水平渐近线水平渐近线.xxb或或b( (b为常数为常数) )2 2 (平行于平行于x轴的

12、轴的渐近线渐近线)lim( )f x 3. 斜渐近线斜渐近线0)()(lim baxxfx如果如果:, 的的公公式式下下面面求求计计算算ba由由(1)式和式和0)()(1lim baxxfxx,为为无无穷穷大大x )(limxbaxxfx,后后求求出出a)(limaxxfbx xxfax)(lim 那么那么 axxfx)(lim0,)1(ba式式可可确确定定代代入入将将baxy 的一条的一条就是就是)(xfy 函数图形的描绘函数图形的描绘斜渐近线斜渐近线.有有即即从而从而( ,0) (1)a ba 为为常常数数 且且;)(lim)1(不存在不存在xxfx,)(lim)2(存存在在axxfx .

13、)(不不存存在在斜斜渐渐近近线线可可以以断断定定xfy 例例.1)3)(2(2)(的渐近线的渐近线求求 xxxxf解解)., 1()1 ,( 注注 )(lim1xfx, .1是曲线的铅直渐近线是曲线的铅直渐近线 x如果如果,)(lim不不存存在在但但axxfx )(limaxxfbx ,)(limxxfax 定义域定义域函数图形的描绘函数图形的描绘 xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx2 21)3)(2(2limxxxxx 1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx4 .42是是曲曲线线的的一一条条斜斜渐渐近近线线 xy 1)3)(2(2limxxxx无水平渐近线无水

14、平渐近线 )(limaxxfx.1)3)(2(2)(的渐近线的渐近线求求 xxxxf2)(limxxfx )(limaxxfbx ,)(limxxfax a b 函数图形的描绘函数图形的描绘利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.确定函数的定义域、值域、间断点确定函数的定义域、值域、间断点,函数是否有奇偶性、周期性函数是否有奇偶性、周期性.判定判定和拐点和拐点,讨论函数的单调性和极值讨论函数的单调性和极值,曲线的凹凸性曲线的凹凸性渐近线渐近线. 适当计算曲线上一些点的坐标适当计算曲线上一些点的坐标,是否与坐标轴是否有交点是否与坐标轴是否有交点.特别注意特别注意函数图形的描绘函数图形的

15、描绘四、图形描绘的步骤四、图形描绘的步骤例例.21)(22的图形的图形作函数作函数xex 解解),(:D偶函数偶函数, 图形关于图形关于y 轴对称轴对称.,2)(22xexx , 0)( x 令令, 0 x得驻点得驻点, 0)( x 令令. 1, 1 xx得得点点. 4 . 021)(0: xW.2)1)(1()(22xexxx 2221lim)(limxxxex , 0 . 0 y水水平平渐渐近近线线函数图形的描绘函数图形的描绘x), 1( )1 , 0()(x )(x 0)(x 01 极大值极大值 210拐点拐点)21, 1(e ,2)(22xexx 222)1)(1()(xexxx 函数

16、图形的描绘函数图形的描绘. 0 y水水平平渐渐近近线线, 0)( x , 0 x驻点驻点, 0)( x . 1, 1 xx得得,21)(22xex xyO 21 1 1 作业作业例例.2)1(4)(2的图形的图形作函数作函数 xxxf解解, 0: xD非奇非偶函数非奇非偶函数,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf , 0)( xf令令, 2 x得驻点得驻点, 0)( xf令令. 3 x得得2)1(4lim)(lim2 xxxfxx, 2 ; 2 y水水平平渐渐近近线线作图举例作图举例函数图形的描绘函数图形的描绘2)1(4lim)(lim200 xxxfxx, . 0 x铅铅直直渐渐

17、近近线线x)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐点拐点极小值极小值间间断断点点3 )926, 3( 无斜渐近线无斜渐近线.3)2(4)(xxxf 4)3(8)(xxxf 函数图形的描绘函数图形的描绘2)1(4)(2 xxxf列表确定函数单调区间列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:),0 , 31( ),2, 1( ),6 , 1().1 , 2(作图作图2)1(4)(2 xxxf拐点拐点)926, 3( 极小值极小值3)2( f函数图形的描绘函数图形的描绘补充点补充点),0 , 31( x)(xf )