线性系统非奇异线性变换及系统的规范分解

1、8. 5线性系统非奇异线性变换及系统的规范分解为了便于揭示系统的固有特性，经常需要对系统进行非奇异线性变换，如将a矩阵对 角化、约当化；将系统化为可控标准型、可观测标准型也需要进行线性变换。为了便于分析 与设计，需要对动态方程进行规范分解，往往也涉及线性变换。如何变换？经过变换后，系 统的固有特性是否会引起改变呢？这些问题必须加以研究解决。8.5. 1线性系统的非奇异线性变换及其性质1 .非奇异线性变换设系统动态方程为x(t) = ax(r) + bu y (t) = cx(t) + du(t)x = px(8-134)(8-135)式中，非奇异矩阵p(detpho,有时以pj形式出现)将状态

2、x变换为状态丘。设变换后 的动态方程为x(t) = ax + bu(t)_(8-136)则有元= px a = p1ap b = pb c = cp d = d (8-137)上述过程就是对系统进行非奇异线性变换。线性变换的目的在于使a阵或系统规范化, 以便于揭示系统特性，简化分析、计算与设计，在系统建模，可控性、可观测性、稳定性分 析，系统综合设计方面特别有用。非奇异线性变换不会改变系统的固有性质，所以是等价变 换。待计算出所需结果之后，再引入反变换x = px.将新系统变回原来的状态空间中去, 获得最终结果。2.非奇异线性变换的性质系统经过非奇异线性变换，系统的特征值、传递矩阵、可控性、可

3、观测性等重要性质均 保持不变性。下面进行证明。(1) 变换后系统传递矩阵不变证明 列出变换后系统传递矩阵0为g = cp(si - p-'ap)-' p'b + d=cp(pls/p-plap)-1 p-'b + d=cpp'x (si a)p_1 p"b + d=cppsi - a)' pp b + d= c(si-ayb-d = g表明变换前后的系统传递矩阵相同。(2) 线性变换后系统特征值不变证明列出变换后系统的特征多项式| ai - p'lap |=| apxp-pxap |=| paip-p-ap |=| p'

4、al-a)p=p- ai-ap=| p-11| p| az-a|=| z | az-a|=| az-a|表明变换前后的特征多项式相同，故特征值不变。由此可以推出，非奇异变换后，系统 的稳定性不变。(3) 变换后系统可控性不变证明 列岀变换后系统可控性阵的秩ranks4 = rankp'lb (p'1ap)p-b (p'lap)2p-lb (严771严咕=rankp-b p'lab p'b = rankp-b ab a2b anb=rankb ab a2b ahlb表明变换前后的可控性矩阵的秩相同，故可控性不变。(4) 变换后系统可观测性不变证明列出变换后

5、可可观测性矩阵的秩rankv2 = rank(cp)t (pl ap)t (cp)t p' apy1)7 cp)t=rankptct pt ct pt)t ct =rankprct afcr- (q )t ct=rcmkct "l (a,_,)7'c7表明变换前后可观测性矩阵的秩相同，故可观测性不变。(5) 0(r) = / = peatp = p_,0(r) p(8-138)证明 er'apt = / + pt apt + 丄(p“ apf 厂 + + 丄(pap)ktk +-2k=pt/p+p“ah +丄(p"ap)2 尸 +. + 丄(piap

6、r，+!=厂1(/ +加+丄人2严+. +丄屮严+)»二pt外p2k8. 5.2几种常用的线性变换1. 化a为对角阵(1) 4阵为任意方阵，且有互异实数特征根人，人，人。则由非奇异变换可将其化为对角阵a = plap =p由特征向量门（心1,2,力组成,p = p pl pn（8-140）特征向量满足a p严入pi(8-141)（2）a矩阵为友矩阵,且有互异实数特征根九入，人。则用范德蒙特（vandermode）矩阵p可以将a对角化。001001 0 0p =1a1a21 4皆000 1_aoa匕2an_-占人"(8-142)（3）a矩阵为任意方阵，有m重实数特征根（人=人

7、= =”），其余（n-m）个特 征根为互异实数特征根，但在求解api=aipi （/ = 0, ,/;?）时，仍有m个独立的特征向 量p，p2,pz则仍可以将a矩阵化为对角阵。(8-143)(8-144)a = p-1ap =几+1pn式中，几+1，几+2,，几是互异实数特征根血+，心+2,，&对应的特征向量。2. 化a矩阵为约当阵（1）a矩阵有m重实数特征根（人=入二= &”），其余（n m）个特征根为互异 实数特征根，但重根只有一个独立的特征向量卩时，只能将a矩阵化为约当阵j。p = p1 pl p,n '' 几+1 pn®146）式屮，p, p,

8、”+i，几+2,，卩“分别是互异实数特征根人，心+1，心+2,，人对应的特征向量,而p2心心是广义特征向量,可由下式求得apl12 (8-147)（2）当a矩阵为友矩阵，具有m重实数特征根（人=£= = &”），其余（n m） 个特征根为互异实数特征根，但重根只有一个独立的特征向量口时，将a矩阵约当阵化的 p矩阵为p= pdm- 一pl讽"1pm+1 pn(8-148)（3）a矩阵有五重特征根人，但有两个独立特征向量、卩2,其余（n-5）个特征根 为互异特征根，一般可化a矩阵为如下形式的约当阵丿a 1j = p-ap =1aa ia(8-149)几pn(8-150)

9、3.化可控状态方程为可控标准型前面曾对单输入单输出建立了可控标准型状态方程，即001001 0 0叮+°0u九一 1000 10_ aqaan-_1与该状态方程对应的可控性矩阵s是一个右下三角阵,0000s = b ab an-lb =00011an-l0 010 1an-(8-152)1 xxan- xxcln-2 xx且其副对角线元素均为1定可选择适当的线性变换化为可控标准型。设系统状态方程为x = ax + bu进行pi变换，即令x - p' z状态方程变换为z = pap7 + pbu_ 010 - 0o001 00要求pap-' = pl.?=000 10_

10、ao-a1 a2 . _d“】_1设变换矩阵为p = ip! p；耐根据a矩阵变换要求，变换矩阵p矩阵应满足式（8-156),即p 0 1 0 -0 _ p pi0 0 1 0plpn-2a =0000pn-9pn-l0 0 0 1pn-_ pn .一一兔-a-a2an- _ pn .-个可控系统，当a, b不具有可控标准型时,(8-153)(8-154)(8-155)(8-156)(8-157)(8-158)展开之pa = plp2a = pipn-2a = p“7pn-la =pnpna = 一诃一卫2an_2pn_-an_pn增补一个方程p =ppllw(8-160)(8-161)(8-

11、162)另根据b矩阵变换耍求，p应满足式(&156),有plb 1pi ab= pah=an-'b即p. b ab = 0 0 1故卩二0 0 lb ab an'b该式表示卩是可控性矩阵逆阵的最后一行。于是可以得到变换矩阵p的求法如下：(1) 计算可控性矩阵 s3 = b ab'll sn(2) 计算可控性矩阵的逆阵 5；1 =:%陰.(3) 取出sj的最后一行(即第n行)构成门行向量门=心 几'p '(4) 按下列方式构造p阵p=(5) p-1便是将普通可控状态方程可化为可控标准型状态方程的变换矩阵。当然，也可先将任意矩阵a化为对角型，然后再将

12、对角阵化为友矩阵的方法将a化为 友矩阵。8. 5.3对偶原理设有系统s|(a,b,c),则称系统s2(ar,ct,bt)为系统sj勺对偶系统。其动态方程 分别为系统s:x = ax+ bu, y = cx系统s2：z = atz + ctv, w=btz(8-163)式中，兀、z均为n维状态向量，“、w均为维，y、v均为q维状态向量。注意，系统与对 偶系统之i、可，其输入、输出向量的维数是相交换的。当s?为s的对偶系统时，s也是s?的对偶系统。如果系统s|可控，则s?必然可观测；如果系统$可观测，则s?必然可控；反 之亦然，这就是对偶原理。实际上，不难验证：系统s的可控性矩阵与对偶系统s?的可

13、观测性矩阵完全相同；系 统s?的可观测性矩阵与对偶系统5的可控性矩阵完全相同。在动态方程建模、系统可控性和可观测性的判别、系统线性变换等问题上，应用对偶原 理，往往可以使问题得到简化。应用对偶原理，可以把可观测的单输入单输出系统化为可 观测标准型的问题，转化为将其对偶系统化为可控标准型的问题。(8-164)(8-165)设单输入单输出系统动态方程为x - ax + bu, y = ex系统可观测，但a,c不是可观测标准型。其对偶系统动态方程为z = arz + crv, w = ht z对偶系统一定可控，但不是可控标准型。可利用可控标准型变换的原理和步骤，先将对偶系 统化为可控标准型，再一次使

14、用对偶原理，便可获得可观测标准型，下面仅给出其计算步骤。（1）列出对偶系统的可控性矩阵（即原系统的可观测性矩阵匕）(8-166)（2）求岭的逆阵岭"，且记为行向量组(8-167)（3）収岭“的第几行记，并按下列规则构造变换矩阵(8-168)r记（4）求矩阵p的逆阵p-,并引入p-变换即z = p-1z,变换后动态方程为z 二 rfp一吃 + pctv, w = btp'z（8-169）（5）对对偶系统再利用対偶原理，便可获得原系统的可观测标准型，结果为(8-170)x = （patp）tx + （btp-）tu = p'ta prx + p-tbu y元= cptx与

15、原系统动态方程相比较，可知将原系统化为可观测标准型须进行变换，即令(8-171)x = prx式中,pt =(8-172)v为原系统可观测性矩阵的逆阵中第n行的转置。8. 5. 4线性系统的规范分解不可控系统含有可控、不可控两种状态变量；状态变量可以分解成可控兀、不可控斥 两类，与z相应，系统和状态空间可分成可控子系统和不可控子系统、可控子空间和不可控 子空间。同样，不可观测系统状态变量可以分解成可观£、不可观召两类，系统和状态空 间也分成可观子系统和不可观子系统、可观子空间和不可观子空间。这个分解过程称为系统 的规范分解。通过规范分解能明晰系统的结构特性和传递特性，简化系统的分析与

16、设计。具 体方法是选取一种特殊的线性变换，使原动态方程屮的a, b, c矩阵变换成某种标准构造 的形式。上述分解过程还可以进一步深入，状态变量可以分解成可控可观测兀“、可控不可 观测x必、不可控可观测七八不可控不可观测兀雨四类，对应的状态子空间和子系统也分成 四类。规范分解过程可以先从系统的可控性分解开始，将可控，不可控的状态变量分离开, 继而分别对可控和不可控的子系统再进行可观测性分解，便可以分离出四类状态变量及四类 子系统。当然，也可以先对系统进行可观测性分解，然后再进行可控性分解。下面仅介绍可 控性分解和可观测性分解的方法，有关证明从略。1可控性分解设不可控系统动态方程为i = av +

17、 bu, y = cx（8-173）假定可控性矩阵的秩为r（r < n）,从可控性矩阵中选111厂个线性无关列向量，再附加上 任意尽可能简单的（心）个列向量，构成非奇异阵的厂变换矩阵，那么，只须引入厂变 换矩阵，即令(8-174)压式（8173）就可变换成如下的标准构造，即xc+ tbii, y = ct'1xr= tat'1ccl%ej(8-175)tatl =£厂行tb = b、厂行_ 0企2_（-厂）行0_（n 一厂）行厂列厂）列p列c厂i二= c,c2 g行厂列(/? 一 r)列式中，九为r维可控状态子向量，占为十）维不可控状态子向量(8-176)展开式

18、（8-175）,得auxc + a2x-+bu= 22 xc将输出向量进行分解，可得子系统状态方程。可控子系统状态方程为xc = axc + al2x-+bu, y = cxxc(8-177)不可控子系统状态方程为x- = a22x, y = c2x-(8-178)由于“仅通过可控子系统传递到输出，故"至y之间的传递两数矩阵描述不能反映不可 控部分的特性。但是对控子系统的状态响应耳(。及系统输出响应y(/)均与七有关，不可 控子系统对整个系统的影响依然存在，如要求整个系统稳定，方”应仅含稳定特征值。至于选择怎样的巧个附加列向量是无关紧要的，只耍构成的7非奇异，并不会改变 规范分解的结果。例8-34已知系统s(a"，c),试按可控性进行规范分解。12-1_0a =010,b =01-43_1c = l -11解计算可控性矩阵的秩rankb aba2/?= rank 01-103-4082<n故系统不可控。从中选出两个线性无关列, 矩阵厂,并计算变换后的各矩阵附加任意列向量01o7 ,构成非奇异变换-10t =(ry1300-42 _ttat'1=14-2,th =000103-10=1 21可控子系统动态方程为0 -4+_ 2 _x-+r1 4c_-2_c0",y = i 2k不可控子系统动态方程为2 可观测性分解设系统可观测