球的表面积和体积实用教案实用教案

1、l掌握球的体积(tj)、表面积公式l掌握(zhngw)球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思想进一步理解分割近似求和精确求和的思想方法l会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养学生应用(yngyng)数学的能力l能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题教学目标教学目标第1页/共21页第一页，共21页。球的体积(tj)公式的推导球的体积(tj)公式及应用球的表面积公式(gngsh)及应用球的表面积公式的推导l教学重点l教学难点化化为为准准确确和和思思想想方方法法求求近近似似和和分分割割重点难点重点难点第2页/共21页第二页，共21页。一、创设(chungsh)情境

2、1、在太空中存在着多颗星球，科学家为了比较各个星球的大小，需要计算它们的表面积和体积，但是星球的形状不同于柱体、椎体、台体，而是近似于球体，那么如何进行(jnxng)计算呢？2、球队大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和表面积？第3页/共21页第三页，共21页。二、探究(tnji)新知1、球的体积如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小时会得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于相应的圆柱的体积，因此求球的体积可以按“分割求和化为准确和”的方法来进行。步骤(bzhu)：第一步：分割如图：把半球垂直于底面的半径OA作

3、n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”， “小圆片”厚度近似为 ，底面是“小圆片”的底面。RnAO第4页/共21页第四页，共21页。irOR)1( inR半半径径：层层“小小圆圆片片”下下底底面面的的第第i.,2,1,)1(22niinRRri 第5页/共21页第五页，共21页。nininRnRrVii,2, 1,)1(1232nVVVV21半球)1(2122223nnnnR6) 12() 1(123nnnnnnR6)12)(1(1123nnnR) 1(1 21 11 1222223nnnnnR6)12()1()1(21222nnnn第二步：求和(qi h)第6

4、页/共21页第六页，共21页。6)12)(11(13nnRV 半球半球.01,nn时时当当.343233RVRV 从而从而半球半球334RVR 的球的体积为：的球的体积为：定理：半径是定理：半径是第三步：化为准确(zhnqu)和第7页/共21页第七页，共21页。 有一种空心钢球，质量(zhling)为142g,测得 外径等于5.0cm，求它的内径（钢 的密度为7.9g/cm3,精确到0.1cm).第8页/共21页第八页，共21页。解:设空心(kng xn)钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是答:空心(kng xn)钢球的内径约为4.5cm.14234)25(349.733 x 3.1149.7

5、3142)25(33 x由计算器算得:24. 2 x5 . 42 x第9页/共21页第九页，共21页。 球面不能展开成平面球面不能展开成平面(pngmin)(pngmin)图形，所图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢表面积公式呢? ? 回忆球的体积公式的推导回忆球的体积公式的推导(tudo)(tudo)方法方法, , 得到启发，可以借助极限思想方法来推导得到启发，可以借助极限思想方法来推导(tudo)(tudo)球的表面积公式球的表面积公式第10页/共21页第十页，共21页。第第一一步：步：分分割割(fng)球面被分割球面被分

6、割(fng)成成n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为：nSSSS ,321，则球的表面积：则球的表面积：nSSSSS 321则球的体积则球的体积(tj)为：为：iV 设“小锥体”的体积为设“小锥体”的体积为iVnVVVVV 321iSOO第11页/共21页第十一页，共21页。第第二二步：步：求求近近似似(j(jn n s)s)和和ih由第一步得：由第一步得：nVVVVV 321nnhShShShSV 31313131332211 iiihSV 31 O OiSiVO O第12页/共21页第十二页，共21页。第第三三步：步：化化为为准准确确(z(zhhnqnqu)u)和和RSVii31

7、如果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: “: “小锥体小锥体(zhu t)”(zhu t)”就越接近小就越接近小棱锥棱锥RSRSRSRSVni 3131313132 RSSSSSRni31).(3132 334RV 又球的体积为：又球的体积为：RiS iVihiSO OiV234,3134RSRSR 从而从而Rhi的值就趋向于球的半径的值就趋向于球的半径 第13页/共21页第十三页，共21页。 长方体的一个顶点上三条(sn tio)棱长分别为3、4、5，若它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 分析：长方体内接于球，则由球和长方体都是中心对称图形可知，分析：长方体内接于球，则由球

8、和长方体都是中心对称图形可知，它们中心重合它们中心重合(chngh)(chngh)，则长方体对角线与球的直径相等。，则长方体对角线与球的直径相等。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O222211504 42+5)2(:RS2R=3RDDBRt 中中略解：略解：5 2第14页/共21页第十四页，共21页。三、典例分析(fnx) 如图如图, ,圆柱的底面直径圆柱的底面直径(zhjng)(zhjng)与高都等于与高都等于球的直径球的直径(zhjng),(zhjng),求证求证: :

9、 (1) (1)球的表面积等于圆柱的侧面积球的表面积等于圆柱的侧面积. . (2) (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二球的表面积等于圆柱全面积的三分之二. .第15页/共21页第十五页，共21页。四、巩固(gngg)深化1、正方体的内切球和外接球队体积比为_ _ ，表面积之比为1：3。2、在球心同侧有相距9cm的两个平行截面(jimin)，它们的面积分别为49 和400 ，求球的表面积。2cm2cm1:3 3答案(d n)：25002cm第16页/共21页第十六页，共21页。4、若球半径变为原来(yunli)的2倍，则表面积变为原来(yunli)的_4_倍.5、若两球表面积之比为1:2，

10、则其体积(tj)之比是_6 6、若两球体积、若两球体积(tj)(tj)之比是之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是_._.34:122:13、若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的_ 倍.2第17页/共21页第十七页，共21页。1 1、了解球的体积、表面积推导的基本思路：、了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割分割求近似和求近似和化为标准和的方法，是一化为标准和的方法，是一种重要的数学种重要的数学(shxu)(shxu)思想方法思想方法极限思想，极限思想，它是今后要学习的微积分部分它是今后要学习的微积分部分“定积分定积分”内内容的一个应用；容的一个应用；2 2、熟练掌握球的体积、熟练掌握球的体积(tj)(tj)、表面积、表面积公